Grup yapısı ve seçim aksiyomu - Group structure and the axiom of choice

1904'te Ernst Zermelo , seçim aksiyomu olarak bilinen şeyi kullanarak iyi sıralama teoremini kanıtladı .

In matematik bir grup bir olan dizi bir birlikte ikili çalışma grubu olarak adlandırılan üzerine çarpma olduğunu itaat grup aksiyomları . Seçim aksiyomu, bir biçimde her kümenin iyi sıralanabileceğini belirten ZFC küme teorisinin bir aksiyomudur .

In ZF set teorisi, yani ZFC Seçim aksiyomu olmadan, aşağıdaki ifade eşdeğerdir:

Her için boş olmayan kümesi $X$ bir ikili operasyonu vardır $•$ böyle $(X, •)$ bir gruptur.
Seçim aksiyomu doğrudur.

Bir grup yapısı seçim aksiyomunu ifade eder

Bu bölümde, her $X$ kümesine bir grup yapısı $(X, •)$ verilebileceği varsayılmaktadır .

Let $X$ kümesi olsun. Let $ℵ (X)$ olmak Hartogs sayısı arasında $X$ . Bu, en az bir ana numarası yok olduğu şekilde , enjeksiyon ile ilgili $ℵ (X)$ içine $X$ . Seçim aksiyomu varsayımı olmaksızın var olur. Kanıtın teknik basitliği için $X'in$ ordinali olmadığını varsayalım . Let $•$ göstermektedirler çarpma grubunda $(X \cup ℵ (X), •)$ .

Herhangi biri için $X \in X$ olduğu bir $α \in ℵ (x)$ bu şekilde $X • α \in ℵ (X)$ . Olmadığını varsayalım. Daha sonra, bir olduğu $Y \in X$ , öyle ki $y • α \in X$ Tüm $α \in ℵ (X)$ . Ancak temel grup teorisine göre , α'nın $ℵ ($ $X$ $)$ ( i ) üzerindeki aralıkları nedeniyle $y • α'nın$ tümü farklıdır . Dolayısıyla, bu tür bir $Y$ bir enjeksiyon verir $ℵ ($ $X$ $)$ içine $X$ . $İmpossible ($ $X$ $)$ , $X'e$ enjeksiyon olmayacak şekilde bir kardinal olduğundan bu imkansızdır .

Şimdi bir harita tanımlamak $j$ arasında $X$ içine $ℵ (x) x ℵ (X)$ donatılmış olan lexicographical wellordering göndererek $x \in X$ azından $(α, β) \in ℵ (x) x ℵ (x)$ bu şekilde $X • α = β$ . Yukarıdaki mantığa göre $j$ haritası mevcuttur ve benzersizdir, çünkü iyi sıralı kümelerin alt kümelerinin en az öğesi benzersizdir. Temel grup teorisine göre, enjekte edicidir.

Son olarak, bir wellordering tanımlamak $X$ ile $X < y$ ise $j (x) < j (y)$ . Her $X$ kümesinin iyi sıralanabileceği ve dolayısıyla seçim aksiyomunun doğru olduğu sonucu çıkar.

Olarak ifade önemli özelliği için ( i beklemeye ve dolayısıyla bütün kanıt elde edilmiş) kullanılarak yeterlidir $X,$ bir olmak cancellative magma , örneğin, bir quasigroup . İptal özelliği, $y • α'nın$ tümünün farklı olmasını sağlamak için yeterlidir .

Seçim aksiyomu bir grup yapısını ifade eder

Herhangi bir boş olmayan sonlu küme, herhangi bir eleman tarafından üretilen döngüsel bir grup olarak bir grup yapısına sahiptir . Seçim belitinin varsayımı altında, her sonsuz kümesi $X$ ise , eş değerde | benzersiz kardinal sayı ile $X$ | bu bir alef'e eşittir . Seçme aksiyomu kullanarak, tek herhangi bir aile için gösterebilirim $S$ setleri $| ⋃ S | \leq | S | \times sup {| s | : s \in S}$ ( A ). Ayrıca, Tarski'nin seçim üzerine teoremine göre, seçim aksiyomunun bir başka eşdeğeri, $| X | n = | X |$ tüm sonlu $n$ ( B ) için.

Let $X'in$ sonsuz bir set olmak ve izin $F$ tüm sonlu alt kümelerinin kümesi göstermek $X$ . Doğal bir çarpma yoktur $•$ üzerine $F$ . İçin $f, g \in K$ , izin $f • g = f Δ g$ , burada $Δ$ belirtmektedir simetrik bir fark . Bu, $(F, •)$ boş küme, $Ø$ , özdeşlik ve her eleman kendi tersi olan bir gruba dönüşür ; $f Δ f = Ø$ . Birleştirici özelliği, yani, $(f Δ g) Δ h = f S (g Δ h)$ birlik ve temel özelliklerini kullanılarak doğrulandı grubu fark . Böylece $F$ , $Δ$ çarpımı olan bir gruptur .

