Fresnel denklemleri - Fresnel equations

Fresnel denklemleri (ya da Fresnel katsayıları ) yansıması ve iletim tarif açık (ya da elektromanyetik radyasyon genel olarak) zaman farklı optik arasında bir ara yüz ile ilgili olay ortamı . Bunlar ile çıkartılmıştır Augustin-Jean Fresnel ( / f r eɪ n ɛ l / ışık bir anlamak için ilk) enine dalga herhangi bir dalganın "titreşimleri" elektrik ve manyetik alanlar olduğunu fark olsa da, . Fresnel denklemleri , bir malzeme arayüzü üzerine gelen s ve p polarizasyonlarının dalgalarının farklı davranışlarını doğru bir şekilde tahmin ettiğinden , polarizasyon ilk kez niceliksel olarak anlaşılabildi .

genel bakış

Ne zaman bir ortam arasındaki ışık saldırıları arayüzü kırılma indisi n, ₁ ve refraktif indeksi olan bir ikinci ortam , n ₂ , hem yansıma ve kırılma oluşabilir ışık. Fresnel denklemleri , polarizasyonun iki bileşeninin her biri için yansıyan dalganın elektrik alanının gelen dalganın elektrik alanına oranını ve iletilen dalganın elektrik alanının gelen dalganın elektrik alanına oranını verir . ( Manyetik alanlar da benzer katsayılar kullanılarak ilişkilendirilebilir.) Bu oranlar genellikle karmaşıktır, sadece bağıl genlikleri değil, aynı zamanda arayüzdeki faz kaymalarını da tanımlar .

Denklemler, ortamlar arasındaki arayüzün düz olduğunu ve ortamın homojen ve izotropik olduğunu varsayar . Gelen ışığın düzlem dalga olduğu varsayılır , bu da herhangi bir gelen ışık alanı düzlem dalgalara ve polarizasyonlara ayrıştırılabileceğinden herhangi bir sorunu çözmek için yeterlidir.

S ve P polarizasyonları

Gelen dalganın iki farklı lineer polarizasyon bileşeni için iki set Fresnel katsayısı vardır . Herhangi bir polarizasyon durumu , iki ortogonal lineer polarizasyonun bir kombinasyonu halinde çözülebildiğinden, bu herhangi bir problem için yeterlidir. Benzer şekilde, polarize olmayan (veya "rastgele polarize") ışık, iki doğrusal polarizasyonun her birinde eşit miktarda güce sahiptir.

s polarizasyonu, bir dalganın elektrik alanının geliş düzlemine normal polarizasyonunu ifade eder ( aşağıdaki türetmede z yönü); Daha sonra manyetik alandır içinde geliş düzlemine. P polarizasyonu elektrik alanının polarizasyon belirtir olarak yansıma düzlemine ( xy altında türetme düzlemi); o zaman manyetik alan geliş düzlemine normaldir .

Yansıtıcılık ve iletim polarizasyona bağlı olmasına rağmen, normal gelişte ( θ  = 0) aralarında bir ayrım yoktur, bu nedenle tüm polarizasyon durumları tek bir Fresnel katsayısı seti tarafından yönetilir (ve bunun doğru olduğu başka bir özel durum aşağıda belirtilmiştir) . ).

Güç (yoğunluk) yansıma ve iletim katsayıları

Sağdaki diyagramda, IO ışını yönünde gelen bir düzlem dalgası , O noktasında, n ₁ ve n ₂ kırılma indisli iki ortam arasındaki arayüze çarpıyor . Dalganın bir kısmı VEYA yönünde yansıtılır ve bir kısmı OT yönünde kırılır . Gelen, yansıyan ve kırılan ışınların arayüzün normali ile yaptıkları açılar sırasıyla θ _i , θ _r ve θ _t olarak verilmiştir.

Bu açılar arasındaki ilişki yansıma kanunu ile verilmektedir :

${\displaystyle \theta _{\mathrm {i} }=\theta _{\mathrm {r}},}$

ve Snell yasası :

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{\mathrm {i} }=n_{2}\sin \theta _{\mathrm {t} }.}$

Arayüze çarpan ışığın davranışı, bir elektromanyetik dalga oluşturan elektrik ve manyetik alanlar ve aşağıda gösterildiği gibi elektromanyetizma yasaları dikkate alınarak çözülür . Dalgaların elektrik alanı (veya manyetik alan) genliklerinin oranı elde edilir, ancak pratikte güç katsayılarını belirleyen formüllerle daha sık ilgilenilir , çünkü güç (veya ışıma ) optik frekanslarda doğrudan ölçülebilen şeydir. Bir dalganın gücü genellikle elektrik (veya manyetik) alan genliğinin karesiyle orantılıdır.

Arayüzden yansıyan gelen gücün fraksiyonuna yansıtma (veya "yansıma" veya "güç yansıma katsayısı") R diyoruz ve ikinci ortama kırılan fraksiyona geçirgenlik (veya "geçirgenlik" denir. , veya "güç iletim katsayısı") T  . Not Bu doğru ölçülebilir ne olduğu ile bir arayüz her iki tarafında ve bir emici orta dalga zayıflatılması için hesaba katmaz , aşağıdaki iletim veya yansıtma.

Yansıtma için s-polarize ışık IS

${\displaystyle R_{\mathrm {s} }=\left|{\frac {Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }-Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {t } }}{Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }+Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }}}\right|^{2},}$

ise yansıtma için , p-polarize edilmiş ışık IS

${\displaystyle R_{\mathrm {p} }=\left|{\frac {Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }-Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {i } }}{Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }+Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2},}$

burada Z, ₁ ve Z'nin ₂ olan dalga empedansları ortam, sırasıyla 1 ve 2 '.

Medyanın manyetik olmadığını varsayıyoruz (yani, μ ₁ = μ ₂ = μ ₀ ), bu tipik olarak optik frekanslarda (ve diğer frekanslarda şeffaf medya için) iyi bir yaklaşımdır. Daha sonra dalga empedansları yalnızca kırılma indisleri n ₁ ve n ₂ tarafından belirlenir :

${\displaystyle Z_{i}={\frac {Z_{0}}{n_{i}}}\,,}$

burada Z ₀ , boş alanın empedansıdır ve i  = 1, 2. Bu ikameyi yaparak, kırılma indislerini kullanarak denklemler elde ederiz:

${\displaystyle R_{\mathrm {s} }=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {t } }}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }}}\sağ|^{2}=\left| {\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }-n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}) \sin \theta _{\mathrm {i} }\sağ)^{2}}}}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }+n_{2}{\sqrt {1- \left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\sağ)^{2}}}}}\right|^{2}\ !,}$

${\displaystyle R_{\mathrm {p}}=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i } }}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2}=\left| {\frac {n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\sağ)^{ 2}}}-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}) }}\sin \theta _{\mathrm {i} }\sağ)^{2}}}+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\sağ|^{2}\ !.}$

Her denklemin ikinci formu, Snell yasası ve trigonometrik özdeşlikler kullanılarak θ _t'nin ortadan kaldırılmasıyla birinciden türetilir .

