Düz manifold - Flat manifold

Gelen matematik bir Riemann manifoldu olduğu söylenir düz olarak ise Riemann eğrilik tensörü her sıfırdır. Sezgisel olarak, bir düz manifold, mesafeler ve açılar açısından Öklid uzayına "yerel olarak benzeyen" bir manifolddur , örneğin bir üçgenin iç açılarının toplamı 180°'ye kadar çıkar.

Evrensel kapak a tam düz manifolduna Öklit alandır. Bu, Bieberbach'ın ( 1911 , 1912 ) tüm kompakt düz manifoldların sonlu olarak tori tarafından kapsandığını kanıtlamak için kullanılabilir ; 3 boyutlu durum daha önce Schoenflies (1891) tarafından kanıtlanmıştır .

Örnekler

Aşağıdaki manifoldlar düz bir metrik ile donatılabilir. Bunun onların 'standart' metriği olmayabileceğini unutmayın (örneğin, 2 boyutlu simit üzerindeki düz metrik, içine olağan gömülmesiyle indüklenen metrik değildir ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Boyut 1

Her tek boyutlu Riemann manifoldu düzdür. Tersine, her bağlantılı tek boyutlu düz manifoldun ikisinden birine difeomorfik olduğu veya bağlı her tek boyutlu Riemann manifoldunun aşağıdakilerden birine izometrik olduğunu görmek kolaydır (her biri standart Riemann yapısına sahiptir): ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\görüntüleme stili S^{1},}$

• gerçek çizgi
• bazı sayılar için açık aralık${\görüntüleme stili (0,x)}$${\görüntüleme stili x>0}$
• açık aralık ${\görüntüleme stili (0,\infty )}$
• bir sayı için yarıçap çemberi${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=r^{2}\}}$${\görüntüleme stili r,}$${\görüntüleme stili r>0.}$

Sadece ilk ve son tamamlandı. Sınırlı Riemann manifoldları varsa, yarı açık ve kapalı aralıklar da dahil edilmelidir.

Bu durumda tam bir tanımlamanın basitliği, her tek boyutlu Riemann manifoldunun düzgün bir birim uzunlukta vektör alanına sahip olduğu ve yukarıdaki model örneklerinden birinden bir izometrinin bir integral eğrisi dikkate alınarak sağlandığı gerçeğine atfedilebilir.

Boyut 2

Difeomorfizme kadar beş olasılık

Eğer düz bir iki boyutlu bağlı tamamen düz Riemann manifoldu, daha sonra hiç diffeomorphic olmalıdır Möbius şeridi veya Klein şişe . Tek kompakt olasılıkların ve Klein şişesi olduğuna dikkat edin , tek yönlendirilebilir olasılıklar ve${\görüntüleme stili (M,g)}$${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle S^{1}\time S^{1},}$${\displaystyle S^{1}\time S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} ,}$${\displaystyle S^{1}\time S^{1}.}$

Bu uzaylarda farklı tam düz Riemann metriklerini tanımlamak daha fazla çaba gerektirir. Örneğin, farklı yarıçaplara sahip olmak için iki faktör alınabileceğinden, birçok farklı yassı ürün metriği bile vardır; dolayısıyla bu uzay, bir ölçek faktörüne kadar izometrik olmayan farklı düz çarpım metriklerine bile sahiptir. Beş olasılık hakkında tekdüze bir şekilde konuşmak ve özellikle Möbius şeridi ve Klein şişesiyle soyut manifoldlar olarak somut bir şekilde çalışmak için grup eylemlerinin dilini kullanmak faydalıdır. ${\displaystyle S^{1}\time S^{1}}$

İzometriye kadar beş olasılık

Verilen bırakıldığında yukarı çevirisini göstermek verdiği Let yansıma göstermek verdiği göz önüne alındığında iki pozitif sayılar aşağıdaki alt grupları göz önünde izometrileri grubunun standart metrik ile. ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle T_{(x_{0},y_{0})}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+x_{0},y+y_{0}).}$${\görüntüleme stili R}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$${\görüntüleme stili (x,y)\mapsto (x,-y).}$${\görüntüleme stili a,b,}$${\displaystyle \operatöradı {Isom} (\mathbb {R} ^{2}),}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• ${\displaystyle G_{e}=\{T_{(0,0)}\}}$
• ${\displaystyle G_{\text{silindir}}(a)=\{T_{(an,0)}:n\in \mathbb {Z} \}}$
• ${\displaystyle G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$ tedarik edilen ${\görüntüleme stili a<b.}$
• ${\displaystyle G_{\text{Moeb}}(a)=\{T_{(2na,0)}:n\in \mathbb {Z} \}\cup \{T_{((2n+1)a, 0)}\circ R:n\in \mathbb {Z} \}}$
• ${\displaystyle G_{\text{KB}}(b)=\{T_{(2na,bm)}:n,m\in \mathbb {Z} \}\cup \{T_{((2n+1) a,bm)}\circ R:n,m\in \mathbb {Z} \}}$

Bunların tümü, üzerinde serbest ve düzgün bir şekilde süreksiz olarak hareket eden gruplardır ve bu nedenle çeşitli koset uzaylarının tümü doğal olarak iki boyutlu tam düz Riemann manifoldlarının yapısına sahiptir. Hiçbiri birbirine izometrik değildir ve herhangi bir düzgün iki boyutlu tam düz bağlantılı Riemann manifoldu bunlardan birine izometriktir. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/G}$

Orbifoldlar

İlgili makalede listelenen (torus ve Klein ve şişe de dahil olmak üzere), düz metrik 17 kompakt 2 boyutlu orbifolds vardır orbifolds , 17 bu karşılık gelir duvar grupları .

