Alan (matematik) - Field (mathematics)

Düzenli yedigen sadece kullanılarak inşa edilemez cetvel ve pusula inşaat ; bu, yapılandırılabilir sayılar alanı kullanılarak kanıtlanabilir .

In matematik , bir alan bir olduğunu seti hangi ilave , çıkarma , çarpma ve bölme üzerine gelen operasyonlar olarak tanımlanır ve uslu rasyonel ve reel sayılar yoktur. Bu nedenle bir alan, cebirde , sayı teorisinde ve matematiğin diğer birçok alanında yaygın olarak kullanılan temel bir cebirsel yapıdır .

En iyi bilinen alanlar rasyonel sayılar alanı, gerçek sayılar alanı ve karmaşık sayılar alanıdır . Rasyonel fonksiyonların alanları , cebirsel fonksiyon alanları , cebirsel sayı alanları ve p- adic alanları gibi diğer birçok alan, matematikte, özellikle sayı teorisi ve cebirsel geometride yaygın olarak kullanılır ve incelenir . Çoğu kriptografik protokol , sonlu alanlara , yani sonlu sayıda öğeye sahip alanlara dayanır .

İki alanın ilişkisi, bir alan uzantısı kavramıyla ifade edilir . 1830'larda Évariste Galois tarafından başlatılan Galois teorisi , alan uzantılarının simetrilerini anlamaya adanmıştır. Diğer sonuçların yanı sıra, bu teori, açıyı üçe bölmenin ve dairenin karesini almanın bir pergel ve cetvelle yapılamayacağını gösterir . Ayrıca, beşli denklemlerin genel olarak cebirsel olarak çözülemez olduğunu gösterir.

Alanlar, çeşitli matematiksel alanlarda temel kavramlar olarak hizmet eder. Bu, ek yapıya sahip alanlara dayanan farklı matematiksel analiz dallarını içerir . Analizdeki temel teoremler, reel sayılar alanının yapısal özelliklerine dayanır. Cebirsel amaçlar için en önemlisi, herhangi bir alan , lineer cebir için standart genel bağlam olan bir vektör uzayı için skaler olarak kullanılabilir . Rasyonel sayılar alanının kardeşleri olan sayı alanları , sayılar teorisinde derinlemesine incelenir . İşlev alanları , geometrik nesnelerin özelliklerini tanımlamaya yardımcı olabilir.

Tanım

Gayri resmi olarak, bir alan, o kümede tanımlanan iki işlemle birlikte bir kümedir: a + b olarak yazılan bir toplama işlemi ve ab olarak yazılan bir çarpma işlemi , her ikisi de rasyonel sayılar ve gerçek sayılar için davrandıkları gibi davranır. bir varlığı da dahil olmak üzere ilave ters - bir bütün elemanlar için bir , ve bir çarpımsal ters b -1 her sıfır olmayan bir elemanı, b . Bu , çıkarma , ab ve bölme , a / b , aşağıdakileri tanımlayarak ters işlem olarak adlandırılan işlemleri de dikkate almayı sağlar :

ab = bir + (− b ) ,
a / b = birb −1 .

Klasik tanım

Resmen bir alanı olan dizi F iki birlikte ikili işlemler üzerinde F denilen ek ve çarpma . A ikili işlem F bir eşleme olan K x KK , her biri ile birleşen elemanların çift sıralı, yani bir yazışma F bir benzersiz şekilde belirlenmiş elemanı F . İlave sonucu , bir ve b toplamı olarak adlandırılan bir ve b ve gösterilir bir + b . Benzer bir şekilde, çarpımının sonucu bir ve b ürünü olarak adlandırılan bir ve b ve gösterilir ab veya birb . Bu işlemler, alan aksiyomları olarak adlandırılan aşağıdaki özellikleri sağlamak için gereklidir (bu aksiyomlarda a , b ve c , F alanının rastgele öğeleridir ):

  • Birleşim toplama ve çarpma: bir (+ b + c ) = ( a + b ) + c ve bir ⋅ ( bc ) = ( ab ) ⋅ c .
  • Toplama ve çarpmanın değişebilirliği : a + b = b + a , ve ab = ba .
  • Katkı ve çarpımsal kimlik : iki farklı elemanı vardır biri 0 ve 1 ' de F , öyle ki , bir + = 0 , bir ve bir ⋅ 1 = bir .
  • Katkı tersleri : Her için a olarak F , bir elemanı vardır F gösterilen, - bir , adı verilen katkı ters ait bir , öyle ki , bir - (+ a ) = 0 .
  • Çarpma tersleri : Her için bir ≠ 0 olarak F , bir in elemanı vardır F ile gösterilen, bir -1 ya da 1 / a olarak adlandırılan, çarpımsal ters ait bir , öyle ki birbir -1 = 1 .
  • Çarpmanın toplamaya göre dağılımı : a ⋅ ( b + c ) = ( ab ) + ( ac ) .

Bu şu şekilde özetlenebilir: Bir alanın toplama ve çarpma adı verilen iki işlemi vardır; toplamsal kimlik olarak 0 ile toplama altında bir değişmeli gruptur ; sıfır olmayan öğeler, çarpımsal özdeşlik olarak 1 ile çarpma altında bir değişmeli gruptur; ve çarpma toplama üzerinde dağıtır.

Daha da özetlenebilir: Bir alan olduğunu değişmeli halka bütün sıfırdan farklı elemanları ters çevrilebilir ve.

alternatif tanım

Alanlar ayrıca farklı ancak eşdeğer şekillerde tanımlanabilir. Alternatif olarak, dört ikili işlem (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) ve bunların gerekli özellikleri ile bir alan tanımlanabilir. Sıfıra bölme , tanım gereği hariç tutulur. Varoluşsal niceleyicilerden kaçınmak için , alanlar iki ikili işlem (toplama ve çarpma), iki tekli işlem (sırasıyla toplam ve çarpımsal tersleri veren) ve iki boş işlem ( 0 ve 1 sabitleri ) ile tanımlanabilir. Bu işlemler daha sonra yukarıdaki koşullara tabidir. Yapıcı matematik ve hesaplamada varoluşsal niceleyicilerden kaçınmak önemlidir . 0 = 1 + (−1) ve a = (−1) a olduğundan , aynı iki ikili işlem, bir tekli işlem (çarpımsal tersi) ve iki sabit 1 ve −1 ile bir alan eşdeğer olarak tanımlanabilir .

Örnekler

Rasyonel sayılar

Rasyonel sayılar, alan kavramının detaylandırılmasından çok önce yaygın olarak kullanılmıştır. Bunlar şu şekilde yazılabilir sayılardır kesirler bir / b , bir ve b olan tamsayılar ve b ≠ 0 . Bu tür bir fraksiyonun ilave tersidir - bir / B ve (şartıyla çarpımsal ters bir ≠ 0 olduğu) b / a aşağıdaki gibi görülebilir:

Soyut olarak gerekli alan aksiyomları, rasyonel sayıların standart özelliklerine indirgenir. Örneğin, dağılım yasası aşağıdaki gibi kanıtlanabilir:

Gerçek ve karmaşık sayılar

Karmaşık sayıların çarpımı, döndürmeler ve ölçeklemelerle geometrik olarak görselleştirilebilir.

Gerçek sayılar R de bir alan oluşturmak, toplama ve çarpma olağan operasyonları ile. Karmaşık sayılar C ifadeler oluşmaktadır

a + bi , ile a , b gerçek,

burada i , hayali birimdir , yani, i 2 = -1'i sağlayan (gerçek olmayan) bir sayıdır . Gerçek sayıların toplanması ve çarpılması, bu tür ifadelerin tüm alan aksiyomlarını karşılayacak ve dolayısıyla C için geçerli olacak şekilde tanımlanır . Örneğin, dağıtım yasası

( a + bi )( c + di ) = ac + bci + adi + bdi 2 = acbd + ( bc + ad ) ben .