Enerjinin korunumunun bir sonucu olarak , iletilen güç (veya daha doğrusu, ışınım : birim alan başına güç), gelen gücün yansıtılmayan kısmı olarak bulunabilir: 

${\displaystyle T_{\mathrm {s} }=1-R_{\mathrm {s} }}$

ve

${\displaystyle T_{\mathrm {p} }=1-R_{\mathrm {p} }}$

Tüm bu yoğunlukların, arayüze dik yönde bir dalganın ışıması cinsinden ölçüldüğüne dikkat edin; bu aynı zamanda tipik deneylerde ölçülen şeydir. Bu sayı, ışık şiddetlerinin elde edilebilir bir olay ya da yansıtılan dalganın yönünde , (a dalgasının büyüklüğü tarafından verilen Poynting vektörü Cos ile çarpılır)  θ bir açı bir dalga için İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin nokta ürün alarak, eşdeğer normal yönde (veya Poynting vektörünün arayüze normal birim vektörü ile). Cos θ _i  = cos  θ _r olduğundan, yansıma katsayısı durumunda bu komplikasyon göz ardı edilebilir  , böylece dalga yönünde yansıyan ışığın gelen ışımaya oranı arayüze normal doğrultudaki ile aynıdır.

Bu ilişkiler temel fiziği tanımlasa da, birçok pratik uygulamada polarize olmayan olarak tanımlanabilecek "doğal ışık" ile ilgilenilir. Bu, s ve p polarizasyonlarında eşit miktarda güç olduğu anlamına gelir , böylece malzemenin etkin yansıtıcılığı yalnızca iki yansıtmanın ortalaması olur:

${\displaystyle R_{\mathrm {eff}}={\frac {1}{2}}\left(R_{\mathrm {s} }+R_{\mathrm {p} }\sağ).}$

Bilgisayar grafikleri gibi polarize olmayan ışığı içeren düşük hassasiyetli uygulamalar için, her açı için etkin yansıma katsayısını titizlikle hesaplamak yerine, Schlick'in yaklaşımı sıklıkla kullanılır.

Özel durumlar

Normal insidans

Durum için normal durum , ve s ve p polarizasyonu arasında bir fark yoktur. Böylece, yansıtma basitleştirir ${\displaystyle \theta _{\mathrm {i} }=\theta _{\mathrm {t} }=0}$

${\displaystyle R=\left|{\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\sağ|^{2}}$.

Hava ile çevrili sıradan cam ( n ₂ ≈ 1.5) için ( n ₁  = 1), normal insidansta güç yansımasının yaklaşık %4 veya bir cam levhanın her iki tarafını hesaba katarak %8 olduğu görülebilir.

Brewster açısı

Bir dielektrik arayüzünde n ₁ ile n, ₂ , hangi sıklığı özel bir açı vardır R, _s sıfıra gider ve bir p-polarize edilmiş gelen dalga saf kırılır, bu şekilde tüm ışık s-polarize edilmiş yansıyan. Bu açı Brewster açısı olarak bilinir ve n ₁  = 1 ve n ₂  = 1.5 (tipik cam) için yaklaşık 56°'dir .

Toplam iç yansıma

Daha yoğun bir ortam içinde seyahat eden ışık daha az yoğun bir ortamın yüzeyini çarptığında (yani, n, ₁ > n ₂ ) olarak bilinen özel bir geliş açısı ötesinde kritik açıdan , tüm hafif ve yansıyan R _s = R ' _p = 1 . Toplam iç yansıma olarak bilinen bu fenomen, Snell yasasının kırılma açısının sinüsünün birliği aşacağını öngördüğü geliş açılarında meydana gelir (aslında  tüm gerçek θ için sin  θ ≤ 1 ).  Hava ile çevrili n = 1.5 olan cam için kritik açı yaklaşık 41°'dir.

Karmaşık genlik yansıma ve iletim katsayıları

Güçlerle ilgili yukarıdaki denklemler ( örneğin bir fotometre ile ölçülebilir ), fiziksel sorunu elektromanyetik alan karmaşık genlikleri açısından çözen , yani güce ek olarak fazı dikkate alan ( çok yollu yayılımda önemlidir ) Fresnel denklemlerinden türetilmiştir. Örneğin). Bu temel denklemler genellikle bu EM alanlarının karmaşık değerli oranlarını sağlar ve kullanılan formalizmlere bağlı olarak birkaç farklı biçim alabilir. Karmaşık genlik katsayıları genellikle küçük harf r ve t ile temsil edilir (oysa güç katsayıları büyük harfle yazılır).

Aşağıda yansıma katsayısı r , yansıyan dalganın elektrik alan kompleksi genliğinin gelen dalganınkine oranıdır. İletim katsayısı t , iletilen dalganın elektrik alan kompleksi genliğinin gelen dalganınkine oranıdır. s ve p polarizasyonları için ayrı formüllere ihtiyacımız var . Her durumda , bir düzlem arayüzü üzerinde bir geliş açısında , bir açıda yansıyan ve yukarıdaki şekle karşılık gelen bir açıda iletilen bir dalga ile gelen bir düzlem dalgası varsayıyoruz . Soğurucu bir malzemeye ( n'nin karmaşık olduğu yerde ) veya toplam iç yansımaya bir arayüz durumunda, iletim açısının gerçek bir sayı olarak değerlendirilmeyebileceğini unutmayın. ${\displaystyle \theta _{\mathrm {i} }}$${\ Displaystyle \ theta _ {\mathrm {r} }}$${\ Displaystyle \ theta _ {\mathrm {t} }}$

Bir dalganın elektrik alanının işaretini bir dalganın yönüne göre ele alıyoruz. Sonuç olarak, normal gelişte p polarizasyonu için, gelen bir dalga için (sola doğru) elektrik alanının pozitif yönü, yansıyan bir dalganın (ayrıca soluna) zıttır ; için s polarizasyon hem (yukarı doğru) aynıdır.

Bu sözleşmeleri kullanarak,

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{s}}&={\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{ \text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]t_ {\text{s}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{ 2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]r_{\text{p}}&={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i }}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text {t}}}},\\[3pt]t_{\text{p}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}.\end{hizalanmış}}}$

Bir görebilmesi t _s = r _s + 1 ve n ₂/n, ₁t _p = r _p +1 . Dalgaların manyetik alanlarının oranına uygulanan benzer denklemler yazılabilir, ancak bunlar genellikle gerekli değildir.