Bir grupla eşleştirilebilecek herhangi bir küme, eşleştirme yoluyla bir grup haline gelir. Gösterilecektir ki $| X | = | F |$ ve dolayısıyla $X$ ile grup $(F, •)$ arasında bire bir yazışma mevcuttur. İçin $n = 0,1,2, ...$ , let $F n$ alt kümesi olmak $F$ tam kardinalitesi tüm alt kümelerinin oluşturduğu $n$ . Sonra $F$ olduğu ayrık birleşimi ait $F n$ . Kardinalite $n'nin$ $X$ alt kümelerinin sayısı en çok $|$ $X$ $|$ $n,$ her bir alt kümesi için $, n$ elementlerden oluşan bir element olduğu $, n$ kat kartezyen ürün $X$ $, n$ ve $X$ . Yani $|$ $F$ $n$ $|$ $\leq |$ $X$ $|$ $n$ $= |$ $X$ $|$ ( B ) ile tüm $n$ ( C ) için.

Bu sonuçları bir araya getirdiğimizde görülüyor ki $| F | = | ⋃ n \in ω F n | \leq ℵ 0 \cdot | X | = | X |$ ( A ) ve ( C ) ile. Ayrıca, $| F | \geq | X |$ Beri $F$ tüm singletons içerir. Böylece, $| X | \leq | F |$ ve $| F | \leq | X |$ Böylece, tarafından Schröder-Bernstein teoremi , $| F | = | X |$ . Bu, tam olarak $X$ ve $F$ arasında bir $j$ eşleşmesi olduğu anlamına gelir . Son olarak, $x$ $,$ $y$ $\in$ $X için$ $x$ $•$ $y$ $=$ $j$ $-1$ $($ $j$ $($ $x$ $) Δ$ $j$ $($ $y$ $)) '$ $yi$ tanımlayın . Bu $($ $X$ $, •)$ bir gruba dönüşür. Dolayısıyla her set bir grup yapısına izin verir.

Grup yapısı olmayan bir ZF seti

Seçim aksiyomunun başarısız olduğu ZF modelleri vardır . Böyle bir modelde, iyi sıralanamayan kümeler vardır (bunları "iyi sıralanamayan" kümeler olarak adlandırın). Let $X$ be böyle bir set. Şimdi $Y = X \cup ℵ (X)$ kümesini düşünün . $Y$ bir grup yapısına sahip olsaydı , o zaman, ilk bölümdeki yapıyla, $X$ iyi sıralanabilir. Bu çelişki, $Y$ kümesinde hiçbir grup yapısının olmadığını göstermektedir .

Bir küme, bir grup yapısı ile donatılamayacak şekildeyse, o zaman zorunlu olarak iyi sıralanamaz. Aksi takdirde ikinci bölümdeki yapı bir grup yapısı ortaya çıkarmaktadır. Ancak bu özellikler eşdeğer değildir. Yani iyi sıralanamayan setlerin grup yapısına sahip olması mümkündür.

Örneğin , herhangi bir set ise, grup işlemi olarak simetrik fark olan bir grup yapısına sahiptir . Tabii ki, iyi sipariş edilemezse, o zaman da olamaz . Bir grup yapısını taşıyamayan kümelerin ilginç bir örneği , aşağıdaki iki özelliğe sahip kümelerdendir : ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle X}$ sonsuz bir Dedekind-sonlu kümedir . Başka bir deyişle, sayılabilir sonsuz alt kümesi yoktur. ${\ displaystyle X}$
Eğer sonlu kümeler bölünür, sonra tüm ama bunların sonlu sayıda singletons vardır. ${\ displaystyle X}$

Bu ikisinin kombinasyonunun bir grup yapısını kabul edemeyeceğini görmek için, böyle bir kümenin herhangi bir permütasyonunun yalnızca sonlu yörüngelere sahip olması gerektiğine ve neredeyse hepsinin zorunlu olarak tek tonlar olduğuna dikkat edin, bu da çoğu elemanın permütasyon tarafından hareket ettirilmediğini gösterir. Şimdi tarafından verilen permütasyon dikkate için, sonsuz vardır, etkisiz eleman olmadığı birçok şekilde onları böylece en az bir nötr bir madde değil de değilim. Tarafından çarpımı bunu sağlıyor aslında bir çelişki olduğu kimlik unsurudur. ${\ displaystyle x \ mapsto a \ cdot x}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle a \ cdot x = x}$ ${\ displaystyle x ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle a}$

Böyle bir kümenin varlığı tutarlıdır, örneğin Cohen'in ilk modelinde verilmiştir. Bununla birlikte, şaşırtıcı bir şekilde, sonsuz bir Dedekind-sonlu küme olmak, bir grup yapısını dışlamak için yeterli değildir, çünkü Dedekind-sonlu güç kümelerine sahip sonsuz Dedekind-sonlu kümeler olduğu tutarlıdır. ${\ displaystyle X}$

Notlar

Referanslar

Hajnal, A .; Kertész, A. (1972). "Seçim aksiyomunun bazı yeni cebirsel eşdeğerleri". Publ. Matematik. Debrecen . 19 : 339–340.
Rubin, Herman; Rubin, Jean E. (Temmuz 1985). Seçim Aksiyomunun Eşdeğerleri II . Kuzey Hollanda / Elsevier. ISBN 0-444-87708-8 .
Jech, Thomas (2002). Set teorisi, üçüncü milenyum baskısı (gözden geçirildi ve genişletildi) . Springer. ISBN 3-540-44085-2 .
Cohen, Paul J. (1966). Küme teorisi ve Süreklilik Hipotezi . Benjamin, New York.
Adkins; Weintraub (1992). Cebir . Matematikte Lisansüstü Metinler. 136 . Springer.

Languages

In other projects