Uyarılar

Bir şekilde torus standart 'resim' dikkat çörek merkezine noktaları yakın negatif kavise sahip ise merkezi uzak noktaları pozitif eğriliğe sahip olduğundan, düz bir metrik ile mevcut değildir. Kuiper'in Nash gömme teoremi formülasyonuna göre, üzerinde bulunan ancak bunlar kolayca görselleştirilemeyen düz çarpım metriklerinden herhangi birini indükleyen bir gömme vardır . Yana yüklü bir alt manifold olarak sunulmuştur ile (düz) ürün yapıların herhangi doğal altmanifoldları olarak sunulmuştur Benzer şekilde, Klein, şişenin standart üç boyutlu görsel düz metrik mevcut değildir. Bir Möbius şeridinin, bir kağıt şeridinin uçlarını birbirine yapıştırarak standart yapısı, gerçekten de ona düz bir metrik verir, ancak tam değildir. ${\görüntüleme stili C^{1}}$${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle S^{1}\time S^{1},}$${\görüntüleme stili S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle S^{1}\time S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}.}$

Boyut 3

Hepsi Seifert fiber uzayları olan 6 yönlendirilebilir ve 4 yönlendirilemez kompakt düz 3-manifold vardır ; bunlar bölüm grupları arasında 10 ile torsiyonsuz kristalografik grupları . Ayrıca 4 yönlendirilebilir ve 4 yönlendirilemez kompakt olmayan alan vardır. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

yönlendirilebilir

10 yönlendirilebilir düz 3 manifold:

1. Öklid 3-uzay , .${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
2. 3-tor bir karşıt yüzleri yapıştırılarak yapılan, küp .${\görüntüleme stili T^{3}}$
3. Bir küpün zıt yüzlerinin bir çift üzerinde 1/2 bükümle yapıştırılmasıyla yapılan manifold.
4. Bir küpün karşılıklı yüzlerini bir çift üzerinde 1/4 bükümle yapıştırarak yapılan manifold.
5. Altıgen prizmanın karşılıklı yüzlerinin altıgen yüzlere 1/3 bükümle yapıştırılmasıyla yapılan manifold .
6. Altıgen prizmanın karşılıklı yüzlerinin altıgen yüzlere 1/6 bükümle yapıştırılmasıyla yapılan manifold.
7. Hantzsche-Wendt manifoldu .
8. Birbirine yapıştırılmış iki paralel düzlem arasındaki boşluk olarak yapılan manifold .${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} ^{2}}$
9. Sonsuz kare bir bacanın karşılıklı duvarlarının yapıştırılmasıyla yapılan manifold .${\displaystyle T^{2}\times \mathbb {R} }$
10. Sonsuz kare bir bacanın karşılıklı duvarlarının bir çift üzerinde 1/2 bükümle yapıştırılmasıyla yapılan manifold.

Yönlendirilemez

Daha yüksek boyutlar

• Öklid uzayı
• Tori
• Düz manifold ürünleri
• Serbest hareket eden gruplara göre düz manifoldların bölümleri.

Uygunluk ilişkisi

Pozitif olmayan kesit eğriliğine sahip tüm kapalı manifoldlar arasında , düz manifoldlar tam olarak uygun bir temel gruba sahip olanlar olarak karakterize edilir .

Bu, Hadamard uzaylarının ayrık kokompakt izometri gruplarının çok daha genel ortamında bu karakterizasyonu kuran Adams- Ballmann teoreminin (1998) bir sonucudur . Bu, Bieberbach teoreminin geniş kapsamlı bir genellemesini sağlar .

Ayrılıkla varsayım Adams-Ballmann teoremi esastır: Aksi, sınıflandırma içermelidir simetrik boşluklar , Bruhat-Göğüsler binalar ve Bas-Serre ağaçları Caprace- ait "bölünmemiş" Bieberbach teoremin görünümünde Monod .

Ayrıca bakınız

• Uzay formları
• kristalografik gruplar
• Ricci-düz manifold
• Uyumlu düz manifold
• afin manifoldu

Referanslar

• Bieberbach, L. (1911), "Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume I", Mathematische Annalen , 70 (3): 297–336, doi : 10.1007/BF01564500.

• Bieberbach, L. (1912), "Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume II: Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich" , Mathematische Annalen , 72 (3): 400–412, doi : 10.1007/BF01456724.

• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Diferansiyel geometrinin temelleri . Cilt I (1963 orijinal baskısının yeniden basımı), New York: John Wiley & Sons, Inc., s. 209–224, ISBN 0-471-15733-3
• Schoenflies, A. (1891), Kristallsysteme ve Kristallstruktur , Teubner.

• Vinberg, EB (2001) [1994], "Kristalografik grup" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Düz Manifold" . Matematik Dünyası .

Referanslar