Yansıyan ve gelen dalgalar aynı ortamda yayıldıkları ve yüzeyin normali ile aynı açıyı yaptıkları için, güç yansıma katsayısı R sadece r'nin kare büyüklüğüdür : 

${\displaystyle R=|r|^{2}.}$

Öte yandan, ışık iki ortamda farklı yönlerde hareket ettiğinden , güç aktarım katsayısı T'nin hesaplanması daha az basittir. Ayrıca, iki ortamdaki dalga empedansları farklıdır; güç yalnızca medyanın empedansları aynı olduğunda (yansıyan dalga için olduğu gibi) genliğin karesiyle orantılıdır. Bunun sonucunda:

${\displaystyle T={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}}|t|^{ 2}.}$

n ₂ / n ₁ faktörü , ortamın dalga empedanslarının oranının tersidir (çünkü μ  =  μ ₀ varsayıyoruz ). cos( θ _t )/cos( θ _i ) faktörü, hem gelen hem de iletilen dalgalar için arayüze normal yönde gücü ifade etmekten gelir.

Güç aktarımının T sıfır olduğu toplam iç yansıma durumunda , t yine de arayüzün hemen ötesindeki elektrik alanını (faz dahil) tanımlar. Bu, bir dalga olarak yayılmayan (dolayısıyla T  = 0) ancak arayüze çok yakın sıfırdan farklı değerlere sahip olan geçici bir alandır . Toplam iç yansıma ile yansıtılan dalganın faz kayması Benzer elde edilebilir faz açıları arasında r _p ve r, _s (olan büyüklükler birlik vardır). Bu faz kaymaları, polarizasyon dönüşümlerini etkilemek için toplam iç yansımanın kullanıldığı iyi bilinen ilke olan s ve p dalgaları için farklıdır .

alternatif formlar

r _s‍ için yukarıdaki formülde , (Snell kanunu) koyar ve pay ve paydayı ile çarparsak${\displaystyle n_{2}=n_{1}\sin \theta _{\text{i}}/\sin \theta _{\text{t}}}$1/n, ₁ günah θ _t ‍ elde ederiz 

${\displaystyle r_{\text{s}}=-{\frac {\sin(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\sin(\theta _ {\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.}$

Benzer şekilde r _p‍ formülüyle yaparsak , sonucun eşdeğer olduğu kolayca gösterilir. 

${\displaystyle r_{\text{p}}={\frac {\tan(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\tan(\theta _{ \text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.}$

Bu formüller sırasıyla Fresnel'in sinüs yasası ve Fresnel'in teğet yasası olarak bilinir . Normal gelişte bu ifadeler 0/0'a düşse de θ _i → 0 limitinde doğru sonuçları verdikleri görülebilir . ‍

Çoklu yüzeyler

Işık, iki veya daha fazla paralel yüzey arasında çoklu yansımalar yaptığında, birden fazla ışık demeti genellikle birbiriyle etkileşir , bu da ışığın dalga boyuna bağlı net iletim ve yansıma genlikleri ile sonuçlanır. Bununla birlikte, girişim, yalnızca yüzeyler, sıradan beyaz ışık için birkaç mikrometre olan ışığın tutarlılık uzunluğu ile karşılaştırılabilir veya ondan daha küçük mesafelerde olduğunda görülür ; bir lazerden gelen ışık için çok daha büyük olabilir .

Yansımalar arasındaki girişime bir örnek, bir sabun köpüğünde veya su üzerindeki ince yağ filmlerinde görülen yanardöner renklerdir . Uygulamalar arasında Fabry–Pérot interferometreler , yansıma önleyici kaplamalar ve optik filtreler bulunur . Bu etkilerin nicel bir analizi, Fresnel denklemlerine dayanır, ancak girişimi hesaba katmak için ek hesaplamalar içerir.

Transfer matris yöntemi veya yinelemeli Rouard yöntemin çok yüzey sorunları çözmek için kullanılabilir.

Tarih

1808'de Étienne-Louis Malus , bir ışık ışını metalik olmayan bir yüzeyden uygun açıda yansıdığında, çift ​​kırılmalı kalsit kristalinden çıkan iki ışından biri gibi davrandığını keşfetti . Daha sonra bu davranışı tanımlamak için kutuplaşma terimini kullandı . 1815 yılında, polarizasyon açısının kırılma indisine bağımlılığı David Brewster tarafından deneysel olarak belirlendi . Ancak bu bağımlılığın nedeni o kadar derin bir gizemdi ki, 1817'nin sonlarında Thomas Young şunları yazmaya başladı:

Polarize bir ışının yansıması ya da yansımaması için yeterli bir neden atamak olan herkesin en büyük zorluğu, herhangi bir teori tarafından tamamen çözülmemiş, iddialı bir felsefenin kibrini utandırmak için muhtemelen uzun süre kalacaktır.

Ancak 1821'de Augustin-Jean Fresnel , ışık dalgalarını daha önce polarizasyon düzlemi olarak adlandırılan şeye dik titreşimlere sahip enine elastik dalgalar olarak modelleyerek sinüs ve teğet yasalarına (yukarıda) eşdeğer sonuçlar elde etti . Fresnel, havadan cam veya suya ışık gelmesi için gelen ışın 45°'de geliş düzlemine polarize edildiğinde denklemlerin yansıyan ışının polarizasyon yönünü doğru bir şekilde öngördüğünü deneyle hemen doğruladı; özellikle, denklemler Brewster açısında doğru polarizasyonu verdi. Deneysel doğrulama, Fresnel'in "polarize olmayan" dalgalar da dahil olmak üzere ışık dalgalarının tamamen enine olduğu teorisini ilk kez açıkladığı çalışmanın bir "postscript"inde bildirildi .

Fresnel'in türetilmesinin ayrıntıları, sinüs yasası ve teğet yasasının modern biçimleri de dahil olmak üzere, daha sonra, Ocak 1823'te Fransız Bilimler Akademisi'ne okunan bir hatırada verildi . Bu türetme, enerjinin korunumunu arayüzdeki teğet titreşimin sürekliliği ile birleştirdi , ancak titreşimin normal bileşeni üzerinde herhangi bir koşula izin veremedi . Elektromanyetik ilkelerden ilk türetme 1875'te Hendrik Lorentz tarafından verildi .

Ocak 1823 aynı anı olarak, Fresnel kritik açıdan daha insidansının daha yüksek açıları için, yansıtma katsayıları için onun formülleri (tespit r _ler ve R _s ) birimi büyüklükleri ile kompleks değerlerini vermiştir. Büyüklüğün, her zamanki gibi, tepe genliklerinin oranını temsil ettiğini belirterek, argümanın faz kaymasını temsil ettiğini tahmin etti ve hipotezi deneysel olarak doğruladı. İlgili doğrulama

• o açıdaki çeşitli toplam iç yansıma sayıları için s ve p bileşenleri arasında 90°'lik bir toplam faz farkı oluşturacak geliş açısının hesaplanması (genellikle iki çözüm vardı),
• ışığı, geliş düzlemine 45 ° 'de bir ilk doğrusal polarizasyon ile, bu geliş açısında bu sayıda toplam iç yansımaya maruz bırakmak ve
• son polarizasyonun dairesel olduğunu kontrol etmek .

