Yerçekimi bağlama enerjisi - Gravitational binding energy

Galaksi kümeleri , evrende yerçekimine bağlı olarak bilinen en büyük yapılardır.

Yerçekimi bağlanma enerjisi bir sistemin bir olmak durdurma sistemi için sırayla buna ilave edilmesi gereken en düşük enerji yerçekimsel bağlı halde . Kütleçekimsel olarak bağlı bir sistem, tamamen ayrıldığında parçalarının enerjilerinin toplamından daha düşük ( yani daha negatif) bir yerçekimi potansiyel enerjisine sahiptir - bu, sistemi minimum toplam potansiyel enerji ilkesine göre kümelenmiş halde tutan şeydir .

Düzgün yoğunluklu küresel bir cisim için , kütleçekimsel bağlanma enerjisi U aşağıdaki formülle verilir

${\ displaystyle U = {\ frac {3GM ^ {2}} {5R}}}$

burada G, bir yerçekimi sabiti , E kürenin kütlesi ve R, onun yarıçapıdır.

Dünya'nın tekdüze yoğunluklu bir küre olduğunu varsayarsak (ki bu değildir, ancak büyüklük derecesi tahminini elde etmek için yeterince yakın ) M = 5,97 × 10 ²⁴  kg ve r = 6,37 × 10 ⁶  m , sonra U = 2.24 x 10 ³²  J . Bu kabaca Güneş'in toplam enerji çıktısının bir haftasına eşittir . Bu 37,5 MJ / kg , yüzeydeki kilogram başına potansiyel enerjinin mutlak değerinin% 60'ı.

Sismik seyahat sürelerinden çıkarılan gerçek yoğunluğun derinlik bağımlılığı (bakınız Adams – Williamson denklemi ), Preliminary Reference Earth Modelinde (PREM) verilmiştir. Bunu kullanarak, Dünya'nın gerçek kütleçekimsel bağlanma enerjisi sayısal olarak U = 2.49 x 10 ³²  J .

Viriyal teoreme göre , bir yıldızın kütleçekimsel bağlanma enerjisi, hidrostatik dengenin sürdürülebilmesi için iç termal enerjisinin yaklaşık iki katıdır . Bir yıldızdaki gaz daha göreceli hale geldikçe , hidrostatik denge için gereken kütleçekimsel bağlanma enerjisi sıfıra yaklaşır ve yıldız kararsız hale gelir (pertürbasyonlara karşı oldukça duyarlıdır), bu da yüksek kütleli bir yıldız durumunda güçlü nedeniyle bir süpernovaya yol açabilir bir nötron yıldızı durumunda bir kara deliğe radyasyon basıncı .

Düzgün bir küre için türetme

Yarıçaplı bir kürenin kütleçekimsel bağlanma enerjisi, küresel kabukları önce en dışta olmak üzere art arda sonsuza hareket ettirerek ayrıldığını hayal ederek ve bunun için gereken toplam enerjiyi bularak bulunur. ${\ displaystyle R}$

Sabit bir yoğunluk varsayarsak , bir kabuğun ve içindeki kürenin kütleleri: ${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle m _ {\ mathrm {kabuk}} = 4 \ pi r ^ {2} \ rho \, dr}$       ve       ${\ displaystyle m _ {\ mathrm {iç}} = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho}$

Bir kabuk için gerekli enerji, yerçekimi potansiyel enerjisinin negatifidir:

${\ displaystyle {\ it {dU}} = - G {\ frac {m _ {\ mathrm {kabuk}} m _ {\ mathrm {iç}}} {r}}}$

Tüm mermilere entegre etmek şunları sağlar:

${\ displaystyle U = -G \ int _ {0} ^ {R} {\ frac {(4 \ pi r ^ {2} \ rho) ({\ tfrac {4} {3}} \ pi r ^ {3 } \ rho)} {r}} dr = -G {\ frac {16} {3}} \ pi ^ {2} \ rho ^ {2} \ int _ {0} ^ {R} {r ^ {4 }} dr = -G {\ frac {16} {15}} {\ pi} ^ {2} {\ rho} ^ {2} R ^ {5}}$

Bu yana bu nedenle, düzgün yoğunlukta nesneler için hacmine bölünmesiyle bütün kütlesine sadece eşittir ${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ rho = {\ frac {M} {{\ frac {4} {3}} \ pi R ^ {3}}}}$