Bunun yine yukarıdaki türden bir ifade olduğu hemen anlaşılır ve bu nedenle karmaşık sayılar bir alan oluşturur. Karmaşık sayılar geometrik olarak düzlemdeki noktalar olarak temsil edilebilir , Kartezyen koordinatları açıklayıcı ifadelerinin gerçek sayılarıyla verilir veya orijinden bu noktalara giden, uzunlukları ve belirli bir yönle çevrelenmiş bir açı ile belirtilen oklar olarak temsil edilebilir. Toplama daha sonra okları sezgisel paralelkenarla birleştirmeye (Kartezyen koordinatları ekleme) karşılık gelir ve çarpma - daha az sezgisel olarak - okların döndürülmesini ve ölçeklenmesini (açıları toplama ve uzunlukları çarpma) birleştirmedir. Gerçek ve karmaşık sayıların alanları matematik, fizik, mühendislik, istatistik ve diğer birçok bilimsel disiplinde kullanılmaktadır.

Yapılabilir numaralar

Geometrik ortalama teoremi iddia h 2 = pq . q = 1'i seçmek , belirli bir yapılandırılabilir sayı p'nin karekökünün oluşturulmasına izin verir .

Antik çağda, bazı geometrik problemler, pergel ve cetvelle belirli sayıları oluşturmanın fizibilitesi ile ilgiliydi . Örneğin, belirli bir açıyı bu şekilde üçe bölmenin genel olarak imkansız olduğu Yunanlılar tarafından bilinmiyordu. Bu problemler yapılandırılabilir sayılar alanı kullanılarak çözülebilir . Gerçek inşa edilebilir sayılar, tanım gereği, yalnızca pergel ve düz kenar kullanılarak sonlu sayıda adımda 0 ve 1 noktalarından oluşturulabilen doğru parçalarının uzunluklarıdır . Gerçek sayıların alan işlemleriyle donatılmış, yapılandırılabilir sayılarla sınırlı bu sayılar, rasyonel sayıların Q alanını uygun şekilde içeren bir alan oluşturur . Şekil, Q içinde bulunması gerekmeyen, inşa edilebilir sayıların kareköklerinin yapısını göstermektedir . Şekildeki etiketlemeyi kullanarak, AB , BD segmentlerini ve AD üzerinde bir yarım daire oluşturun ( orta nokta C 'de ), bu , BD'nin uzunluğu olduğunda B'den tam olarak B'den bir uzaklıkta bir F noktasında B'den geçen dik doğruyu keser. bir.

Tüm gerçek sayılar oluşturulabilir değildir. Bunun yapılandırılabilir bir sayı olmadığı gösterilebilir , bu da eski Yunanlıların ortaya koyduğu bir başka problem olan bir küpün kenar uzunluğunu pergelle oluşturmanın ve düzleştirmenin imkansız olduğu anlamına gelir .

Dört elementli bir alan

Ek Çarpma işlemi
+ Ö ben A B
Ö Ö ben A B
ben ben Ö B A
A A B Ö ben
B B A ben Ö
Ö ben A B
Ö Ö Ö Ö Ö
ben Ö ben A B
A Ö A B ben
B Ö B ben A

Rasyoneller gibi bilinen sayı sistemlerine ek olarak, daha az doğrudan alan örnekleri de vardır. Aşağıdaki örnek, O , I , A ve B adlı dört öğeden oluşan bir alandır . Notasyon öyle seçilir ki, O , toplamsal özdeşlik elemanının rolünü oynar (yukarıdaki aksiyomlarda 0 ile gösterilir) ve I , çarpımsal özdeşliktir (yukarıdaki aksiyomlarda 1 ile gösterilir). Alan aksiyomları, biraz daha alan teorisi kullanılarak veya doğrudan hesaplama ile doğrulanabilir. Örneğin,

A ⋅ ( B + A ) = AI = A , bu, dağılımın gerektirdiği şekilde AB + AA = I + B = A'ya eşittir.

Bu alana dört elemanlı sonlu alan denir ve F 4 veya GF(4) olarak gösterilir . O ve I'den oluşan alt küme (sağdaki tablolarda kırmızı ile vurgulanmıştır) ayrıca ikili alan F 2 veya GF(2) olarak bilinen bir alandır . Bilgisayar bilimi ve Boole cebri bağlamında , O ve I genellikle sırasıyla false ve true ile gösterilir, ardından toplama XOR (hariç veya) ve çarpma AND ile gösterilir . Diğer bir deyişle, ikili alanın yapısı bitlerle hesaplamaya izin veren temel yapıdır .

temel kavramlar

Bu bölümde, F rasgele bir alanı belirtir ve bir ve b isteğe bağlı olarak elementler arasında F .

Tanımın sonuçları

Bir sahip bir ⋅ 0 = 0 ve - bir = (1) ⋅ bir . Özellikle, kişi −1'i öğrenir öğrenmez her elemanın toplamsal tersini çıkarabilir .

Eğer ab = 0 sonra bir ya da b , 0, olmalıdır, çünkü eğer bir ≠ 0 , daha sonra b = ( a -1 , bir ) b = bir -1 ( ab ) = bir -1 ⋅ 0 = 0 . Bu, her alanın ayrılmaz bir etki alanı olduğu anlamına gelir .

Ayrıca, a ve b öğeleri için aşağıdaki özellikler doğrudur :

-0 = 0
1 -1 = 1
(−(− bir )) = bir
(− bir ) ⋅ b = bir ⋅ (− b ) = −( birb )
( a -1 ) -1 = a eğer bir ≠ 0

Bir alanın toplam ve çarpım grubu

Bir F alanının aksiyomları, onun toplama altında bir değişmeli grup olduğunu ima eder . Bu gruba alanın toplamsal grubu denir ve bazen ( F , +) ile gösterilir , çünkü F kafa karıştırıcı olabilir.

Benzer bir şekilde, sıfır olmayan bir unsurları F adlı çarpma altında bir değişmeli grubunu oluşturur çarpımsal grubu , ve ile temsil edilen ( F \ {0}, ⋅) veya F \ {0} veya F * .

Dolayısıyla bir alan, toplama ve çarpma olarak belirtilen iki işlemle donatılmış F kümesi olarak tanımlanabilir, öyle ki F toplama altında bir değişmeli gruptur, F \ {0} çarpma altında bir değişmeli gruptur (burada 0, toplama) ve çarpma toplama üzerinde dağılır . Alanlarla ilgili bazı temel ifadeler bu nedenle grupların genel gerçekleri uygulanarak elde edilebilir . Örneğin, katkı maddesi ve çarpımsal tersleri - bir ve bir -1 benzersiz belirlenir bir .

1 ≠ 0 gereksinimi izlenir, çünkü 1, 0 içermeyen bir grubun kimlik öğesidir. Bu nedenle, tek bir öğeden oluşan önemsiz halka bir alan değildir.

Bir alanın çarpımsal grubunun her sonlu alt grubu döngüseldir (bkz. Birliğin kökü § Döngüsel gruplar ).

karakteristik

İki eleman çarpma ek olarak F , ürünün tanımlamak mümkündür nbir rasgele bir eleman a ait F pozitif tarafından tamsayı , n olduğu , n kat toplamı

a + a + ⋯ + a ( F öğesinin bir öğesidir.)

Böyle bir pozitif tamsayı yoksa

n ⋅ 1 = 0 ,

o zaman F'nin 0 karakteristiğine sahip olduğu söylenir. Örneğin, Q rasyonel sayıları alanı 0 özelliğine sahiptir, çünkü hiçbir pozitif tamsayı n sıfır değildir. Aksi takdirde, bu denklemi sağlayan pozitif bir n tamsayısı varsa , bu tür en küçük pozitif tamsayı bir asal sayı olarak gösterilebilir . Genellikle p ile gösterilir ve alanın o zaman karakteristik p'ye sahip olduğu söylenir . Örneğin, F 4 alanı , (yukarıdaki toplama tablosunun gösteriminde) I + I = O olduğundan 2 özelliğine sahiptir .