Böylece nihayet şimdi Fresnel eşkenar dörtgen dediğimiz şey için nicel bir teoriye sahipti - 1817'den beri şu ya da bu biçimde deneylerde kullandığı bir cihaz (bkz. Fresnel eşkenar dörtgen §  Tarih ).

Karmaşık yansıma katsayısının başarısı, 1836'dan başlayarak James MacCullagh ve Augustin-Louis Cauchy'ye , karmaşık bir kırılma indeksi ile Fresnel denklemlerini kullanarak metallerden yansımayı analiz etme konusunda ilham verdi .

Tamamlanmış toplam iç yansıma ve eşkenar dörtgen teorisini sunmadan dört hafta önce, Fresnel gerekli olan lineer polarizasyon , dairesel polarizasyon ve eliptik polarizasyon terimlerini tanıttığı ve optik rotasyonu bir çift ​​kırılma türü olarak açıkladığı bir anısını sundu : lineer polarize ışık, zıt yönlerde dönen dairesel polarize iki bileşene ayrılabilir ve bunlar farklı hızlarda yayılırsa, aralarındaki faz farkı - dolayısıyla lineer polarize bileşkelerinin oryantasyonu - mesafe ile sürekli olarak değişecektir.

Böylece Fresnel'in yansıma katsayılarının karmaşık değerlerine ilişkin yorumu, araştırmasının birkaç akışının birleştiğini ve tartışmalı bir şekilde, enine dalga hipotezi üzerinde fiziksel optik rekonstrüksiyonunun esaslı tamamlanmasını işaret ediyordu (bkz. Augustin-Jean Fresnel ).

teori

Burada yukarıdaki ilişkileri sistematik olarak elektromanyetik öncüllerden türetiyoruz.

Malzeme parametreleri

Anlamlı Fresnel katsayılarını hesaplamak için ortamın (yaklaşık olarak) doğrusal ve homojen olduğunu varsaymalıyız . Ortam aynı zamanda izotropik ise, dört alan vektörü E ,  B ,  D ,  H şu şekilde ilişkilidir : ‍  

D  = ϵ E 

B  = μ H   ,

burada ϵ ve μ , sırasıyla ortamın (elektrik) geçirgenliği ve (manyetik) geçirgenliği olarak bilinen skalerdir. Bir vakum için bunlar sırasıyla ϵ ₀ ve μ ₀ değerlerine sahiptir. Dolayısıyla, bağıl geçirgenliği (veya dielektrik sabiti ) ϵ _rel  =  ϵ / ϵ ₀  ve bağıl geçirgenliği μ _rel  =  μ / μ ₀ tanımlarız .

Optikte, ortamın manyetik olmadığını varsaymak yaygındır, böylece μ _rel  = 1 olur . Radyo/mikrodalga frekanslarındaki ferromanyetik malzemeler için, daha büyük μ _rel değerleri dikkate alınmalıdır. Ancak, optik olarak saydam ortamlar ve optik frekanslardaki diğer tüm malzemeler için (olası metamalzemeler hariç ), μ _rel gerçekten 1'e çok yakındır; yani, μ  ≈  μ ₀ .

Optikte, genellikle ışığın boşluktaki hızının ( c ) ortamdaki ışığın hızına oranı olan ortamın kırılma indisi n bilinir. Kısmi yansıma ve iletimin analizinde, E'nin genliğinin H'nin genliğine oranı olan elektromanyetik dalga empedansı Z ile de ilgilenilir . Nedenle, ifade için tercih edilir , n ve Z, açısından £ değerinin ve u ilişkilendirmek ve oradan Z için n . Bununla birlikte, son bahsedilen bağıntı, yansıma katsayılarının , dalga empedansının Z'nin tersi olan dalga kabulü Y cinsinden türetilmesini kolaylaştıracaktır .

Tekdüze düzlem sinüzoidal dalgalar durumunda , dalga empedansı veya kabulü, ortamın içsel empedansı veya kabulü olarak bilinir . Bu durum, Fresnel katsayılarının türetileceği durumdur.

Elektromanyetik düzlem dalgalar

Düzgün bir düzlem sinüzoidal elektromanyetik dalgada , elektrik alanı E şu şekildedir:

${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{i(\mathbf {k\cdot r} -\omega t)},}$

( 1 )

burada D _K , (sabit) kompleks genlik vektörü  ı olan sanal birim ,  k, bir dalga vektörü (, büyüklüğü k köşelidir dalga sayısı ),  r, bir konum vektörü ,  ω olan açısal frekans ,  t zaman, ve ifadenin asıl kısmının fiziksel alan olduğu anlaşılmaktadır . r konumu , k'ye normal bir yönde değişirse , ifadenin değeri değişmez ; dolayısıyla k dalga cephelerine normaldir .

İlerletmek için faz açısı aşağıdaki denklem ile cp , değiştirmek ωt ile ωt + φ  (olduğundan, değiştirmek -ωt ile -ωt-cp )  (karmaşık) alanı ile çarpılır ve bunun sonucunda e ^-iφ . Dolayısıyla bir faz ilerlemesi , negatif bir argümanla karmaşık bir sabitle çarpmaya eşdeğerdir . Bu, ( 1 ) alanı E _k e ^{i k⋅r} e ^−iωt olarak çarpanlara ayrıldığında daha açık hale gelir , burada son faktör zamana bağlılığı içerir. Bu faktör aynı zamanda wrt zaman farklılaşmasının −iω ile çarpmaya karşılık geldiğini ima eder .  ‍   

Eğer ℓ bileşenidir r yönünde k  , alanı ( 1 ), yazılabilir e _k e ^{ı ( kℓ-ωt )} . e ^{i (⋯)} argümanı sabit olacaksa,  ℓ faz hızı ( v _p ) olarak bilinen  hızda artmalıdır . Bu da şuna eşittir . k için çözme verir ‍  ‍ ${\görüntüleme stili \omega /k\,,\,}$  ‍ ${\görüntüleme stili c/n}$

${\görüntüleme stili k=n\omega /c\,}$.

( 2 )

Her zaman olduğu gibi, her karmaşık alan miktarını çarptığı anlaşılan zamana bağlı faktör e- ^{iωt'yi bırakıyoruz} . Düzgün bir düzlem sinüs dalgası için elektrik alanı daha sonra konuma bağlı fazör tarafından temsil edilecektir.

${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{i\mathbf {k\cdot r}}}$.

