İyi yapı - Fine structure

Bir Fabry – Pérot interferometre ile görüntülenen, soğutulmuş döteryum kaynağının ince yapısını (bölünmesini) gösteren girişim saçakları .

Gelen atom fizik , ince yapı yarma tarif spektral çizgilerin bir atomu nedeniyle elektron dönüş ve göreli düzeltmeler relativistik olmayan için Schrödinger denkleminin . İlk olarak 1887'de Albert A. Michelson ve Edward W. Morley tarafından hidrojen atomu için kesin olarak ölçülmüştür ve Arnold Sommerfeld'in teorik işleminin temelini oluşturarak ince yapı sabitini ortaya koymuştur .

Arka fon

Brüt yapı

Brüt yapı hattı spektrumları bir spin relativistik olmayan elektron kuantum mekaniği ile tahmin hattı spektrumlandır. Bir için hidrojenik atomu, brüt yapısı enerji seviyeleri sadece bağlıdır ana kuantum sayısı n . Bununla birlikte, daha doğru bir model , enerji seviyelerinin dejenerasyonunu kıran ve spektral çizgileri bölen relativistik ve spin etkilerini hesaba katar . Brüt yapı enerjilere ince yapı yarma nisbetle ölçeği (mertebesindedir Zα ) ² , Z, bir atom numarası ve α olan ince yapı sabit bir, boyutsuz bir sayıdır yaklaşık 1/137 ile eşittir.

Göreli düzeltmeler

İnce yapı enerji düzeltmeleri pertürbasyon teorisi kullanılarak elde edilebilir . Bu hesaplamayı gerçekleştirmek için Hamiltoniyene üç düzeltici terim eklenmelidir : kinetik enerjiye önde gelen sıralı göreli düzeltme, spin-yörünge bağlaşımından kaynaklanan düzeltme ve elektronun kuantum dalgalanma hareketinden veya zitterden gelen Darwin terimi .

Dirac'ın teorisi doğal olarak görelilik ve spin etkileşimlerini içerdiğinden, bu düzeltmeler Dirac denkleminin göreceli olmayan sınırından da elde edilebilir .

Hidrojen atomu

Bu bölüm , problem analitik olarak çözülebilir olduğundan ve daha karmaşık atomlarda enerji seviyesi hesaplamaları için temel model olduğundan, hidrojen atomunun analitik çözümlerini tartışmaktadır .

Kinetik enerji göreceli düzeltme

Brüt yapı, Hamiltoniyen'in kinetik enerji teriminin klasik mekanikteki ile aynı formu aldığını varsayar; bu, tek bir elektron için anlamına gelir.

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {0} = {\ frac {p ^ {2}} {2m_ {e}}} + V}$

V burada potansiyel enerji , momentum ve bir elektron geri kalan kütlesi . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m_ {e}}$

Bununla birlikte, özel görelilik yoluyla daha doğru bir doğa teorisini düşünürken , kinetik enerjinin göreli bir formunu kullanmalıyız,

${\ displaystyle T = {\ sqrt {p ^ {2} c ^ {2} + m_ {e} ^ {2} c ^ {4}}} - m_ {e} c ^ {2} = m_ {e} c ^ {2} \ left [{\ sqrt {1 + {\ frac {p ^ {2}} {m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}}}} - 1 \ sağ]}$

İlk dönem, toplam göreli enerjisi ve ikinci terim burada geri kalan enerji elektronun ( bir ışık hızı ). Büyük değerler için karekökü genişletirken buluyoruz ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle T = {\ frac {p ^ {2}} {2m_ {e}}} - {\ frac {p ^ {4}} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}} + \ cdots}$

Bu seride sonsuz sayıda terim olmasına rağmen, sonraki terimler önceki terimlerden çok daha küçüktür ve bu nedenle ilk ikisi hariç hepsini göz ardı edebiliriz. Yukarıdaki ilk terim zaten klasik Hamiltoniyenin bir parçası olduğu için, Hamiltoniyene yapılan birinci dereceden düzeltme şu şekildedir:

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} '= - {\ frac {p ^ {4}} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}}}$

Bunu bir tedirginlik olarak kullanarak , göreceli etkilerden kaynaklanan birinci dereceden enerji düzeltmelerini hesaplayabiliriz.