Eğer F özelliğe sahiptir p , o zaman pbir = 0 için tüm a olarak F . Bu, şu anlama gelir:

( a + b ) p = bir p + b p ,

çünkü binom formülünde görünen diğer tüm binom katsayıları p ile bölünebilir . Burada a p  := aa ⋅ ⋯ ⋅ a ( p faktörleri) p -inci kuvvettir , yani a öğesinin p kat çarpımıdır . Bu nedenle, Frobenius haritası

Fr: FF , xx p

F'deki toplamayla (ve ayrıca çarpmayla) uyumludur ve bu nedenle bir alan homomorfizmidir. Bu homomorfizmanın varlığı, p özelliğindeki alanları, 0 özelliğindeki alanlardan oldukça farklı kılar .

Alt alanlar ve asal alanlar

Bir alt alan E alan bir F bir alt kümesidir F alan işlemleri ile ilgili olarak bir alanı olan , F . Eşdeğer olarak E , F'nin 1'i içeren bir alt kümesidir ve sıfır olmayan bir elemanın toplama, çarpma, toplamalı tersi ve çarpmalı tersi altında kapalıdır. Bu demektir ki bu 1 ε E , tüm bu a , b ε E hem de bir + b ve birb olan E , tüm ve bir ≠ 0 içinde E , hem de - bir ve 1 / a olan E .

Alan homomorfizmaları , f ( e 1 + e 2 ) = f ( e 1 ) + f ( e 2 ) , f ( e 1 e 2 ) = f ( e 1 ) f ( olacak şekilde iki alan arasındaki f : EF haritalarıdır. e 2 ) ve f (1 E ) = 1 F , burada e 1 ve e 2 E'nin rastgele öğeleridir . Tüm alan homomorfizmaları injektiftir . Eğer f de örten , bir izomorfizm denir (veya alanlar E ve F izomorfik denir).

Bir alana, uygun (yani, kesinlikle daha küçük) alt alanları yoksa , birincil alan adı verilir . Herhangi bir alan F , bir asal alan içerir. Karakteristik ise F olan p (asal bir sayı), ana alan sonlu alan izomorf F p tam altında. Aksi takdirde, asal alan Q ile izomorfiktir .

sonlu alanlar

Sonlu alanlar (aynı zamanda Galois alanları olarak da adlandırılır ), sayıları alanın sırası olarak da anılan, sonlu sayıda öğeye sahip alanlardır. Yukarıdaki giriş örneği F 4 , dört elemanlı bir alandır. Alt alanı F 2 en küçük alandır, çünkü tanım gereği bir alan en az iki farklı elemana sahiptir 1 ≠ 0 .

Modüler aritmetik modülo 12, içinde 9 + 4 = 1 yana 9 + 4 = 13 içinde Z 12 yaprak Ancak kalan 1. bölünmesi, Z / 12 , Z 12 asal bir sayı olmadığı için bir alan değildir.

Asal sıralı en basit sonlu alanlara, modüler aritmetik kullanılarak en doğrudan erişilebilir . Sabit bir pozitif tamsayı n için , aritmetik "modulo n " sayılarla çalışmak anlamına gelir

Z / n Z = {0, 1, ..., n - 1}.

Bu kümede toplama ve çarpma işlemi, Z tamsayıları kümesinde söz konusu işlemi yapıp , n'ye bölerek ve kalanını sonuç olarak alarak yapılır. Bu yapı, n bir asal sayıysa tam olarak bir alan verir . Örneğin, n = 2 asalını almak, yukarıda bahsedilen F 2 alanıyla sonuçlanır . İçin , n = 4 ve daha genel olarak, herhangi bileşik sayıda (yani, herhangi bir sayı , n , bir ürünü olarak ifade edilebilir , n = rs , iki katı daha küçük doğal sayılar), Z / N , Z bir alan değildir: ürün, iki sıfır olmayan elemanları, sıfır olduğundan rs = 0 olarak Z / n Z ile açıklanmıştır, yukarıda , önler Z / n Z alan olmaktan. Bu şekilde oluşturulan p elemanları ( p asaldır) ile Z / p Z alanı genellikle F p ile gösterilir .

Her sonlu F alanı , q = p n öğelerine sahiptir, burada p asal ve n ≥ 1'dir . Bu ifade geçerlidir çünkü F , asal alanı üzerinde bir vektör uzayı olarak görülebilir . Boyut bu vektör alanı demek, sonlu ille olduğu n iddia deyimi anlamına gelen.

Yapılarak bir arazi q = p , n elemanlar olarak yapılmış olabilir bölme alanına polinom

f ( x ) = x q - x .

Böyle bir bölme alanı, polinom f'nin q sıfırlara sahip olduğu F p'nin bir uzantısıdır . Bu, f'nin derecesi q olduğundan , f'nin mümkün olduğu kadar çok sıfıra sahip olduğu anlamına gelir . İçin q = 2 2 = 4 dört elemanlarının, yukarıdaki çarpım tablosunu kullanarak durum için ayrı ayrı kontrol edilebilir F 4 denklemi tatmin x 4 = X , bunlar sıfırları böylece f . Buna karşılık, içinde F 2 , f , yani yalnızca iki sıfır (yani 0 ve 1), f , bu daha küçük bir alanda doğrusal faktörler bölünmüş değildir. Temel alan-teorik kavramları daha fazla detaylandırarak, aynı sıraya sahip iki sonlu alanın izomorfik olduğu gösterilebilir. Söz etmek, böylece alışılmış sonlu alan q ile temsil edilen elemanlar, F q veya GF ( q ) .

Tarih

Tarihsel olarak, üç cebirsel disiplin bir alan kavramına yol açtı: polinom denklemlerini çözme sorunu, cebirsel sayı teorisi ve cebirsel geometri . Alan kavramına doğru ilk adım 1770'de Joseph-Louis Lagrange tarafından atıldı ve ifadede bir kübik polinomun x 1 , x 2 , x 3 sıfırlarına izin verildiğini gözlemledi.

( x 1 + ωx 2 + ω 2 x 3 ) 3

( ω birliğin üçüncü kökü olmakla birlikte ) yalnızca iki değer verir. Bu şekilde Lagrange , bilinmeyen bir x için kübik bir denklemi x 3 için ikinci dereceden bir denkleme indirgeyerek ilerleyen Scipione del Ferro ve François Viète'nin klasik çözüm yöntemini kavramsal olarak açıkladı . Derece 4 denklemleri için benzer bir gözlemle birlikte , Lagrange sonunda alan kavramı ve grup kavramı haline gelen şeyi bağladı. Vandermonde , yine 1770'de ve daha geniş bir kapsamda, Carl Friedrich Gauss , Disquisitiones Arithmeticae (1801) adlı eserinde denklemi inceledi.

x p = 1

asal bir p için ve yine modern dili kullanarak, sonuçta ortaya çıkan döngüsel Galois grubu . Gauss , p = 2 2 k + 1 ise düzgün bir p- gon'un oluşturulabileceği sonucunu çıkardı . Paolo Ruffini , Lagrange'ın çalışmasına dayanarak (1799) quintic denklemlerin (5. dereceden polinom denklemleri) cebirsel olarak çözülemeyeceğini iddia etti ; ancak, argümanları kusurluydu. Bu boşluklar 1824'te Niels Henrik Abel tarafından dolduruldu. Évariste Galois , 1832'de bir polinom denkleminin cebirsel olarak çözülebilir olması için gerekli ve yeterli kriterleri tasarladı ve böylece bugün Galois teorisi olarak bilinen şeyi fiilen kurdu . Hem Abel hem de Galois, bugün cebirsel sayı alanı olarak adlandırılan şeyle çalıştılar , ancak ne bir alan ne de bir grup hakkında açık bir kavram tasarlamadılar.