( 3 )

Bu formun alanları için Faraday yasası ve Maxwell-Ampère yasası sırasıyla 

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\omega \mathbf {B} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\\omega \mathbf {D} &=-\mathbf {k} \times \ mathbf {H} \,.\end{hizalı}}}$

Koyarak B = μ H ve D = ε E , yukarıdaki gibi, biz ortadan kaldırabilir B ve D , sadece denklemleri elde edilmesi için E ve H :          ‍‍

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\omega \mu \mathbf {H} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\\omega \epsilon \mathbf {E} &=-\mathbf {k } \times \mathbf {H} \,.\end{hizalanmış}}}$

Materyal parametreleri varsa e ve μ (kayıpsız dielektrik olduğu gibi) gerçek, bu denklemler olduğunu göstermektedir k  , E  , H    , bir formu sağ elini dik üçlüsünü aynı denklemler, ilgili vektörlerin büyüklüklerinin için geçerli böylece. Büyüklük denklemlerini alarak ve ( 2 )' den değiştirerek şunu elde ederiz:

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\mu cH&=nE\\\epsilon cE&=nH\,,\end{hizalı}}}$

burada , H ve E büyüklükleri olan H ve E .  Son iki denklemi çarparsak

${\displaystyle n=c\,{\sqrt {\mu \epsilon }}\,.}$

( 4 )

Aynı iki denklemi bölmek (veya çapraz çarpmak) H = YE verir , burada     ‍‍

${\displaystyle Y={\sqrt {\epsilon /\mu }}\,}$.

( 5 )

Bu içsel kabuldür .

( 4 ) 'den faz hızını elde ederiz . Bir vakum için bu azalır . İkinci sonucu birinciye bölmek verir ‍ ${\displaystyle c/n=1{\big /}\!{\sqrt {\mu \epsilon \,}}}$ ‍ ${\displaystyle c=1{\big /}\!{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}$ 

${\displaystyle n={\sqrt {\mu _{\text{rel}}\epsilon _{\text{rel}}}}\,}$.

Manyetik olmayan bir ortam için (olağan durum), bu olur . ${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}}$

( ( 5 )' in tersini alarak, içsel empedansın olduğunu buluruz . Bir boşlukta bu , boş uzayın empedansı olarak bilinen değeri alır . Bölerek, . Manyetik olmayan bir ortam için, bu olur )${\textstyle Z={\sqrt {\mu /\epsilon }}}$${\textstyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0}}}\,\yaklaşık 377\,\Omega \,,}$‍${\textstyle Z/Z_{0}={\sqrt {\mu _{\text{rel}}/\epsilon _{\text{rel}}}}}$ ${\displaystyle Z=Z_{0}{\big /}\!{\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}=Z_{0}/n.}$

dalga vektörleri

Kartezyen koordinatları ( x ,  y , z )‍ , bölge izin y < 0 kırılma indeksine sahip n ₁  , içsel başvuruda , Y ₁  , vb ve bölgesi izin y > 0 kırılma indeksine sahip n ₂  , içsel başvuruda , Y ₂  , vs. Sonra xz düzlemi arayüzdür ve y ekseni arayüze diktir (şemaya bakın). Let i ve j, (kalın Roma türü ) birim vektörler x ve y , sırasıyla, yön. Gelme düzlemi olalım xy insidans açısı ile düzlem (sayfanın düzlemi), θ _i ölçülen j doğru i . Aynı anlamda ölçülen kırılma açısı, θ _{t olsun} , burada t alt simgesi iletilen anlamına gelir ( yansıyan için r'yi ayırın ). ‍   ‍‍   ‍ 

Yokluğunda Doppler vardiya , ω yansıma veya kırılma üzerine değişmez. Dolayısıyla, ( 2 ) ile dalga vektörünün büyüklüğü kırılma indisi ile orantılıdır.

Bu yüzden, belirli bir için w , biz, eğer yeniden tanımlama k dalga vektörü büyüklük olarak referans (ki bunun için orta , n  = ‍1 ), daha sonra da dalga vektör büyüklüğe sahiptir , n ₁ k birinci ortam (bölge y < 0 içinde diyagram) ve ikinci ortamda büyüklük n ₂ k . Büyüklüklerden ve geometriden, dalga vektörlerinin ‍   ‍

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\mathbf {k} _{\text{i}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{r}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}-\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{t}}&= n_{2}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{t}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{t}})\\&=k(\mathbf {i} \,n_{1}\sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \,n_{2}\cos \theta _{\text{t}})\,,\ bitiş{hizalı}}}$

burada son adım Snell yasasını kullanır. Fazör formundaki ( 3 ) karşılık gelen nokta ürünleri şunlardır:

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} &=n_{1}k(x\sin \theta _{\text{i}} +y\cos \theta _{\text{i}})\\\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} &=n_{1}k(x\sin \theta _{\text{i}}-y\cos \theta _{\text{i}})\\\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} &=k(n_ {1}x\sin \theta _{\text{i}}+n_{2}y\cos \theta _{\text{t}})\,.\end{hizalı}}}$

( 6 )

Buradan:

At  .${\displaystyle y=0\,~~~\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} =\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\ cdot r} =\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} =n_{1}kx\sin \theta _{\text{i}}\,}$

( 7 )

s bileşenleri

İçin s polarizasyon, E alanı paralel olan z ekseni ve bu nedenle de bileşen ile tanımlanabilir z  yönünde. Yansıma ve iletim katsayıları olsun R _s ve t _s  , sırasıyla. Daha sonra, olay E alanı birim genliğe sahip olarak alınırsa , z  bileşeninin fazör formu ( 3 ) şu şekildedir :

${\displaystyle E_{\text{i}}=e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r}},}$

( 8 )

ve yansıyan ve iletilen alanlar, aynı biçimde,

${\displaystyle {\begin{hizalı}E_{\text{r}}&=r_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} } \\E_{\text{t}}&=t_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} }.\end{hizalı}} }$

( 9 )

Bu makalede kullanılan işaret kuralına göre, pozitif yansıma veya iletim katsayısı, enine alanın, yani (bu bağlamda) geliş düzlemine dik olan alanın yönünü koruyan bir katsayıdır . İçin s kutuplaşma, yani E alanını. Olay, yansıyan ve iletilen E alanları (yukarıdaki denklemlerde) z  yönünde ("sayfa dışı") ise, ilgili H alanları kırmızı okların yönündedir, çünkü k  , E  , H sağ elini kullanan bir ortogonal üçlü oluşturur. H alanları, bu nedenle ile gösterilen bu kuşaklar, oklar yönünde, kendi bileşenleri ile tarif edilebilir , H _ı  , H _R , H _t . Daha sonra, bu yana , H = YE ,        ‍      ‍

${\displaystyle {\begin{hizalı}H_{\text{i}}&=\,Y_{1}e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} } \\H_{\text{r}}&=\,Y_{1}r_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} }\ \H_{\text{t}}&=\,Y_{2}t_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} }.\ bitiş{hizalı}}}$

( 10 )

Arayüzde, elektromanyetik alanlar için olağan arayüz koşulları ile, E ve H alanlarının teğet bileşenleri sürekli olmalıdır; yani,

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}E_{\text{i}}+E_{\text{r}}&=E_{\text{t}}\\H_{\text{i}}\ cos \theta _{\text{i}}-H_{\text{r}}\cos \theta _{\text{i}}&=H_{\text{t}}\cos \theta _{\text {t}}\end{hizalı}}~~\sağ\}~~~{\metin{at}}~~y=0\,}$.