Son olarak, bunu sonucumuza eklemek,

${\ displaystyle U = -G {\ frac {16} {15}} \ pi ^ {2} R ^ {5} \ left ({\ frac {M} {{\ frac {4} {3}} \ pi R ^ {3}}} \ sağ) ^ {2} = - {\ frac {3GM ^ {2}} {5R}}}$

Negatif kütle bileşeni

Mesafesi yerleştirilmiş iki organları, R olduğunda birbirlerine karşılıklı hareket etmeyen den biraz küçük olan bir üçüncü vücut üzerinde yerçekimi kuvveti uygular R küçüktür. Bu , eşit olarak küresel çözümler için sistemin negatif kütle bileşeni olarak görülebilir :

${\ displaystyle M _ {\ mathrm {bağlama}} = - {\ frac {3GM ^ {2}} {5Rc ^ {2}}}}$

Örneğin, toprak mevcut büyüklükte bir yerçekimsel-bağlı küre olması maliyetleri 2,49421 * 10 ¹⁵ kg kütle (kabaca bir dördüncü kütle Phobos - için yukarı bakınız aynı değere olarak Joule ) ve onun atomları seyrek halinde keyfi olarak büyük bir hacimde Dünya, mevcut kütlesi artı 2.49421 × 10 ¹⁵ kilogram ağırlığında olacaktır (ve üçüncü bir cisim üzerindeki yerçekimi buna göre daha güçlü olacaktır).

Bu negatif bileşenin bir sistemin pozitif bileşenini asla geçemeyeceği kolayca gösterilebilir. Sistemin kendi kütlesinden daha büyük bir negatif bağlanma enerjisi, aslında sistemin yarıçapının şunlardan daha küçük olmasını gerektirir:

${\ displaystyle R \ leq {\ frac {3GM} {5c ^ {2}}}}$

bu daha küçük olan Schwarzschild yarıçapı : ${\ displaystyle {\ frac {3} {10}}}$

${\ displaystyle R \ leq {\ frac {3} {10}} r _ {\ mathrm {s}}}$

ve bu nedenle dışarıdan bir gözlemci tarafından asla görülmez. Bununla birlikte, bu yalnızca bir Newton yaklaşımıdır ve göreceli koşullarda diğer faktörler de hesaba katılmalıdır.

Düzgün olmayan küreler

Gezegenler ve yıldızlar, düşük yoğunluklu yüzeylerinden çok daha yoğun sıkıştırılmış çekirdeklerine kadar radyal yoğunluk gradyanlarına sahiptir. Yozlaşmış madde nesneleri (beyaz cüceler; nötron yıldız pulsarları), radyal yoğunluk gradyanlarına ve göreli düzeltmelere sahiptir.

Nötron yıldızı göreli hal denklemleri, çeşitli modeller için yarıçap ve kütle grafiğini içerir. Belirli bir nötron yıldız kütlesi için en olası yarıçaplar AP4 (en küçük yarıçap) ve MS2 (en büyük yarıçap) modelleri tarafından parantez içine alınır. BE gözlenen nötron yıldız yerçekimi kütleye yerçekimi bağlanma enerjisi kütle cinsinden oranıdır M yarıçapı ile R ,

${\ displaystyle BE = {\ frac {0.60 \, \ beta} {1 - {\ frac {\ beta} {2}}}}}$      ${\ displaystyle \ beta \ = G \, M / R \, {c} ^ {2}.}$

Verilen mevcut değerler

${\ displaystyle G = 6,6743 \ times 10 ^ {- 11} \, \ mathrm {m ^ {3} {\ cdot} kg ^ {- 1} {\ cdot} s ^ {- 2}}}$

${\ displaystyle c ^ {2} = 8.98755 \ times 10 ^ {16} \, \ mathrm {m ^ {2} {\ cdot} s ^ {- 2}}}$

${\ displaystyle M _ {\ odot} = 1,98844 \ times 10 ^ {30} \, \ mathrm {kg}}$

ve güneş kütlesine göre ifade edilen yıldız kütlesi M ,

${\ displaystyle M_ {x} = {\ frac {M} {M _ {\ odot}}},}$

o zaman bir nötron yıldızının göreli fraksiyonel bağlanma enerjisi

${\ displaystyle BE = {\ frac {885.975 \, M_ {x}} {R-738.313 \, M_ {x}}}}$

Ayrıca bakınız

• Stres-enerji tensörü
• Stres-enerji-momentum sözde sensör
• Nordtvedt etkisi

Referanslar