1871'de Richard Dedekind , dört aritmetik işlem altında kapalı olan bir dizi gerçek veya karmaşık sayı için, "beden" veya "korpus" (organik olarak kapalı bir varlık önermek için) anlamına gelen Almanca Körper kelimesini tanıttı . İngilizce "alan" terimi Moore (1893) tarafından tanıtıldı .

Bir alan ile, kendi içinde o kadar kapalı ve mükemmel olan her sonsuz gerçek veya karmaşık sayı sistemini kastedeceğiz ki, bu sayılardan herhangi ikisinin toplanması, çıkarılması, çarpması ve bölünmesi yine sistemin bir sayısını verir.

—  Richard Dedekind, 1871

1881 yılında Leopold Kronecker olarak adlandırdığı şeyi tanımlanan rasyonellik alanını bir alandır, rasyonel kesirler , modern anlamda. Kronecker'in nosyonu (Dedekind'in anlamında bir alandır) tüm cebirsel sayıların alanını kapsamaz, ancak diğer yandan bir alanın öğelerinin doğası hakkında özel bir varsayımda bulunmadığı için Dedekind'inkinden daha soyuttu. Kronecker, Q (π) gibi bir alanı soyut olarak rasyonel fonksiyon alanı Q ( X ) olarak yorumladı . Bundan önce, Joseph Liouville'in 1844'teki çalışmasından, Charles Hermite (1873) ve Ferdinand von Lindemann (1882) sırasıyla e ve π'nin aşkınlığını kanıtlayana kadar aşkın sayıların örnekleri biliniyordu .

Soyut bir alanın ilk net tanımı Weber (1893) tarafından yapılmıştır . Özellikle, Heinrich Martin Weber'in kavramı F p alanını içeriyordu . Giuseppe Veronese (1891), Hensel'in (1904) p -adik sayılar alanını tanıtmasına yol açan biçimsel kuvvet serileri alanını inceledi . Steinitz (1910) , şimdiye kadar biriken soyut alan teorisi bilgilerini sentezledi. Alanların özelliklerini aksiyomatik olarak inceledi ve birçok önemli alan-teorik kavramı tanımladı. Bölümlerde bahsedilen teoremleri çoğunluğu Galois teorisi , Oluşturma alanları ve İlköğretim kavramları Steinitz çalışmalarında bulunabilir. Artin & Schreier (1927) , bir alandaki sıralama kavramını ve dolayısıyla analiz alanını tamamen cebirsel özelliklere bağladı . Emil Artin , 1928'den 1942'ye kadar Galois teorisini yeniden geliştirdi ve ilkel element teoremine olan bağımlılığı ortadan kaldırdı .

Alan oluşturma

Halkalardan alanlar oluşturma

Bir değişmeli halka , çarpma tersleri varlığının dışında bir alan tüm aksiyomu sağlayan bir ekleme ve çarpma işlemi ile donatılmış bir dizi, bir bir -1 . Örneğin, tam sayılar , Z : değişmeli bir halka oluşturur, ancak bir alan tersi ile bir tamsayı , n , kendisi kendi bir tamsayı olmayan , n = ± 1 .

Cebirsel yapıların hiyerarşisinde alanlar, sıfır olmayan her öğenin bir birim olduğu (yani her öğenin ters çevrilebilir olduğu) değişmeli R halkaları olarak karakterize edilebilir . Benzer bir şekilde, alanlar tam olarak iki ayrı ile değişmeli halkalar olan idealler , (0) ve R . Alanlar aynı zamanda tam olarak (0) 'ın tek asal ideal olduğu değişmeli halkalardır .

Değişmeli bir halka verilen R ile ilişkili bir alan oluşturmak için iki yol vardır, R , yani, iki yolla değiştirilebilir R gibi tüm sıfır olmayan elemanları, ters çevrilebilir haline Fraksiyonların alan oluşturması, ve kalıntı alanları oluşturur. Fraksiyonlarının alan Z olduğu S kalıntı alanları ise, kesirli Z sonlu alanlardır F s .

kesirler alanı

Bir R integral alanı verildiğinde , onun fraksiyonlar alanı Q ( R ) , tam olarak Q tamsayılardan oluşturulduğu gibi , R'nin iki elemanının kesirleriyle oluşturulur . Daha açık olarak, elemanları Q ( R ) fraksiyonları bir / B , bir ve b olan , R ve B ≠ 0 . İki kesir a / b ve c / d , ancak ve ancak ad = bc ise eşittir . Kesirler üzerindeki işlem tam olarak rasyonel sayılardaki gibi çalışır. Örneğin,

Halka bir integral alan ise, kesirler kümesinin bir alan oluşturduğunu göstermek kolaydır.

Alan F ( x ) ve rasyonel fraksiyonlar bir alan üzerinde (veya tamamlayıcı bir alan) F fraksiyonlarının alanıdır polinom halka F : [ X ] . Alan F (( x )) ve Laurent serisi

F alanı üzerinde , formal kuvvet serilerinin ( k ≥ 0 ) F [[ x ]] halkasının kesirlerinin alanıdır . Herhangi bir Laurent serisi, bir kuvvet serisinin x'in kuvvetine bölünen bir kesri olduğundan (rastgele bir kuvvet serisinin aksine), bu durumda kesirlerin temsili daha az önemlidir.

Kalıntı alanları

R'yi dolaylı olarak bir alana yerleştiren kesirler alanına ek olarak, bir alan F üzerine bir örtük harita vasıtasıyla değişmeli R halkasından bir alan elde edilebilir . Bu şekilde elde edilen herhangi bir alanı olan bölüm R / m , m, a, maksimal ideal bir R . Eğer R, tek bir maksimal ideal olan m , bu alan adı Tortu alanı arasında R .

Tek bir polinom ile oluşturulan yere f polinom halkasının R = E [ X ] (bir alan üzerinde E ) maksimal ancak ve ancak bir ön olan indirgenemez olarak E , diğer bir deyişle, eğer ön İki polinomun ürün olarak ifade edilemez E [ X ] daha küçük derece . Bu bir alan verir

F = E [ X ] / ( f ( X )).

Bu alan, F içeren bir eleman x (yani artık madde sınıfı arasında X ) olan tatmin denklemi

f ( x ) = 0 .

Örneğin, elde edilen R ile bitişik sanal birim sembolü i , tatmin f ( i ) = 0 , f ( x ) = x 2 + 1 . Ayrıca, f , R üzerinde indirgenemez , bu, f ( X ) ∊ R [ X ] ' den f ( i ) ' ye bir polinom gönderen haritanın bir izomorfizm verdiğini gösterir.

Daha büyük bir alan içinde alanlar oluşturma

Alanlar, verilen daha büyük bir konteyner alanı içinde oluşturulabilir. Varsayalım alan belirli bir E , ve bir alan F ihtiva e bir alt alanı olarak. Her eleman için x ve F , bir küçük alt alan vardır F içeren E ve x bir alt alanı olarak adlandırılan F tarafından üretilen x ve gösterilen E ( x ) . Bir pasaj E için E ( x ) ile ifade edilir bitişik bir eleman için E . Daha genel olarak, bir SF alt kümesi için , E ( S ) ile gösterilen, E ve S'yi içeren minimum bir F alt alanı vardır .

Compositum'un iki alt alanlardan E ve E ' bazı alanının F en küçük disiplinidir F hem içeren E ve E'. Bileşik, F'nin belirli bir özelliği karşılayan en büyük alt alanını oluşturmak için kullanılabilir , örneğin, aşağıda tanıtılan dilde, E üzerinde cebirsel olan F'nin en büyük alt alanı .

Alan uzantıları

Bir alt alan kavramı DF de atıfta bulunarak, bakış karşısındaki noktadan kabul edilebilir F bir olmak alan uzantı arasında (ya da uzantı) E ile gösterilen

F / E ,

ve " F üzeri E "yi okuyun .