( 11 )

Denklemlerden ( 8 ) ( 10 )'a ve sonra ( 7 )' den ikame ettiğimizde , üstel faktörler birbirini götürür, böylece arayüz koşulları eşzamanlı denklemlere indirgenir.

${\displaystyle {\begin{aligned}1+r_{\text{s}}&=\,t_{\text{s}}\\Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}- Y_{1}r_{\text{s}}\cos \theta _{\text{i}}&=\,Y_{2}t_{\text{s}}\cos \theta _{\text{t }}\,,\end{hizalanmış}}}$

( 12 )

bu kolayca için çözülmüştür R _s ve t _s‍ , sonuçta

${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}} {Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}}$

( 13 )

ve

${\displaystyle t_{\text{s}}={\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}} +Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\,}$.

( 14 )

En normal durum ( θ _i = θ _t = 0), ek bir indis 0 ile gösterilen bu sonuçlar, olmak ‍   

${\displaystyle r_{\text{s0}}={\frac {Y_{1}-Y_{2}}{Y_{1}+Y_{2}}}}$

( 15 )

ve

${\displaystyle t_{\text{s0}}={\frac {2Y_{1}}{Y_{1}+Y_{2}}}\,}$.

( 16 )

En sıklığını otlayan ( θ _i → 90 °) , elimizdeki çünkü θ _i → 0 , dolayısıyla r _s → -1 ve t _s → 0 . ‍      ‍        

p bileşenleri

İçin p polarizasyon, olay, yansıtılan ve iletilen E alanları kırmızı oklarla paralel olan ve bu nedenle, bu kuşaklar, oklar yönünde bileşenleri ile tarif edilebilir. Bu bileşenlerin E _i  , E _r , E _t olmasına izin verin (yeni bağlam için sembolleri yeniden tanımlayın). Yansıma ve iletim katsayıları r _p ve t _{p olsun} . O halde olay E alanı birim genliğe sahip olarak alınırsa,    ‍  

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{i}}&=e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} }\\E_{\text {r}}&=r_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} }\\E_{\text{t}}&=t_ {p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} }.\end{hizalı}}}$

( 17 )

Eğer E alanları kırmızı oklar yönünde, o zaman, sırayla k  , E  , H , ilgili, sağ elini kullanan bir ortogonal üçlü grup şeklinde H alanlar olmalıdır -z  ( "sayfasına") yönünde ve bu nedenle bileşenleri tarafından bu yönde tanımlanabilir. Bu, pozitif yansıma veya iletim katsayısı enine alanın yönünü koruyan biri, yani bu, kabul işaret esası ile tutarlıdır ( H olması durumunda alan s polarizasyon ) . Anlaşması diğer kırmızı oklarla alan işaret sözleşmenin bir alternatif tanımlama gösterir: pozitif yansıma veya iletim katsayısı biridir ki önce ve yansımada ya da iletimde sonra aynı ortam doğru sıklığı noktalarının düzleminde alan vektörü.      

O halde, olay, yansıyan ve iletilen H alanları için, −z  yönündeki ilgili bileşenlerin H _i  , H _r , H _t olmasına izin verin . Daha sonra, bu yana , H = YE ,   ‍      ‍

${\displaystyle {\begin{hizalı}H_{\text{i}}&=\,Y_{1}e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} } \\H_{\text{r}}&=\,Y_{1}r_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} }\ \H_{\text{t}}&=\,Y_{2}t_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} }.\ bitiş{hizalı}}}$

( 18 )

Arayüzde, E ve H alanlarının teğetsel bileşenleri sürekli olmalıdır; yani,

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}E_{\text{i}}\cos \theta _{\text{i}}-E_{\text{r}}\cos \theta _{\text{\begin{aligned}E_{\text{ i}}&=E_{\text{t}}\cos \theta _{\text{t}}\\H_{\text{i}}+H_{\text{r}}&=H_{\text {t}}\end{hizalı}}~~\sağ\}~~~{\metin{at}}~~y=0\,}$.

( 19 )

( 17 ) ve ( 18 ) denklemlerinden ve sonra ( 7 ) denklemlerinden yerine koyduğumuzda , üstel faktörler tekrar birbirini götürür, böylece arayüz koşulları azalır

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\cos \theta _{\text{i}}-r_{\text{p}}\cos \theta _{\text{i}}&=\,t_{\text {p}}\cos \theta _{\text{t}}\\Y_{1}+Y_{1}r_{\text{p}}&=\,Y_{2}t_{\text{p} }\,.\end{hizalanmış}}}$

( 20 )

İçin çözme r _p ve t _p‍ , bulduğumuz

${\displaystyle r_{\text{p}}={\frac {Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}} {Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}}$

( 21 )

ve

${\displaystyle t_{\text{p}}={\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}} +Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\,}$.

( 22 )

En normal durum ( θ _i = θ _t = 0), ek bir indis 0 ile gösterilen bu sonuçlar, olmak ‍   

${\displaystyle r_{\text{p0}}={\frac {Y_{2}-Y_{1}}{Y_{2}+Y_{1}}}}$

( 23 )

ve

${\displaystyle t_{\text{p0}}={\frac {2Y_{1}}{Y_{2}+Y_{1}}}\,}$.

( 24 )

En sıklığını otlayan ( θ _i → 90 °) için, yine , çünkü θ _i → 0 , dolayısıyla r _p → -1 ve t _s → 0 . ‍      ‍        

( 23 ) ve ( 24 ) 'ü ( 15 ) ve ( 16 ) ile karşılaştırdığımızda, kabul edilen işaret kuralına göre normal gelişte iki polarizasyon için iletim katsayılarının eşit olduğunu, yansıma katsayılarının ise eşit büyüklüklere ancak zıt işaretlere sahip olduğunu görüyoruz. . Bu işaretler çatışması, sözleşmenin bir dezavantajı olsa da, buna eşlik eden avantaj, işaretlerin otlatma sıklığında aynı fikirde olmasıdır .

Güç oranları (yansıma ve geçirgenlik)

Poynting vektörü bir dalga için olan bileşeni, herhangi bir yönde bir vektör ışık şiddeti bu yönde bir yüzey normaline o dalganın (birim alan başına gücü). Düzlemsel bir sinüzoidal dalga için Poynting vektörü‍ 1/2‍Re{ E  × H ^∗ },  burada E ve H yalnızca söz konusu dalgadan kaynaklanmaktadır ve yıldız işareti karmaşık çekimi ifade etmektedir. Kayıpsız bir dielektrik içinde (olağan durum), E ve H aynı fazdadır ve birbirlerine ve dalga vektörüne k dik açıdadır  ; dolayısıyla, s polarizasyonu için, sırasıyla E ve H'nin z ve xy bileşenlerini kullanarak (veya p polarizasyonu için, E ve H'nin xy ve -z bileşenlerini kullanarak ), k yönündeki ışıma basitçe EH /2 ile verilir. , olan E ² / 2Z iç empedansı, belirli bir ortam içinde Z  = 1 / Y . Arayüze dik doğrultudaki ışımayı hesaplamak için, güç aktarım katsayısının tanımında gerektireceğimiz gibi , H veya E'nin yalnızca x bileşenini (tam xy bileşeni yerine ) kullanabilir veya eşdeğer olarak, basitçe çarpabiliriz. EH /2 uygun geometrik faktör ile ( E ² / 2Z )  cos  θ elde edilir . ‍‍   

( 13 ) ve ( 21 ) denklemlerinden , büyüklüklerin karesini alarak, yansıtmanın (yansıtılan gücün gelen güce oranı) olduğunu buluruz.

