Grothendieck evreni - Grothendieck universe

Gelen matematik bir Grothendieck evrenin bir dizi U , aşağıdaki özelliklere sahip:

1. Eğer x , U'nun bir elemanıysa ve y , x'in bir elemanıysa , o zaman y de U'nun bir elemanıdır . ( U geçişli bir kümedir .)
2. Eğer x ve y her ikisi de elemanları U , daha sonra bir elemanıdır U .${\ displaystyle \ {x, y \}}$
3. Eğer X bir elemanıdır U , daha sonra P ( x ), güç grubu bir x , aynı zamanda bir elemandır U .
4. Eğer unsurları ailesidir U ve eğer ben bir unsurdur U , daha sonra birlik bir elementtir U .${\ displaystyle \ {x _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ I içinde}}$${\ displaystyle \ bigcup _ {\ alpha \ in I} x _ {\ alpha}}$

Bir Grothendieck evreni, tüm matematiğin gerçekleştirilebileceği bir set sağlamak içindir. (Aslında, sayılamayan Grothendieck evrenleri , doğal ∈-ilişkisi, doğal güç kümesi çalışması vb. İle küme teorisi modelleri sağlar.) Bir Grothendieck evreninin unsurları bazen küçük kümeler olarak adlandırılır . Evrenler fikri kaynaklanmaktadır Alexander Grothendieck kaçınmanın bir yolu olarak kullanılan, uygun sınıfları içinde cebirsel geometri .

Önemsiz bir Grothendieck evreninin varlığı Zermelo-Fraenkel küme teorisinin olağan aksiyomlarının ötesine geçer ; özellikle ulaşılması zor kardinallerin varlığını ima ederdi . Tarski-Grothendieck küme teorisi , her kümenin bir Grothendieck evrenine ait olduğu bazı otomatik ispat sistemlerinde kullanılan küme teorisinin aksiyomatik bir incelemesidir. Bir Grothendieck evreni kavramı bir topo içinde de tanımlanabilir .

Özellikleri

Örnek olarak, kolay bir öneriyi kanıtlayacağız.

Önerme . Eğer ve öyleyse .${\ displaystyle x \ U’da}$${\ displaystyle y \ subseteq x}$${\ displaystyle y \ U’da}$

Kanıt. çünkü . çünkü öyle .${\ displaystyle y \ P (x)}$${\ displaystyle y \ subseteq x}$${\ displaystyle P (x) \ U’da}$${\ displaystyle x \ U’da}$${\ displaystyle y \ U’da}$

Herhangi bir Grothendieck evren U'nun şunları içerdiğini kanıtlamak da benzer şekilde kolaydır :

• Her bir öğesinin tüm tekilleri ,
• Tüm öğelerini ailelerin tüm ürünler U bir unsuru tarafından dizine U ,
• Tüm öğelerini ailelerin hepsi ayrık birlikleri U bir unsuru tarafından dizine U ,
• U öğesinin tüm ailelerinin tüm kesişimleri, bir U öğesi tarafından indekslenmiştir ,
• U'nun herhangi iki öğesi arasındaki tüm işlevler ve
• Kardinali U'nun bir öğesi olan U'nun tüm alt kümeleri .

Özellikle, son aksiyomdan, eğer U boş değilse , tüm sonlu alt kümelerini ve her sonlu kardinalitenin bir alt kümesini içermesi gerektiğini takip eder. Herhangi bir evren sınıfının kesişiminin bir evren olduğu tanımlardan da hemen kanıtlanabilir.

Grothendieck evrenleri ve erişilemez kardinaller

Grothendieck evrenlerinin iki basit örneği vardır:

• Boş küme ve
• Tüm kalıtsal olarak sonlu kümeler kümesi .${\ displaystyle V _ {\ omega}}$

Diğer örneklerin oluşturulması daha zordur. Kabaca konuşmak gerekirse, bunun nedeni Grothendieck evrenlerinin güçlü bir şekilde erişilemeyen kardinallere eşdeğer olmasıdır . Daha resmi olarak, aşağıdaki iki aksiyom eşdeğerdir:

Her set için (U) x , bir Grothendieck evrenin vardır U şekildedir X ∈ u .

(C) Her bir kardinal κ için, kesinlikle strict'dan daha büyük olan, kesinlikle erişilemeyen bir kardinal λ vardır.