Bir alan uzantısının temel verisi, derecesidir [ F  : E ] , yani bir E -vektör uzayı olarak F'nin boyutu . Formülü karşılar

[ G  : E ] = [ G  : F ] [ F  : E ] .

Derecesi sonlu olan uzantılara sonlu uzantılar denir. C / R ve F 4 / F 2 uzantıları 2. derecedendir, oysa R / Q sonsuz bir uzantıdır.

cebirsel uzantılar

Alanın uzantıları çalışmalarında bir önemli kavram F / E olan cebirsel elemanlar . Bir element olan cebirsel üzerinde E o ise kök a polinomun katsayılı E ise, bu tatmin bir eğer polinom denklem

e n x n + e n -1 x n -1 + ⋯ + e 1 x + e 0 = 0 ,

ile e n , ..., e 0 yılında E ve e n ≠ 0 . Örneğin, sanal birim I içinde C üzerinde cebirsel olan R ve hatta fazla Q , bu tatmin denklem yana

ben 2 + 1 = 0 .

F'nin her elemanının E üzerinde cebirsel olduğu bir alan uzantısına cebirsel uzantı denir . Yukarıdaki çarpma formülünden çıkarılabileceği gibi, herhangi bir sonlu uzantı zorunlu olarak cebirseldir.

Yukarıdaki gibi bir x öğesi tarafından oluşturulan E ( x ) alt alanı , ancak ve ancak x bir cebirsel öğeyse, E'nin cebirsel bir uzantısıdır . Yani, eğer x cebirsel ise, E ( x )' nin tüm diğer elemanları da zorunlu olarak cebirseldir. Ayrıca, E ( x ) / E uzantısının derecesi , yani E ( x )' in bir E- vektör uzayı olarak boyutu , minimum dereceye n eşittir, öyle ki , yukarıdaki gibi x'i içeren bir polinom denklemi vardır . Bu derece n ise , E ( x ) ' in elemanları şu şekildedir:

Örneğin, alan S ( i ) bir Gauss rasyonel bir alt alanı olup C bir şekilde tüm sayıların oluşan a + çift hem de burada bir ve B formunun summands: rasyonel sayılardır i 2 (ve benzer şekilde daha yüksek üsler için) don a + bi + ci 2 , a - c + bi 'ye sadeleştirilebileceğinden burada dikkate alınması gerekmez .

aşkınlık temelleri

Yukarıda sözü edilen alan rasyonel fraksiyonlar D ( x ) , x , bir olan belirsiz , cebirsel uzantısı değildir E katsayılı bir polinom olmadığı E sıfırdır x . X gibi cebirsel olmayan öğelere aşkınsal denir . Gayri resmi olarak konuşursak, belirsiz X ve güçleri E öğeleriyle etkileşime girmez . Benzer bir yapı, sadece bir tane yerine bir dizi belirsiz ile gerçekleştirilebilir.

Bir kez daha, yukarıda tartışılan E ( x ) / E alan uzantısı önemli bir örnektir: x cebirsel değilse (yani, x , E'de katsayıları olan bir polinomun kökü değilse ), o zaman E ( x ) E ile eşbiçimlidir. ( X ) . Bu izomorfizm ikame ile elde edilir x için X rasyonel fraksiyonlar içinde.

F alanının bir S alt kümesi , eğer cebirsel olarak bağımsızsa (herhangi bir polinom ilişkisini karşılamıyorsa) E üzerindeyse ve F , E'nin cebirsel bir uzantısıysa ( S ) bir aşkınlık temelidir . Herhangi bir alan uzantısı F / E'nin bir aşkınlık temeli vardır. Böylece alan uzantıları E ( S ) / E ( tamamen aşkın uzantılar ) ve cebirsel uzantılar şeklinde ikiye ayrılabilir .

Kapatma işlemleri

Bir alan, kesinlikle daha büyük cebirsel uzantıları yoksa veya eşdeğer olarak, herhangi bir polinom denklemi varsa cebirsel olarak kapalıdır.

f n x n + f n −1 x n −1 + ⋯ + f 1 x + f 0 = 0 , katsayılarla f n , …, f 0F , n > 0 ,

bir çözümü vardır xF . Tarafından cebir temel teoremi , cebirsel, diğer bir deyişle kapalı olduğu bir kompleks katsayıları ile polinom karmaşık bir çözüm vardır. Rasyonel ve gerçek sayılar denklemden beri cebirsel olarak kapalı değildir.

x 2 + 1 = 0

rasyonel veya gerçek bir çözümü yoktur. İçeren bir alan F bir denir cebirsel kapatma ait F Çünkü eğer cebirsel üzerinde F (kabaca çok büyük oranla değil, konuşma F ) ve cebirsel (yeterince büyük tüm polinom denklemlerin çözümlerini içerecek şekilde) kapalıdır.

Yukarıdakilerle, C , R'nin cebirsel bir kapanışıdır . Cebirsel kapatma alanının sınırlı bir uzantısı olduğu durum F oldukça özeldir: ile Artin-Schreier teoremi , bu uzantının derecesi zorunlu 2 ve F olan Elemanter eşdeğer için R . Bu tür alanlar gerçek kapalı alanlar olarak da bilinir .

Herhangi bir F alanı , ayrıca (benzersiz olmayan) izomorfizme kadar benzersiz olan bir cebirsel kapanışa sahiptir. Yaygın olarak adlandırılır cebirsel kapatılması ve gösterilen F . Örneğin, cebirsel kapanış S ve Q alanı olarak adlandırılır cebirsel sayılar . Alan F onun inşaat gerektirdiğinden genellikle oldukça örtülü olduğu ultrasüzgeç lemma , daha zayıf olan bir set-teorik belitini Seçim aksiyomu . Bu bağlamda, F q'nun cebirsel kapanışı son derece basittir. Bu içeren sonlu alanların birliği F q (Sipariş olanlar q n ). Herhangi bir cebirsel olarak kapalı alan için F karakteristik 0, alan cebirsel kapatılması F (( t )) ve Laurent serisi alanıdır Puiseux serisi köklerini bitişik ile elde, t .

Ek yapıya sahip alanlar

Alanlar matematikte ve ötesinde her yerde mevcut olduğundan, kavramın çeşitli iyileştirmeleri belirli matematiksel alanların ihtiyaçlarına göre uyarlanmıştır.

sıralı alanlar

Herhangi iki eleman karşılaştırılabilirse, bir F alanı sıralı alan olarak adlandırılır , böylece x + y ≥ 0 ve xy ≥ 0 , x ≥ 0 ve y ≥ 0 olduğunda . Örneğin, gerçek sayılar, olağan sıralama ile sıralı bir alan oluşturur  . Artin-Schreier Teorem saha ve bir yalnızca eğer sipariş edilebilir belirtiyor resmen gerçek alan , araç herhangi bir ikinci dereceden denklem

yalnızca x 1 = x 2 = ⋯ = x n = 0 çözümüne sahiptir . Sabit bir alan üzerinde tüm olası siparişlerin grubu F grubu izomorf halka homomorfizmalar gelen Witt halka W ( F ) arasında karesel formlar üzerinde F için, Z .

Bir Arşimet alan her bir eleman için bir sonlu ifade sıralı bir alan, örneğin vardır ki

1 + 1 + ⋯ + 1

değeri o elemandan büyük olan, yani sonsuz eleman yoktur. Eşdeğer olarak, alan sonsuz küçükler içermez (tüm rasyonel sayılardan daha küçük öğeler); veya, yine de eşdeğer, alan, R'nin bir alt alanına eşbiçimlidir .

Her sınırlı gerçel kümenin bir en küçük üst sınırı vardır.