${\ displaystyle E_ {n} ^ {(1)} = \ sol \ langle \ psi ^ {0} \ sağ \ vert {\ mathcal {H}} '\ sol \ vert \ psi ^ {0} \ sağ \ rangle = - {\ frac {1} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}} \ left \ langle \ psi ^ {0} \ right \ vert p ^ {4} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle = - {\ frac {1} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}} \ left \ langle \ psi ^ {0} \ right \ vert p ^ {2} p ^ {2} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle}$

bozulmamış dalga fonksiyonu nerede . Rahatsız Hamiltoniyeni hatırlayarak, görüyoruz ${\ displaystyle \ psi ^ {0}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {H}} ^ {0} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle & = E_ {n} \ sol \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle \\\ left ({\ frac {p ^ {2}} {2m_ {e}}} + V \ right) \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle & = E_ {n } \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle \\ p ^ {2} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle & = 2m_ {e} (E_ {n} -V) \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle \ end {hizalı}}}$

Bu sonucu, göreceli düzeltmeyi daha fazla hesaplamak için kullanabiliriz:

${\ displaystyle {\ begin {align} E_ {n} ^ {(1)} & = - {\ frac {1} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}} \ left \ langle \ psi ^ {0} \ right \ vert p ^ {2} p ^ {2} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle \\ E_ {n} ^ {(1)} & = - {\ frac {1} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}} \ left \ langle \ psi ^ {0} \ right \ vert (2m_ {e}) ^ {2} (E_ {n} -V ) ^ {2} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle \\ E_ {n} ^ {(1)} & = - {\ frac {1} {2m_ {e} c ^ {2} }} \ left (E_ {n} ^ {2} -2E_ {n} \ langle V \ rangle + \ left \ langle V ^ {2} \ right \ rangle \ sağ) \ end {hizalı}}}$

Hidrojen atomu için

${\ displaystyle V (r) = {\ frac {-e ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r}}}$ , Ve , ${\ displaystyle \ sol \ langle {\ frac {1} {r}} \ sağ \ rangle = {\ frac {1} {a_ {0} n ^ {2}}}}$${\ displaystyle \ sol \ langle {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ sağ \ rangle = {\ frac {1} {(l + 1/2) n ^ {3} a_ {0} ^ {2}}}}$

burada bir temel yüktür , bir vakum geçirgenlik , bir Bohr yarıçapı , bir ana kuantum sayısı , bir azimut kuantum sayısı ve çekirdekten elektronun mesafedir. Bu nedenle, hidrojen atomu için birinci dereceden göreli düzeltme, ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle a_ {0}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle {\ begin {align} E_ {n} ^ {(1)} & = - {\ frac {1} {2m_ {e} c ^ {2}}} \ sol (E_ {n} ^ {2 } + 2E_ {n} {\ frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {1} {a_ {0} n ^ {2}}} + {\ frac {1} {16 \ pi ^ {2} \ varepsilon _ {0} ^ {2}}} {\ frac {e ^ {4}} {(l + {\ frac {1} {2}}) n ^ { 3} a_ {0} ^ {2}}} \ sağ) \\ & = - {\ frac {E_ {n} ^ {2}} {2m_ {e} c ^ {2}}} \ left ({\ frac {4n} {l + {\ frac {1} {2}}}} - 3 \ sağ) \ end {hizalı}}}$

nerede kullandık:

${\ displaystyle E_ {n} = - {\ frac {e ^ {2}} {8 \ pi \ varepsilon _ {0} a_ {0} n ^ {2}}}}$

Nihai hesaplamada, temel duruma göre göreceli düzeltmenin büyüklük sırası şeklindedir . ${\ displaystyle -9.056 \ times 10 ^ {- 4} \ {\ text {eV}}}$

