Grüneisen parametresi - Grüneisen parameter

Adını Eduard Grüneisen'den alan Grüneisen parametresi crystal , kristal kafesin hacmini değiştirmenin titreşim özellikleri üzerindeki etkisini ve bunun sonucunda değişen sıcaklığın kristal kafesin boyutu veya dinamikleri üzerindeki etkisini açıklar . Terimi genellikle tek termodinamik özelliği tanımlamak için ayrılmış olan $y$ sayıda ayrı parametre bir ağırlıklı ortalama, $y$ $ı$ açısından Grüneisen orijinal formülasyonun giren fonon doğrusal olmayan.

Termodinamik tanımlar

Termodinamikteki birçok özellik ve türev arasındaki eşdeğerlikler nedeniyle (örneğin , Maxwell İlişkileri ), Grüneisen parametresinin eşit derecede geçerli olan ve anlamının çok sayıda farklı ancak doğru yorumlanmasına yol açan birçok formülasyonu vardır.

Grüneisen parametresi için bazı formülasyonlar şunları içerir:

${\ displaystyle \ gamma = V \ sol ({\ frac {dP} {dE}} \ sağ) _ {V} = {\ frac {\ alpha K_ {T}} {C_ {V} \ rho}} = { \ frac {\ alpha K_ {S}} {C_ {P} \ rho}} = {\ frac {\ alpha v_ {s} ^ {2}} {C_ {P}}} = - \ sol ({\ frac {\ kısmi \ ln T} {\ kısmi \ ln V}} \ sağ) _ {S}}$

burada $V$ hacimdir, ve ana (yani başına kütlesi), sabit basınç ve hacim ısı kapasiteleri, $E$ enerji, $S$ , entropi olan $α$ hacmi termal genleşme katsayısı , ve adyabatik ve izoterm olan toplu modülü , bir ortamdaki ses hızı ve $ρ$ yoğunluktur. Grüneisen parametresi boyutsuzdur. ${\ displaystyle C_ {P}}$ ${\ displaystyle C_ {V}}$ ${\ displaystyle K_ {S}}$ ${\ displaystyle K_ {T}}$ ${\ displaystyle v_ {s}}$

Çift etkileşimli mükemmel kristaller için Grüneisen sabiti

Boyutsal uzayda çift etkileşimli mükemmel bir kristalin Grüneisen sabiti için ifade şu şekildedir: ${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle \ Gama _ {0} = - {\ frac {1} {2d}} {\ frac {\ Pi '' '(a) a ^ {2} + (d-1) \ sol [\ Pi' '(a) a- \ Pi' (a) \ sağ]} {\ Pi '' (a) a + (d-1) \ Pi '(a)}},}$

burada olduğu arası potansiyel , denge mesafe alanı boyut olan. Grüneisen sabiti ile Lennard-Jones , Morse ve Mie potansiyellerinin parametreleri arasındaki ilişkiler aşağıdaki tabloda sunulmuştur. ${\ displaystyle \ Pi}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle d}$

Kafes	Boyutluluk	Lennard-Jones potansiyeli	Mie Potansiyeli	Mors potansiyeli
Zincir	${\ displaystyle d = 1}$	${\ displaystyle 10 {\ frac {1} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {m + n + 3} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {3 \ alpha a} {2}}}$
Üçgen kafes	${\ displaystyle d = 2}$	${\ displaystyle 5}$	${\ displaystyle {\ frac {m + n + 2} {4}}}$	${\ displaystyle {\ frac {3 \ alpha a-1} {4}}}$
FCC, BCC	${\ displaystyle d = 3}$	${\ displaystyle {\ frac {19} {6}}}$	${\ displaystyle {\ frac {n + m + 1} {6}}}$	${\ displaystyle {\ frac {3 \ alpha a-2} {6}}}$
"Hyperlattice"	${\ displaystyle d = \ infty}$	${\ displaystyle - {\ frac {1} {2}}}$	${\ displaystyle - {\ frac {1} {2}}}$	${\ displaystyle - {\ frac {1} {2}}}$
Genel formül	${\ displaystyle d}$	${\ displaystyle {\ frac {11} {d}} - {\ frac {1} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {m + n + 4} {2d}} - {\ frac {1} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {3 \ alpha a + 1} {2d}} - {\ frac {1} {2}}}$