Sıralı alandır Dedekind tamamlama tüm eğer üst sınırları , alt sınır (bkz Dedekind kesim olması gereken) ve limitler, mevcut olamayacağı. Daha resmi, her bir sınırlı bir alt kümesi arasında F , bir en küçük üst bağlı olması gerekmektedir. Dizisi nereden olmayan herhangi Arşimet alanında büyük sonsuzküçük ne de az olumlu rasyonel ne var, çünkü herhangi bir tam saha, ille Archimedean olduğundan 1/2, 1/3, 1/4, ... , her elementtir her sonsuz küçükten büyüktür, sınırı yoktur.

Gerçeklerin her uygun alt alanı da bu tür boşlukları içerdiğinden, R , izomorfizme kadar benzersiz tam sıralı alandır. Birkaç temel sonuçları hesap reals bu karakterizasyonu doğrudan izleyin.

Hyperreals R * Arşimet değil sıralı bir alanı oluşturmaktadır. Sonsuz ve sonsuz küçük sayıları dahil ederek elde edilen gerçeklerin bir uzantısıdır. Bunlar daha büyük, herhangi bir gerçek sayıdan sırasıyla daha küçüktür. Hiper gerçekler, standart olmayan analizin temel temelini oluşturur .

topolojik alanlar

Bir alanın kavramı başka arıtma a, topolojik bir alan grubu ki burada, E bir olan topolojik alanı , bu alanın tüm işlemleri (ekleme, çarpma, eşleştiren bir - ↦ bir ve birbir -1 olan) sürekli uzayın topolojisine göre haritalar . Aşağıda tartışılan tüm alanların topolojisi bir metrikten , yani bir fonksiyondan türetilmiştir.

d  : F × FR ,

F'nin herhangi iki elemanı arasındaki mesafeyi ölçer .

Tamamlama ait F ettiği, gayri konuşma, orijinal alanına "boşluklar" Başka alandır F eğer varsa, doldurulur. Örneğin, herhangi bir akıl sayıda X gibi X = 2 , kesirli bir "boşluk" bir Q rasyonel sayı yakından keyfi yaklaşık olarak bir reel sayı olması anlamında p / q anlamında olup,, mutlak değer tarafından verilen x ve p / q mesafesi | x - p / q | istenildiği kadar küçüktür. Aşağıdaki tabloda bu yapının bazı örnekleri listelenmiştir. Dördüncü sütun bir sıfır dizi örneğini gösterir , yani limiti ( n → ∞ için ) sıfır olan bir dizi .

Alan Metrik tamamlama sıfır dizi
Q | x - y | (olağan mutlak değer ) r 1/ n
Q kullanılarak elde edilen p -adic değerleme asal bir sayı için, p Q p ( p -adic sayılar ) p n
F ( t )
( F herhangi bir alan)
t -adic değerlemesi kullanılarak elde edildi F (( t )) t n

Alan S p sayı teorisi ve kullanılan s -adic analizi . Cebirsel kapanış S s üzerinde bir uzanan özel bir norm taşıyan S p , ancak tam değildir. Ancak bu cebirsel kapatmanın tamamlanması cebirsel olarak kapalıdır. Çünkü karmaşık sayılar olan kaba benzerliğinden dolayı, bazen alanı denir Metrik tamamlama ve cebirsel kapanışları | karmaşık p-adik sayılar ve ile gösterilir C p .

Yerel alanlar

Aşağıdaki topolojik alanlara yerel alanlar denir :

  • Q p'nin sonlu uzantıları ( karakteristik sıfırın yerel alanları)
  • sonlu uzantıları F p (( t )) , üzerinde Laurent serisi alanı F p (karakteristik lokal alanları p ).

Bu iki yerel alan türü bazı temel benzerlikleri paylaşır. Bu bağlamda, elemanlar içinde pS p ve tF p (( t )) (şekilde ifade uniformizer birbirine karşılık gelmektedir). Bu ilk belirtisi temel bir düzeydedir: Her iki alanın elemanları katsayılı, uniformizer güç dizisi olarak ifade edilebilir F p . (Ancak, Q p'deki ekleme, F p (( t ) ' de durum böyle olmayan, taşıma kullanılarak yapıldığından , bu alanlar izomorfik değildir.) Aşağıdaki gerçekler, bu yüzeysel benzerliğin çok daha derinlere indiğini göstermektedir:

  • Hemen hemen tüm Q p için doğru olan herhangi bir birinci dereceden ifade, hemen hemen tüm F p (( t )) için de doğrudur . Bu bir uygulamadır Ax-Kochen teoremi homojen polinomların sıfır tarif S p .
  • Her iki alanın tam olarak dallanmış uzantıları birbirine denktir .
  • Rasgele bitişik p köklerinin Güç p (içerisinde Q, p sırasıyla), t (içinde E p (( t )) ) olarak bilinen bu alanların verimleri (sonsuz) uzantıları perfectoid alanlar . Çarpıcı bir şekilde, bu iki alanın Galois grupları izomorfiktir; bu, bu iki alan arasındaki dikkate değer paralelliğe ilk bakıştır:

diferansiyel alanlar

Diferansiyel alanlar , bir türetme ile donatılmış alanlardır , yani alandaki elemanların türevlerini almaya izin verir. Örneğin, alan R ( X ), polinomların standart türevi ile birlikte bir diferansiyel alan oluşturur. Bu alanlar, doğrusal diferansiyel denklemlerle ilgilenen Galois teorisinin bir çeşidi olan diferansiyel Galois teorisinin merkezindedir .

galois teorisi

Galois teorisi , toplama ve çarpmanın aritmetik işlemlerinde simetriyi inceleyerek bir alanın cebirsel uzantılarını inceler . Bu alanda önemli bir kavramıdır ki sonlu Galois uzantıları F / E tanım gereği vardır, olanlar ayrılabilir ve normaldir . İlkel eleman teoremi ayrılabilir uzantıları sonlu Şekil zorunlu olarak basit bir biçimde olan, yani,

F = E [ X ]/ f  ( X ) ,

burada f indirgenemez bir polinomdur (yukarıdaki gibi). Böyle bir uzatma, tüm sıfırları normal ve ayrılabilir bir vasıta olmasına için f içerdiği F ve f yalnızca basit sıfır sahiptir. E karakteristiği 0'a sahipse, ikinci koşul her zaman sağlanır .

Sonlu Galois'in uzantısı için, Galois grubu Gal ( F / E ) grubudur alan automorphisms arasında F ile önemsiz E , yani ( bijections σ  : FF toplama ve çarpma ve bu gönderme elemanlarının korumak bu E için kendileri). Bu grubunun önemi, kaynaklanmaktadır Galois'in teorinin temel teoremi açık yapıları, bire bir uygunlukta kümesi arasında alt gruplar arasında Gal ( F / E ) ve uzantının ara uzantı grubunun F / E . Bu yazışma yoluyla, grup teorik özellikleri alanlar hakkında gerçeklere dönüşür. Yukarıdaki gibi bir Galois'in uzantısı Galois grubu değildir, örneğin, çözülebilir (inşa edilemez Değişmeli gruplar daha sonra sıfır,) f edemez , yani, ifadeler içeren, ek olarak, çarpma ve radikallerin cinsinden ifade edilebilir . Örneğin, simetrik gruplar S n , n ≥ 5 için çözülebilir değildir . Sonuç olarak, gösterildiği gibi, aşağıdaki polinomların sıfırları toplamlar, ürünler ve köklerle ifade edilemez. İkinci polinom için bu gerçek Abel-Ruffini teoremi olarak bilinir :

f ( X ) = X 5 − 4 X + 2 (ve E = Q ),
f ( X ) = X n + bir n −1 X n −1 + ⋯ + a 0 (burada f , E'de bir polinom olarak kabul edilir ( a 0 , …, a n -1 ) , bazı belirsizler için a i , E herhangi bir alandır ve n ≥ 5 ).