Döndürme yörünge kuplajı

Bir için hidrojen benzeri atomu ile (proton hidrojen), orbital açısal momentumun ve elektron dönüş , spin-yörünge terimi ile elde edilir: ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Z = 1}$${\ displaystyle {\ vec {L}}}$${\ displaystyle {\ vec {S}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {SO}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ { 0}}} \ right) \ left ({\ frac {g_ {s}} {2m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}} \ sağ) {\ frac {{\ vec {L}} \ cdot {\ vec {S}}} {r ^ {3}}}}$

spin g faktörü nerede . ${\ displaystyle g_ {s}}$

Sıkma -orbit düzeltme standarttan kaydırılmasıyla anlaşılabilir referans çerçevesi (burada elektron yörüngeleri çekirdeği ) elektron sabitken içine ve yörüngeleri yerine çekirdeği. Bu durumda yörüngedeki çekirdek etkili bir akım döngüsü olarak işlev görür ve bu da bir manyetik alan oluşturur. Bununla birlikte, elektronun kendisinin içsel açısal momentumu nedeniyle manyetik bir momenti vardır . İki manyetik vektörler ve çift birbirine çok göreceli yönelimine bağlı olarak belirli bir enerji maliyeti olduğu. Bu, formun enerji düzeltmesine yol açar ${\ displaystyle {\ vec {B}}}$${\ displaystyle {\ vec {\ mu}} _ {s}}$

${\ displaystyle \ Delta E _ {\ mathrm {SO}} = \ xi (r) {\ vec {L}} \ cdot {\ vec {S}}}$

Çekirdek çerçevesinden elektronun çerçevesine geri dönen göreli hesaplamadan gelen , Thomas presesyonu adı verilen hesaplamaya 2'nin önemli bir faktörünün eklenmesi gerektiğine dikkat edin .

Dan beri

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle {\ frac {1} {r ^ {3}}} \ right \ rangle & = {\ frac {Z ^ {3}} {n ^ {3} a_ {0} ^ {3}}} {\ frac {1} {l \ left (l + {\ frac {1} {2}} \ right) (l + 1)}} \\\ left \ langle {\ vec {L}} \ cdot {\ vec {S}} \ sağ \ rangle & = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2}} [j (j + 1) -l (l + 1) -s (s + 1)] \ end {hizalı}}}$

Hamiltonyen için beklenti değeri:

${\ displaystyle \ sol \ langle {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {SO}} \ sağ \ rangle = {\ frac {E_ {n} {} ^ {2}} {m_ {e} c ^ { 2}}} ~ n ~ {\ frac {j (j + 1) -l (l + 1) - {\ frac {3} {4}}} {l \ left (l + {\ frac {1} {2 }} \ sağ) (l + 1)}}}$

Böylelikle spin-orbital bağlaşımı için büyüklük sırası şu şekildedir . ${\ displaystyle {\ frac {Z ^ {4}} {n ^ {3} (j + 1/2)}} 10 ^ {- 5} {\ text {eV}}}$

Zayıf harici manyetik alanlar uygulandığında, dönme yörünge kuplajı Zeeman etkisine katkıda bulunur .

Darwin terimi

Dirac denkleminin göreceli olmayan genişlemesinde son bir terim var . İlk olarak Charles Galton Darwin tarafından türetildiği için Darwin terimi olarak anılır ve şu şekilde verilir:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {Darwin}} & = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {8m_ {e} ^ {2} c ^ {2 }}} \, 4 \ pi \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ sağ) \ delta ^ {3} \ left ({\ vec {r }} \ right) \\\ langle {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {Darwin}} \ rangle & = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {8m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}} \, 4 \ pi \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ sağ) | \ psi (0) | ^ {2} \ \\ psi (0) & = 0 {\ text {for}} l> 0 \\\ psi (0) & = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \, 2 \ left ( {\ frac {Z} {na_ {0}}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} {\ text {for}} l = 0 \\ {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {Darwin}} & = {\ frac {2n} {m_ {e} c ^ {2}}} \, E_ {n} ^ {2} \ end {hizalı}}}$