${\displaystyle R_{\text{s}}=\left|{\frac {Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{2}\cos \theta _{\text{t }}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}}$

( 25 )

s polarizasyonu için ve

${\displaystyle R_{\text{p}}=\left|{\frac {Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{1}\cos \theta _{\text{t }}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}}$

( 26 )

p polarizasyonu için. Aynı ortamdaki ve aynı  cos θ ile bu tür iki dalganın güçlerini karşılaştırırken, yukarıda belirtilen empedans ve geometrik faktörlerin aynı olduğuna ve birbirini götürdüğüne dikkat edin. Ancak güç aktarımının hesaplanmasında (aşağıda), bu faktörlerin dikkate alınması gerekir.  

Güç aktarım katsayısını ( iletkenlik , arayüze dik doğrultuda , yani y yönünde iletilen gücün gelen güce oranı) elde etmenin en basit yolu, R  +  T  = 1‍ (enerji korunumu) kullanmaktır. bu şekilde buluruz

${\displaystyle T_{\text{s}}=1-R_{\text{s}}=\,{\frac {4\,{\text{Re}}\{Y_{1}Y_{2}\ cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}\}}{\left|Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2 }\cos \theta _{\text{t}}\sağ|^{2}}}}$

( 25T )

s polarizasyonu için ve

${\displaystyle T_{\text{p}}=1-R_{\text{p}}=\,{\frac {4\,{\text{Re}}\{Y_{1}Y_{2}\ cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}\}}{\left|Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1 }\cos \theta _{\text{t}}\sağ|^{2}}}}$

( 26T )

p polarizasyonu için.

İki kayıpsız ortam arasında bir arayüz olması durumunda (bunun için ϵ ve μ gerçek ve pozitiftir), daha önce denklemlerde ( 14 ) ve ( 22 ) bulduğumuz genlik iletim katsayılarının kare büyüklükleri kullanılarak bu sonuçlar doğrudan elde edilebilir. . Ancak, verilen genlik için (yukarıda belirtildiği gibi), Poynting vektörünün y yönündeki bileşeni , geometrik faktör cos  θ‍ ile orantılı ve dalga empedansı Z ile ters orantılıdır . Bu düzeltmeleri her dalgaya uygulayarak, genlik iletim katsayısının karesini çarparak iki oran elde ederiz:

${\displaystyle T_{\text{s}}=\left({\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{ i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\sağ)^{2}{\frac {\,Y_{2}\,}{Y_{1}}}\ ,{\frac {\cos \theta _{\text{t}}}{\cos \theta _{\text{i}}}}={\frac {4Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}}{\left(Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}\sağ)^{2}}}}$

( 27 )

s polarizasyonu için ve

${\displaystyle T_{\text{p}}=\left({\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{ i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\sağ)^{2}{\frac {\,Y_{2}\,}{Y_{1}}}\ ,{\frac {\cos \theta _{\text{t}}}{\cos \theta _{\text{i}}}}={\frac {4Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}}{\left(Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}\sağ)^{2}}}}$

( 28 )

p polarizasyonu için. Son iki denklem sadece kayıpsız dielektrikler için ve sadece kritik açıdan daha küçük geliş açıları için geçerlidir (bunun ötesinde, elbette, T  = 0  ).

Eşit kırılma indeksleri

( 4 ) ve ( 5 ) denklemlerinden , geçirgenliklerinin oranı, geçirgenliklerinin oranının tersi ise, farklı iki ortamın aynı kırılma indisine, ancak farklı kabullere sahip olacağını görüyoruz. Bu olağandışı durumda θ _t = θ _i'ye sahibiz (yani iletilen ışın sapmasızdır), böylece ( 13 ), ( 14 ), ( 21 ), ( 22 ), ve ( 25 ) - ( 25 ) arasındaki kosinüsler 28 ) iptal edilir ve tüm yansıma ve iletim oranları, gelme açısından bağımsız hale gelir; başka bir deyişle, normal geliş oranları tüm geliş açılarına uygulanabilir hale gelir. Küresel yansıma veya saçılmaya genişletildiğinde, bu, Mie saçılması için Kerker etkisi ile sonuçlanır .    ‍

Manyetik olmayan ortam

Fresnel denklemleri optik için geliştirildiğinden, genellikle manyetik olmayan malzemeler için verilir. ( 4 ) ' ün ( 5 )) verimlerine bölünmesi

${\displaystyle Y={\frac {n}{\,c\mu \,}}}$.

Manyetik olmayan ortamlar için vakum geçirgenliğini μ ₀ yerine μ yerine koyabiliriz , böylece

${\displaystyle Y_{1}={\frac {n_{1}}{\,c\mu _{0}}}~~;~~~Y_{2}={\frac {n_{2}}{ \,c\mu _{0}}}\,}$;

yani, girişler, karşılık gelen kırılma indisleriyle basitçe orantılıdır. Bu ikameleri ( 13 ) ila ( 16 ) ve ( 21 ) ila ( 26 ) denklemlerinde yaptığımızda , cμ ₀ faktörü iptal olur. Genlik katsayıları için şunu elde ederiz:

${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}} {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}}$

( 29 )

${\displaystyle t_{\text{s}}={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}} +n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\,}$

( 30 )

${\displaystyle r_{\text{p}}={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}} {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}}$

( 31 )

${\displaystyle t_{\text{p}}={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}} +n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\,}$.

( 32 )

Normal insidans durumunda bunlar aşağıdakilere indirgenir:

${\displaystyle r_{\text{s0}}={\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}}$

( 33 )

${\displaystyle t_{\text{s0}}={\frac {2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}}}$

( 34 )

${\displaystyle r_{\text{p0}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}}$

( 35 )

${\displaystyle t_{\text{p0}}={\frac {2n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}\,}$.

( 36 )

Güç yansıma katsayıları şöyle olur:

${\displaystyle R_{\text{s}}=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t }}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}}$

( 37 )

${\displaystyle R_{\text{p}}=\left|{\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t }}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}}$.

( 38 )

Güç aktarımları daha sonra T  = 1 -  R'den bulunabilir .