Alanların tensör ürünü genellikle bir alan değildir. Örneğin, n dereceli bir F / E sonlu uzantısı , ancak ve ancak F -cebirlerinin bir izomorfizmi varsa bir Galois uzantısıdır.

FE FF , n .

Bu gerçek, Grothendieck'in Galois teorisinin başlangıcıdır, Galois teorisinin cebirsel geometrik nesnelere uygulanabilen geniş kapsamlı bir uzantısıdır.

alanların değişmezleri

Bir F alanının temel değişmezleri, F'nin asal alanı üzerindeki karakteristiğini ve aşkınlık derecesini içerir . İkincisi, F'deki asal alan üzerinde cebirsel olarak bağımsız olan maksimum eleman sayısı olarak tanımlanır . Cebirsel olarak kapalı iki alan E ve F , eğer bu iki veri uyuşuyorsa, tam olarak izomorfiktir. Bu , aynı kardinaliteye ve aynı özelliğe sahip herhangi iki sayılamayan cebirsel olarak kapalı alanın izomorfik olduğu anlamına gelir. Örneğin, Q, P , Cı- s ve izomorfik (ancak değil topolojik alanlar olarak izomorfik).

Alanların model teorisi

Gelen modeli teorisi , bir kolu matematiksel mantık , iki alan E ve F olarak adlandırılır elementarily eşdeğer için de geçerlidir her matematiksel ifadesi ise E de için de geçerlidir F tersi ve. Söz konusu matematiksel ifadelerin birinci dereceden cümleler (0, 1, toplama ve çarpma içeren) olması gerekmektedir. Tipik bir örnek için, n > 0 , n, bir tam sayı olduğu

φ ( E ) = "derece bir polinom n de E bir sıfır olan E "

Tüm n için bu tür formüller kümesi, E'nin cebirsel olarak kapalı olduğunu ifade eder . Lefschetz ilkesi bu durumları herhangi bir cebirsel olarak kapalı alana Elemanter eşdeğerdir F karakteristik sıfır. Ayrıca, herhangi bir sabit φ ifadesi , ancak ve ancak yeterince yüksek karakteristiğe sahip cebirsel olarak kapalı herhangi bir alanda geçerliyse C'de geçerlidir.

Eğer U , bir olan ultrasüzgeç bir dizi ilgili I ve F ı , her bir alandır i içinde I , ultraproduct arasında F ı ile ilgili olarak U bir alandır. ile gösterilir

ulim ben →∞ F ben ,

o alanların bir limiti olarak çeşitli şekillerde davranır beri F i : Los teoremi devletler hepsi için geçerlidir ancak sonlu sayıda herhangi birinci dereceden ifadesi F ı , ayrıca ultraproduct için de geçerlidir. Yukarıdaki φ cümlesine uygulandığında , bu bir eşbiçimlilik olduğunu gösterir.

Yukarıda bahsedilen Ax-Kochen teoremi de bundan ve ultraürünlerin bir izomorfizminden çıkar (her iki durumda da tüm asal sayılar üzerinde p )

ulim p Q p ≅ ulim p F p (( t )) .

Buna ek olarak, model teorisi, gerçek kapalı alanlar veya üstel alanlar (üssel bir fonksiyonla exp : FF x ile donatılmış) gibi çeşitli diğer alan türlerinin mantıksal özelliklerini de inceler .

Mutlak Galois grubu

Cebirsel olarak kapalı olmayan (veya ayrılabilir şekilde kapalı olmayan) alanlar için, mutlak Galois grubu Gal( F ) temelde önemlidir: yukarıda ana hatları verilen sonlu Galois uzantılarının durumunu genişleterek, bu grup F'nin tüm sonlu ayrılabilir uzantılarını yönetir . Temel yollarla, Gal( F q ) grubunun , Z'nin profinite tamamlaması olan Prüfer grubu olduğu gösterilebilir . Bu ifade, Gal( F q )' nin cebirsel uzantılarının yalnızca n > 0 için Gal( F q n ) alanları olduğu ve bu sonlu uzantıların Galois gruplarının

Gal( F q n / F q ) = Z / n Z .

Üreticiler ve ilişkiler açısından bir tanım, p -adic sayı alanlarının ( Q p'nin sonlu uzantıları ) Galois grupları için de bilinmektedir .

Galois gruplarının ve Weil grubu gibi ilgili grupların temsilleri , Langlands programı gibi aritmetiğin birçok dalında temeldir . Bu tür temsillerin kohomolojik çalışması, Galois kohomolojisi kullanılarak yapılır . Örneğin , klasik olarak merkezi basit F- cebirleri grubu olarak tanımlanan Brauer grubu , bir Galois kohomoloji grubu olarak yeniden yorumlanabilir, yani

Br ( F ) = H 2 ( F , G, m ) .

K-teorisi

Milnor K-teorisi şu şekilde tanımlanır:

Norm Tortu izomorfizm teoremi etrafında 2000 kanıtlanmıştır, Vladimir Voevodsky bir izomorfik vasıtasıyla Galois kohomolojisi bu ilgilidir

Cebirsel K-teorisi , verilen alan katsayılı ters çevrilebilir matrisler grubuyla ilgilidir . Örneğin, ters çevrilebilir bir matrisin determinantını alma işlemi, bir izomorfizme yol açar K 1 ( F ) = F × . Matsumoto teoremi K olduğu Şekil 2 ( F ) K ile kabul 2 M ( F ). Daha yüksek derecelerde, K-teorisi Milnor K-teorisinden ayrılır ve genel olarak hesaplanması zor kalır.

Uygulamalar

Lineer cebir ve değişmeli cebir

Eğer bir ≠ 0 , daha sonra denklem

balta = b

bir F alanında benzersiz bir x çözümü vardır , yani Bir alan tanımının bu dolaysız sonucu lineer cebirde temeldir . Örneğin, Gauss eliminasyonunun ve herhangi bir vektör uzayının bir temeli olduğunun kanıtının temel bir bileşenidir .

Modüller teorisi ( alanlar yerine halkalar üzerindeki vektör uzaylarının analogu ) çok daha karmaşıktır, çünkü yukarıdaki denklemin birkaç çözümü olabilir veya hiç çözümü olmayabilir. Özellikle bir halka üzerindeki lineer denklem sistemlerini çözmek, özellikle basit tamsayılar halkası durumunda bile, alanlar durumunda olduğundan çok daha zordur .

Sonlu alanlar: kriptografi ve kodlama teorisi

Bu noktalardan geçen bir çizgi (mavi) varsa, bir E (kırmızı) eliptik eğrisi üzerindeki P , Q ve R noktalarının toplamı sıfırdır.

Yaygın olarak uygulanan bir kriptografik rutin, ayrık üs almanın, yani hesaplamanın

a n = aa ⋅ ⋯ ⋅ a ( n ≥ 1 tamsayı için n faktör)

(geniş) bir sonlu alanda F q ters işlem olan ayrık logaritmadan çok daha verimli bir şekilde gerçekleştirilebilir , yani bir denklemin n çözümünü belirlemek

bir n = b .

Olarak eliptik eğri kriptografi , sonlu alanda çarpma bir ekleyerek noktalarının işlemi ile değiştirilir eliptik eğri , yani formda bir denkleme çözeltilerini

y 2 = x 3 + balta + b .

Sonlu alanlar ayrıca kodlama teorisi ve kombinatorikte de kullanılır .

Geometri: fonksiyon alanı

İkinci cins (iki tutamak) kompakt bir Riemann yüzeyi . Cins, yüzeydeki meromorfik fonksiyonlar alanından okunabilir.

Uygun bir topolojik uzay X üzerindeki fonksiyonlar bir k alanına toplanabilir ve noktasal olarak çarpılabilir, örneğin, iki fonksiyonun çarpımı, etki alanı içindeki değerlerinin çarpımı ile tanımlanır:

( fg )( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) .

Bu , bu fonksiyonları k - değişmeli cebir yapar .