Darwin terimi yalnızca ların yörüngelerini etkiler. Bunun nedeni, başlangıçta bir elektronun dalga fonksiyonunun kaybolması, dolayısıyla delta fonksiyonunun hiçbir etkisinin olmamasıdır. Örneğin, 2s durumunu yükselterek 2s yörüngesine 2p yörünge ile aynı enerjiyi verir. ${\ displaystyle l> 0}$ 9,057 × 10 ⁻⁵  eV .

Darwin terimi çekirdekteki etkin potansiyeli değiştirir. Elektronun zitterbewegung veya hızlı kuantum salınımları nedeniyle elektron ve çekirdek arasındaki elektrostatik etkileşimin yayılması olarak yorumlanabilir . Bu, kısa bir hesaplama ile gösterilebilir.

Kuantum dalgalanmaları , belirsizlik ilkesiyle tahmin edilen bir ömre sahip sanal elektron-pozitron çiftlerinin oluşturulmasına izin verir . Parçacıklar, bu süre içinde hareket edebilir bir mesafe , Compton dalga boyu . Atomun elektronları bu çiftlerle etkileşime girer. Bu, dalgalanan bir elektron pozisyonu verir . Bir Taylor genişlemesi kullanarak , potansiyel üzerindeki etki tahmin edilebilir: ${\ displaystyle \ Delta t \ yaklaşık \ hbar / \ Delta E \ yaklaşık \ hbar / mc ^ {2}}$${\ displaystyle \ xi \ yaklaşık c \ Delta t \ yaklaşık \ hbar / mc = \ lambda _ {c}}$${\ displaystyle {\ vec {r}} + {\ vec {\ xi}}}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle U ({\ vec {r}} + {\ vec {\ xi}}) \ yaklaşık U ({\ vec {r}}) + \ xi \ cdot \ nabla U ({\ vec {r}} ) + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {ij} \ xi _ {i} \ xi _ {j} \ partic _ {i} \ partici _ {j} U ({\ vec {r} })}$

Dalgalanmalar üzerinden ortalama ${\ displaystyle {\ vec {\ xi}}}$

${\ displaystyle {\ overline {\ xi}} = 0, \ quad {\ overline {\ xi _ {i} \ xi _ {j}}} = {\ frac {1} {3}} {\ overline {{ \ vec {\ xi}} ^ {2}}} \ delta _ {ij},}$

ortalama potansiyeli verir

${\ displaystyle {\ üst çizgi {U \ sol ({\ vec {r}} + {\ vec {\ xi}} \ sağ)}} = U \ sol ({\ vec {r}} \ sağ) + {\ frac {1} {6}} {\ overline {{\ vec {\ xi}} ^ {2}}} \ nabla ^ {2} U \ left ({\ vec {r}} \ sağ).}$

Yaklaşık olarak , bu, dalgalanmalardan dolayı potansiyelin bozulmasına neden olur: ${\ displaystyle {\ overline {{\ vec {\ xi}} ^ {2}}} \ yaklaşık \ lambda _ {c} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ delta U \ yaklaşık {\ frac {1} {6}} \ lambda _ {c} ^ {2} \ nabla ^ {2} U = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {6m_ { e} ^ {2} c ^ {2}}} \ nabla ^ {2} U}$

Yukarıdaki ifadeyle karşılaştırmak için Coulomb potansiyelini yerine koyun :

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} U = - \ nabla ^ {2} {\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r}} = 4 \ pi \ sol ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ right) \ delta ^ {3} ({\ vec {r}}) \ quad \ Rightarrow \ quad \ delta U \ yaklaşık { \ frac {\ hbar ^ {2}} {6m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}} 4 \ pi \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ { 0}}} \ sağ) \ delta ^ {3} ({\ vec {r}})}$

Bu sadece biraz farklı.