Bu gerçeği kanıtlamak için c ( U ) fonksiyonunu tanıtıyoruz . Tanımlamak:

${\ displaystyle \ mathbf {c} (U) = \ sup _ {x \ U'da} | x |}$

nerede | x | x'in önemini kastediyoruz . O halde herhangi bir evren U için , c ( U ) ya sıfırdır ya da kesinlikle erişilemez. Varsayılarak herhangi bir elemanın güç grubu için güçlü bir sınır kardinal, sıfır olmayan bir U bir elemanıdır U ve her eleman U bir alt kümesidir U . Düzenli olduğunu görmek için, c _λ'nın I tarafından indekslenen bir kardinaller koleksiyonu olduğunu varsayalım , burada I ve her c _λ'nın kardinalitesi c ( U ) ' dan küçüktür . Daha sonra, c ( U ) tanımına göre , I ve her c _λ , U'nun bir elemanıyla değiştirilebilir . Unsurlarının birliği U bir eleman tarafından indekslenen U bir elemanıdır U toplamı, böylece c _λ bir elemanının önem düzeyi olan U , dolayısıyla daha az olan c ( U ). Kendi içinde hiçbir kümenin bulunmadığı temel aksiyomunu çağırarak, c ( U ) eşittir | U |; temel aksiyomu varsayılmadığında, karşı örnekler vardır (örneğin, U indisinin α herhangi bir gerçek sayı olduğu x _α kümelerinin tüm sonlu kümelerin vb. kümeleri olduğunu alabiliriz ve x _α = Her α için { x _α } . O halde U , sürekliliğin önemine sahiptir, ancak tüm üyeleri sonlu bir kardinaliteye sahiptir ve bu nedenle  ; daha fazla ayrıntı için Bourbaki'nin makalesine bakın). ${\ displaystyle \ mathbf {c} (U) = \ aleph _ {0}}$

Κ kesinlikle erişilemez bir kardinal olalım. Bir dizi söyle S kesinlikle tip k arasında ise herhangi Dizinin için s _n ∈ ... ∈ s ₀ ∈ S , | s _n | < κ . ( S'nin kendisi boş diziye karşılık gelir.) O halde, kesinlikle strict türündeki tüm kümelerin u ( κ ) kümesi, κ önemliliğinin bir Grothendieck evrenidir. Bu gerçeğin kanıtı uzundur, bu nedenle ayrıntılar için, referanslarda listelenen Bourbaki'nin makalesine tekrar başvuruyoruz.

Büyük ana aksiyomun (C) evren aksiyomunu (U) ima ettiğini göstermek için bir x kümesi seçin . Let x ₀ = x ve her biri için n , izin X _{, n + 1} = X _{, n} elemanlarının birlik olmak x _n . Let Y = X _{, n} . (C) ile, kesinlikle erişilemeyen bir κ vardır, öyle ki | y | <κ. Let u ( κ ) Önceki paragrafın evren olabilir. x kesinlikle κ tipindedir, dolayısıyla x ∈ u ( κ ). Evren aksiyomunun (U) büyük kardinal aksiyomu (C) ifade ettiğini göstermek için bir kardinal κ seçin. κ bir kümedir, dolayısıyla bir Grothendieck evreninin U unsurudur . U'nun kardinalitesi , kesinlikle erişilemez ve kesinlikle of'dan daha büyüktür. ${\ displaystyle \ bigcup}$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {n}}$

Aslında, herhangi bir Grothendieck evreni, bazıları için u ( κ ) biçimindedir . Bu, Grothendieck evrenleri ve kesinlikle erişilemez kardinaller arasındaki eşdeğerliğin başka bir biçimini verir:

Herhangi bir Grothendieck evreni için U , | U | sıfır veya kesinlikle erişilemez bir kardinaldir. Ve eğer κ sıfırsa veya kesinlikle erişilemez bir kardinal ise, o zaman bir Grothendieck evreni u (κ) vardır. Dahası, u (| U |) = U , ve | u ( κ ) | = κ .${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Kesinlikle erişilemeyen kardinallerin varlığı Zermelo-Fraenkel küme teorisinin (ZFC) aksiyomlarından kanıtlanamadığından , boş küme dışındaki evrenlerin varlığı ve ZFC'den de kanıtlanamaz. Ancak, kesinlikle erişilemeyen kardinaller, büyük kardinaller listesinin alt ucunda yer alır ; bu nedenle, büyük kardinalleri kullanan çoğu set teorisi ("ZFC artı ölçülebilir bir kardinal vardır ", "ZFC artı sonsuz sayıda Woodin kardinali vardır " gibi) Grothendieck evrenlerinin var olduğunu kanıtlayacaktır. ${\ displaystyle V _ {\ omega}}$

Ayrıca bakınız

• İnşa edilebilir evren
• Evren (matematik)
• Von Neumann evreni

Notlar

Referanslar

• Bourbaki Nicolas (1972). "Univers" . In Michael Artin ; Alexandre Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (editörler). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963–64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - cilt. 1 (Matematik Ders Notları 269 ) (Fransızca). Berlin; New York: Springer-Verlag . s. 185–217.