Bir fonksiyon alanına sahip olmak için, integral alanları olan fonksiyonların cebirlerini dikkate almak gerekir . Bu durumda iki fonksiyonun oranları, yani formun ifadeleri

fonksiyon alanı adı verilen bir alan oluşturur.

Bu iki ana durumda gerçekleşir. Zaman X, a, kompleks manifoldu x . Bu durumda, holomorfik fonksiyonların cebiri , yani karmaşık türevlenebilir fonksiyonlar düşünülür . Oranları , X üzerindeki meromorfik fonksiyonların alanını oluşturur .

Bir cebirsel çeşitli işlevleri alan X (polinom denklemlerinin ortak sıfır olarak tanımlanan bir geometrik nesne) oranlarından oluştuğu düzenli fonksiyonları , diğer bir deyişle, çeşitli polinom fonksiyonların oranları. Bir işlev alanı , n boyutlu uzayda bir alan üzerinde k olan K ( X 1 , ..., x , n ) , diğer bir deyişle polinomların oranları kapsayan alan n BELİRSİZLİKLER. X'in fonksiyon alanı, herhangi bir açık yoğun alt varyeteninkiyle aynıdır. Başka bir deyişle, işlev alanı, X'in (biraz) daha küçük bir alt değişkenle değiştirilmesine karşı duyarsızdır .

Fonksiyon alanı, izomorfizm ve çeşitlerin çift ​​yönlü eşdeğerliği altında değişmezdir . Bu nedenle soyut cebirsel çeşitlerin incelenmesi ve cebirsel çeşitlerin sınıflandırılması için önemli bir araçtır . Örneğin, k ( X )' in aşkınlık derecesine eşit olan boyut , çift ​​yönlü eşdeğerlik altında değişmezdir. İçin eğriler (yani boyut biridir), işlev alanı k ( X ) çok yakın olan X : eğer X, bir düz ve doğru (olma analog kompakt ), X, kendi alanında ye kadar isomorphism için yeniden inşa edilebilir fonksiyonların. Daha yüksek boyutta, işlev alanı X hakkında daha az ama yine de belirleyici bilgileri hatırlar . Fonksiyon alanlarının ve bunların geometrik anlamlarının daha yüksek boyutlarda incelenmesine çift yönlü geometri denir . Minimal model programı girişimleri öngörülen bir fonksiyonu alanıyla (belli kesin bir anlamda) cebirsel çeşitleri basit tespit etmek.

Sayı teorisi: küresel alanlar

Global alanlar , cebirsel sayı teorisi ve aritmetik geometride ilgi odağındadır . Tanım olarak, sayı alanları ( Q'nun sonlu uzantıları ) veya F q üzerindeki fonksiyon alanlarıdır ( F q ( t )' nin sonlu uzantıları ). Yerel alanlara gelince, bu iki alan türü, sırasıyla 0 ve pozitif karakteristiğe sahip olmalarına rağmen, birkaç benzer özelliği paylaşır. Bu fonksiyon alanı analojisi , genellikle önce fonksiyon alanları hakkındaki soruları anlayarak ve daha sonra sayı alanı durumunu ele alarak matematiksel beklentileri şekillendirmeye yardımcı olabilir. İkincisi genellikle daha zordur. Örneğin , Riemann zeta fonksiyonunun (2017 itibariyle açık) sıfırlarına ilişkin Riemann hipotezi , Weil varsayımlarına (1974'te Pierre Deligne tarafından kanıtlanmıştır) paralel olarak kabul edilebilir .

Birliğin beşinci kökleri düzgün bir beşgen oluşturur .

Siklotomik alanlar en yoğun çalışılan sayı alanları arasındadır. Bunlar biçimi olan Qn ) , burada ζ N , ilkel n -inci birlik kökü , örneğin, bir karmaşık sayı tatmin ζ n = 1 ve ζ m ≠ 1 için tüm m < n . For n bir varlık düzenli asal , Kummer kanıtlamak için cyclotomic alanları kullanılan Fermat'ın Son Teoremi denkleme rasyonel sıfırdan farklı çözümlerin bulunduğunu kabul,

X , n + y , n = Z , n .

Yerel alanlar, küresel alanların tamamlayıcılarıdır. Ostrowski teoremi sadece tamamlamaları olduğunu iddia Q , küresel alanda, yerel alanlar Q p ve R . Aritmetik soruları global alanlarda çalışmak bazen ilgili sorulara yerel olarak bakılarak yapılabilir. Bu tekniğe yerel-küresel ilke denir . Örneğin, Hasse-Minkowsky teoremi bu denklemleri çözmek için ikinci dereceden denklem kesin çözümler bulmak problemi azaltır R ve Q, p çözeltiler kolaylıkla tanımlanabilir.

Yerel alanların aksine, küresel alanların Galois grupları bilinmemektedir. Ters Galois teorisi , herhangi bir sonlu grubun Gal( F / Q ) bazı sayı alanı F için Gal( F / Q ) olup olmadığı (çözülmemiş) problemini inceler . Sınıf alan teorisi , değişmeli uzantıları , yani değişmeli Galois grubuna sahip olanları veya eşdeğer olarak küresel alanların değişmeli Galois gruplarını tanımlar. Klasik açıklamada, Kronecker-Weber teoremi , abelyan maksimal açıklanır Q ab uzatılması Q : o alandır

Sn , n ≥ 2)

ilkel bitişik ile elde edilen N birlik inci kökleri. Kronecker Jugendtraum bir benzer açık açıklama sorar F ab genel sayı alanları F . İçin hayali kuadratik cisimleri , , d > 0 , teorisi kompleks çarpma tarif F ab kullanılarak eliptik eğrileri . Genel sayı alanları için böyle açık bir açıklama bilinmemektedir.

İlgili kavramlar

Alanların sahip olabileceği ek yapıya ek olarak, alanlar çeşitli diğer ilgili kavramları kabul eder. Herhangi bir alanda 0 ≠ 1 olduğundan, herhangi bir alanın en az iki öğesi vardır. Bununla birlikte, p 1'e eğilim gösterdiğinden , F p sonlu alanlarının bir limiti olduğu önerilen tek elemanlı bir alan kavramı vardır. yarı alanlar , yakın alanlar ve yarı alanlar .

Alan yapısına sahip, bazen büyük F harfiyle Fields olarak adlandırılan uygun sınıflar da vardır . Gerçeküstü sayılar , gerçekleri içeren bir Alan oluşturur ve bir küme değil, uygun bir sınıf olmaları dışında bir alan olur. Oyun teorisinden bir kavram olan nimbers de böyle bir Alan oluşturur.

Bölüm halkaları

Tüylü top teoremi, bir topun taranamayacağını belirtir. Daha resmi, hayır yoktur sürekli teğet vektör alanı üzerinde küre S 2 yerde sıfırdan farklıdır.

Bir alanın tanımında bir veya birkaç aksiyomu bırakmak, diğer cebirsel yapılara yol açar. Yukarıda bahsedildiği gibi, değişmeli halkalar, çarpımsal tersler hariç tüm alan aksiyomlarını karşılar. Bunun yerine çarpmanın değişmeli olduğu koşulunu bırakmak, bir bölme halkası veya çarpık alan kavramına yol açar . Sonlu boyutlu R - vektör uzayları olan tek bölme halkaları , R'nin kendisi, C (bir alandır), H kuaterniyonları (burada çarpmanın değişmeli olmadığı) ve O oktonyonlarıdır (burada çarpmanın ne değişmeli ne de değişmeli olduğu). ilişkisel). Bu gerçek 1958 yılında Michel Kervaire , Raoul Bott ve John Milnor tarafından cebirsel topoloji yöntemleri kullanılarak kanıtlanmıştır . Tek boyutlu bir bölme cebirinin olmaması daha klasiktir. Sağda gösterilen tüylü top teoreminden çıkarılabilir .

Notlar

Referanslar