Mie potansiyeline sahip bir 1B zincirinin Grüneisen sabiti ifadesi, MacDonald ve Roy'un sonuçlarıyla tam olarak örtüşmektedir. Grüneisen parametresi ile atomlar arası potansiyel arasındaki ilişkiyi kullanarak, çift etkileşimli mükemmel kristallerde Negatif Termal Genleşme için gerekli ve yeterli basit koşul elde edilebilir.

${\ Displaystyle \ Pi '' '(a) a> - (d-1) \ Pi' '(bir).}$ Grüneisen parametresinin uygun bir açıklaması, her tür atomlararası potansiyel için katı bir testi temsil eder.

Fonon frekansları aracılığıyla mikroskobik tanımlama

Parametrenin fiziksel anlamı, termodinamiğin bir kristal içindeki titreşen atomlar için makul bir mikrofizik modelle birleştirilmesiyle de genişletilebilir . Denge konumundan yer değiştiren bir atoma etki eden geri yükleme kuvveti atomun yer değiştirmesinde doğrusal olduğunda , bireysel fononların ω _i frekansları kristalin hacmine veya diğer fononların varlığına ve termal genişlemeye (ve böylece γ) sıfırdır. Yer değiştirmede geri yükleme kuvveti doğrusal olmadığında, fonon frekansları ω _i sesle birlikte değişir . Ayrı bir titreşim modunun Grüneisen parametresi daha sonra karşılık gelen frekansın logaritmik türevi (negatifi) olarak tanımlanabilir : ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle \ omega _ {i}}$

${\ displaystyle \ gamma _ {i} = - {\ frac {V} {\ omega _ {i}}} {\ frac {\ kısmi \ omega _ {i}} {\ kısmi V}}.}$

Mikroskobik ve termodinamik modeller arasındaki ilişki

Kullanılarak yarı-harmonik yaklaşım atom sarsıntıları için, makroskopik Grüneisen parametresi ( $γ$ ) titreşim frekansları (nasıl bilgi ile ilgili olabilir Fononlar , bir kristal içinde) hacmini değiştirmek ile değiştirilir (yani $γ i$ 'ler). Örneğin, biri bunu gösterebilir

${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {\ alpha K_ {T}} {C_ {V} \ rho}}}$

ağırlıklı ortalama olarak tanımlanırsa ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {\ sum _ {i} \ gamma _ {i} c_ {V, i}} {\ sum _ {i} c_ {V, i}}},}$

ısı kapasitesine kısmi titreşim modu katkıları nerede , öyle ki ${\ displaystyle c_ {V, i}}$ ${\ displaystyle C_ {V} = {\ frac {1} {\ rho V}} \ toplamı _ {i} c_ {V, i}.}$

Kanıt

Bu ilişkiyi kanıtlamak için partikül başına ısı kapasitesini tanıtmak en kolayıdır ; yani kişi yazabilir ${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {V} = \ toplam _ {i} c_ {V, i}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {i} \ gamma _ {i} c_ {V, i}} {{\ tilde {C}} _ {V}}} = {\ frac {\ alpha K_ {T }} {C_ {V} \ rho}} = {\ frac {\ alpha VK_ {T}} {{\ tilde {C}} _ {V}}}}$ .

Bu şekilde kanıtlamak yeterli

${\ displaystyle \ toplam _ {i} \ gama _ {i} c_ {V, i} = \ alpha VK_ {T}}$ .