Yalnızca s-durumunu etkileyen bir başka mekanizma, kuantum elektrodinamiğinde ortaya çıkan ve Darwin terimi ile karıştırılmaması gereken daha küçük bir düzeltme olan Lamb kaymasıdır . Darwin terimi, s-durumu ve p-durumuna aynı enerjiyi verir, ancak Kuzu kayması, s-durumunu enerjide p-durumundan daha yüksek yapar.

Toplam etki

Tam Hamiltoniyen tarafından verilir

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ mathcal {H}} _ {\ rm {Coulomb}} + {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {kinetic}} + {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {SO}} + H _ {\ mathrm {Darwin}}, \!}$

Coulomb etkileşiminden Hamiltoniyen nerede . ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ rm {Coulomb}}}$

Üç bileşenin toplanmasıyla elde edilen toplam etki aşağıdaki ifade ile verilmektedir:

${\ displaystyle \ Delta E = {\ frac {E_ {n} (Z \ alfa) ^ {2}} {n}} \ sol ({\ frac {1} {j + {\ frac {1} {2}} }} - {\ frac {3} {4n}} \ sağ) \ ,,}$

burada bir toplam açısal momentum kuantum sayısı ( varsa ve başka bir şekilde). Bu ifadenin ilk olarak Sommerfeld tarafından eski Bohr teorisine dayalı olarak elde edildiğini belirtmek gerekir ; yani, modern kuantum mekaniği formüle edilmeden önce . ${\ displaystyle j}$${\ displaystyle j = 1/2}$${\ displaystyle l = 0}$${\ displaystyle j = l \ pm 1/2}$

İnce yapı ve manyetik alan ile düzeltilmiş n = 2 için hidrojen atomunun enerji diyagramı . İlk sütun göreceli olmayan durumu (yalnızca kinetik enerji ve Coulomb potansiyeli) gösterir, kinetik enerjiye göreceli düzeltme ikinci sütuna, üçüncü sütun tüm ince yapıyı içerir ve dördüncü sütun Zeeman etkisini (manyetik alan bağımlılığı).

Tam göreceli enerjiler

Bohr'un modelinden bir hidrojen atomunun enerji seviyelerine göreceli düzeltmeler (Dirac). İnce yapı düzeltmesi, Lyman-alfa çizgisinin ( n = 2'den n = 1'e geçişte yayılan ) bir ikiliye bölünmesi gerektiğini öngörür .

Toplam etki, Dirac denklemi kullanılarak da elde edilebilir. Bu durumda, elektron göreceli olmayan olarak kabul edilir. Kesin enerjiler tarafından verilir

${\ displaystyle E_ {j \, n} = - m _ {\ text {e}} c ^ {2} \ left [1- \ left (1+ \ left [{\ dfrac {\ alpha} {nj - {\ frac {1} {2}} + {\ sqrt {\ left (j + {\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}}} \ sağ] ^ { 2} \ sağ) ^ {- 1/2} \ sağ].}$

Diğer hesaplamalarda dışarıda bırakılan tüm yüksek mertebeden terimleri içeren bu ifade, pertürbasyon teorisinden türetilen enerji düzeltmelerini vermek için birinci mertebeye genişler. Bununla birlikte, bu denklem , nükleer spin ile etkileşimlerden kaynaklanan aşırı ince yapı düzeltmelerini içermez . Kuzu kayması ve elektronun anormal manyetik dipol momenti gibi kuantum alan teorisinden diğer düzeltmeler dahil edilmemiştir.

Ayrıca bakınız

• Açısal momentum bağlantısı
• İnce elektronik yapı

Referanslar

• Griffiths, David J. (2004). Kuantum Mekaniğine Giriş (2. baskı) . Prentice Hall. ISBN   0-13-805326-X .
• Liboff, Richard L. (2002). Giriş Kuantum Mekaniği . Addison-Wesley. ISBN   0-8053-8714-5 .

Dış bağlantılar

• Hiperfizik: İnce Yapı
• Teksas Üniversitesi: Hidrojenin ince yapısı