Brewster açısı

Eşit geçirgenliği (örneğin, non-manyetik ortam), eğer için θ _i ve θ _t olan tamamlayıcı biz yerini alabilir sin θ _t için Cos θ _i , ve sin θ _i için Cos θ _t , böylece bu denklemde pay ( 31 ) olur , n ₂ sin θ _t - n ₁ sin θ _i , (Snell kanunu ile) sıfırdır. Dolayısıyla r _p = 0 ve sadece s-polarize bileşen yansıtılır. Bu ne olur ise Brewster açısı . İkame Cos θ _i için sin θ _t Snell yasasında, biz kolayca elde ‍  ‍‍  ‍‍  ‍‍  ‍‍ ‍  ‍ ‍     ‍  ‍‍  ‍

${\displaystyle \theta _{\text{i}}=\arctan(n_{2}/n_{1})}$

( 39 )

Brewster açısı için.

Eşit izinler

Pratikte karşılaşılmamasına rağmen, denklemler aynı geçirgenliğe sahip ancak farklı geçirgenliklerden dolayı farklı kırılma indislerine sahip iki ortam durumu için de geçerli olabilir. Denklemler (kaynaktan 4 ) ve ( 5 ise), ε yerine sabitlenir u , o , Y olur ters orantılı n sonucu, bu indisler 1 ve denklemlerde 2 ( 29 için) ( 38 ) nedeniyle (yerdeğiştirimiş pay ve paydayı n ₁ n ₂ ile çarpmanın ek adımı ). (Dolayısıyla, 29 ) ve ( 31 ), ifadeleri r _s ve r, _p kırılma indeksleri açısından değiştirilebilir olacak, bu yüzden Brewster açısı (yani 39 ) verecek r _s = 0 yerine r _p = 0 , ve herhangi bir bu açıda yansıyan ışın s-polarize yerine p-polarize olacaktır. Benzer şekilde, Fresnel'in sinüs yasası s polarizasyonu yerine p polarizasyonuna ve onun teğet yasası p polarizasyonu yerine s polarizasyonuna uygulanacaktır.        ‍‍

Bu polarizasyon anahtarı, ışık dalgalarının eski mekanik teorisinde bir analoga sahiptir ( yukarıdaki § Tarih 'e bakın ). (Fresnel gibi) farklı kırılma indislerinin farklı yoğunluklardan kaynaklandığını ve titreşimlerin o zamanlar polarizasyon düzlemi olarak adlandırılan düzleme normal olduğunu varsayarak veya ( MacCullagh ve Neumann gibi ) varsayarak gözlemle uyuşan yansıma katsayıları tahmin edilebilir . farklı kırılma indisleri, farklı esnekliklerden ve titreşimlerin bu düzleme paralel olmasından kaynaklanıyordu . Bu nedenle, eşit geçirgenlik ve eşit olmayan geçirgenlik koşulu, gerçekçi olmasa da, bazı tarihsel ilgi çekicidir.

Ayrıca bakınız

• Jones hesabı
• polarizasyon karıştırma
• Dizin eşleştirme malzemesi
• Alan ve güç miktarları
• Fresnel eşkenar dörtgen , Fresnel'in dairesel polarize ışık üreten aygıtı
• aynasal yansıma
• Schlick'in yaklaşımı
• Snell'in penceresi
• X-ışını yansıtma
• geliş düzlemi
• Sinyallerin İletken Hatlardaki Yansımaları

Notlar

Referanslar

Kaynaklar

• M. Born ve E. Wolf, 1970, Principles of Optics , 4. Baskı, Oxford: Pergamon Press.
• JZ Buchwald, 1989, Işığın Dalga Teorisinin Yükselişi: Ondokuzuncu Yüzyılın Başlarında Optik Teori ve Deney , University of Chicago Press, ISBN  0-226-07886-8 .
• RE Collin, 1966, Mikrodalga Mühendisliğinin Temelleri , Tokyo: McGraw-Hill.
• O. Darrigol, 2012, Optik Tarihi: Yunan Antik Çağından Ondokuzuncu Yüzyıla , Oxford, ISBN  978-0-19-964437-7 .
• A. Fresnel, 1866 (ed.  H. de Senarmont, E. Verdet ve L. Fresnel), Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel , Paris: Imprimerie Impériale (3 cilt, 1866–70), cilt.  1 (1866) .
• E. Hecht, 1987, Optik , 2. Baskı, Addison Wesley, ISBN  0-201-11609-X .
• E. Hecht, 2002, Optik , 4. Baskı, Addison Wesley, ISBN  0-321-18878-0 .
• FA Jenkins ve HE White, 1976, Fundamentals of Optics , 4. Baskı, New York: McGraw-Hill, ISBN  0-07-032330-5 .
• H. Lloyd, 1834, "Fiziksel optiğin ilerlemesi ve mevcut durumu hakkında rapor " , İngiliz Bilimin İlerlemesi Derneği'nin Dördüncü Toplantısının Raporu ( 1834'te Edinburgh'da düzenlendi), Londra: J. Murray, 1835, s. .  295-413.
• W. Whewell, 1857, Endüktif Bilimlerin Tarihi: En Erkenden Günümüze , 3. Baskı, Londra: JW Parker & Son, cilt.  2 .
• ET Whittaker , 1910, Eter ve Elektrik Teorilerinin Tarihi: Descartes Çağından Ondokuzuncu Yüzyılın Sonuna Kadar, Londra: Longmans, Green, & Co.

daha fazla okuma

• Woan, G. (2010). Cambridge Fizik Formülleri El Kitabı . Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-0-521-57507-2.
• Griffiths, David J. (2017). "Bölüm 9.3: Maddedeki Elektromanyetik Dalgalar". Elektrodinamiğe Giriş (4. baskı). Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-1-108-42041-9.
• Bant, YB (2010). Işık ve Madde: Elektromanyetizma, Optik, Spektroskopi ve Lazerler . John Wiley ve Oğulları. ISBN'si 978-0-471-89931-0.
• Kenyon, IR (2008). Işık Fantastik – Klasik ve Kuantum Optiğine Giriş . Oxford Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-0-19-856646-5.
• Fizik Ansiklopedisi (2. Baskı) , RG Lerner , GL Trigg, VHC yayıncıları, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• McGraw Hill Fizik Ansiklopedisi (2. Baskı) , CB Parker, 1994, ISBN  0-07-051400-3

Dış bağlantılar

• Fresnel Denklemleri – Wolfram.
• Fresnel denklemleri hesaplayıcısı
• FreeSnell – Özgür yazılım, çok katmanlı malzemelerin optik özelliklerini hesaplar.
• Thinfilm - İnce filmlerin ve çok malzeme (yansıma ve iletim katsayıları, Elipsometrik parametreler Psi ve delta) optik özelliklerinin hesaplanması için web arayüzü.
• Tek arayüzlü yansıma ve kırılma açılarını ve güçlerini hesaplamak için basit web arayüzü .
• İki dielektrik için yansıma ve geçirgenlik – Kırılma indisi ve yansıma arasındaki ilişkileri gösteren Mathematica etkileşimli web sayfası.
• Karmaşık kırılma indekslerine sahip bir çok tabakadan iletim ve yansıma olasılıklarının kendi kendine yeten bir birinci prensip türevi .