Sol taraf (def):

${\ displaystyle \ sum _ {i} \ gamma _ {i} c_ {V, i} = \ sum _ {i} \ left [- {\ frac {V} {\ omega _ {i}}} {\ frac {\ kısmi \ omega _ {i}} {\ kısmi V}} \ sağ] \ sol [k_ {B} \ left ({\ frac {\ hbar \ omega _ {i}} {k_ {B} T}} \ sağ) ^ {2} {\ frac {\ exp \ left ({\ frac {\ hbar \ omega _ {i}} {k_ {B} T}} \ sağ)} {\ left [\ exp \ left ( {\ frac {\ hbar \ omega _ {i}} {k_ {B} T}} \ sağ) -1 \ sağ] ^ {2}}} \ sağ]}$

Sağ taraf (def):

${\ displaystyle \ alpha VK_ {T} = \ sol [{\ frac {1} {V}} \ sol ({\ frac {\ kısmi V} {\ kısmi T}} \ sağ) _ {P} \ sağ] V \ sol [-V \ sol ({\ frac {\ kısmi P} {\ kısmi V}} \ sağ) _ {T} \ sağ] = - V \ sol ({\ frac {\ kısmi V} {\ kısmi T}} \ sağ) _ {P} \ sol ({\ frac {\ kısmi P} {\ kısmi V}} \ sağ) _ {T}}$

Ayrıca ( Maxwell ilişkileri ):

${\ displaystyle \ sol ({\ frac {\ kısmi V} {\ kısmi T}} \ sağ) _ {P} = {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi T}} \ sol ({\ frac {\ kısmi G} {\ kısmi P}} \ sağ) _ {T} = {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi P}} \ sol ({\ frac {\ kısmi G} {\ kısmi T}} \ sağ) _ {P} = - \ sol ({\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi P}} \ sağ) _ {T}}$

Böylece

${\ displaystyle \ alpha VK_ {T} = V \ sol ({\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi P}} \ sağ) _ {T} \ sol ({\ frac {\ kısmi P} {\ kısmi V }} \ sağ) _ {T} = V \ sol ({\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi V}} \ sağ) _ {T}}$

Bu türev, belirlemek için basit bir yarı-harmonik yaklaşım yalnızca, $w ı$ olan V -bağımlı.

${\ displaystyle {\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi V}} = {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi V}} \ sol \ {- \ toplamı _ {i} k_ {B} \ ln \ sol [1- \ exp \ left (- {\ frac {\ hbar \ omega _ {i} (V)} {k_ {B} T}} \ sağ) \ sağ] + \ sum _ {i} {\ frac { 1} {T}} {\ frac {\ hbar \ omega _ {i} (V)} {\ exp \ left ({\ frac {\ hbar \ omega _ {i} (V)} {k_ {B} T }} \ sağ) -1}} \ sağ \}}$

${\ displaystyle V {\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi V}} = - \ toplamı _ {i} {\ frac {V} {\ omega _ {i}}} {\ frac {\ kısmi \ omega _ {i}} {\ kısmi V}} \; \; k_ {B} \ left ({\ frac {\ hbar \ omega _ {i}} {k_ {B} T}} \ right) ^ {2} { \ frac {\ exp \ left ({\ frac {\ hbar \ omega _ {i}} {k_ {B}} \ right)} {\ left [\ exp \ left ({\ frac {\ hbar \ omega _ {i}} {k_ {B} T}} \ sağ) -1 \ sağ] ^ {2}}} = \ toplam _ {i} \ gamma _ {i} c_ {V, i}}$

Bu verir

${\ displaystyle \ gamma = {\ dfrac {\ sum _ {i} \ gamma _ {i} c_ {V, i}} {\ sum _ {i} c_ {V, i}}} = {\ dfrac {\ alfa VK_ {T}} {{\ tilde {C}} _ {V}}}.}$

Ayrıca bakınız

Dış bağlantılar

Eric Weisstein'ın Fizik Dünyasından Tanımı

Languages

In other projects