Fatou'nun lemması - Fatou's lemma

Gelen matematik , Fatou lemması bir kurar eşitsizlik ilgili Lebesgue ait alt sınırı a dizisi arasında fonksiyonları bu fonksiyonların integralin alt sınıra. Lemma almıştır Pierre Fatou .

Fatou'nun lemması, Fatou-Lebesgue teoremini ve Lebesgue'in baskın yakınsama teoremini ispatlamak için kullanılabilir .

Standart ifade

Daha sonra gelende, ifade eder ve cebiri Borel kümeleri üzerinde . ${\ displaystyle \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle [0, + \ infty]}$

Fatou'nun lemması, varsayımları neredeyse her yerde geçerliyse, doğru kalır . Diğer bir deyişle, dizinin her biri için azalmayacağı şekilde bir boş küme olması yeterlidir Bunu görmek için , Fatou'nun lemasında görünen integrallerin , eğer üzerinde her bir fonksiyonu değiştirirsek değişmeyeceğine dikkat edin . ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ {f_ {n} (x) \}}$${\ displaystyle {x \ in X \ setminus N}.}$${\ displaystyle N}$

Kanıt

Fatou lemması yok değil gerektiren monoton yakınsama teoremi , ama ikincisi hızlı bir kanıt sunmak kullanılabilir. İntegrallerin tanımlarından doğrudan bir kanıt aşağıda daha ayrıntılı olarak verilmiştir.

Her durumda ispat, özelliklerinin analiz edilmesiyle başlar . Bunlar tatmin edici: ${\ displaystyle \ textstyle g_ {n} (x) = \ inf _ {k \ geq n} f_ {k} (x)}$

1. dizi herhangi bir x noktasında noktasal olarak azalmaz ve ${\ displaystyle \ {g_ {n} (x) \} _ {n}}$
2. ${\ displaystyle g_ {n} \ leq f_ {n}}$ , . ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}}$

Çünkü f'nin ölçülebilir olduğunu hemen görüyoruz . ${\ displaystyle f (x) = \ liminf _ {n \ - \ infty} f_ {n} (x) = \ lim _ {n \ - \ infty} \ inf _ {k \ geq n} f_ {k} ( x) = \ lim _ {n \ ila \ infty} {g_ {n} (x)}}$

Monoton Yakınsama Teoremi ile

Dahası,

${\ displaystyle \ int _ {X} f \, d \ mu = \ int _ {X} \ lim _ {n} g_ {n} \, d \ mu}$

Monoton Yakınsama Teoremi ve özelliği (1) ile limit ve integral değiştirilebilir:

${\ displaystyle {\ başla {hizalı} \ int _ {X} f \, d \ mu & = \ lim _ {n} \ int _ {X} g_ {n} \, d \ mu \\ & = \ liminf _ {n} \ int _ {X} g_ {n} \, d \ mu \\ & \ leq \ liminf _ {n} \ int _ {X} f_ {n} \, d \ mu, \ end {hizalı }}}$

son adımın özelliği (2) kullandığı yer.

"İlk ilkelerden"

Monoton yakınsama teoreminin "gizli" olmadığını göstermek için, aşağıdaki kanıt burada oluşturulanlar dışında Lebesgue integralinin herhangi bir özelliğini kullanmaz.

Ifade tarafından setine basit -measurable fonksiyonları öyle ki üzerinde . ${\ displaystyle \ operatöradı {SF} (f)}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {F}}, \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}})}$${\ displaystyle s: X \ - [0, \ infty)}$${\ displaystyle 0 \ leq s \ leq f}$${\ displaystyle X}$

Şimdi ana teoreme dönüyoruz

Kanıt tamamlandı.

Kesin eşitsizlik örnekleri

Uzayı Borel σ-cebiri ve Lebesgue ölçümü ile donatın . ${\ displaystyle S}$

• Bir olasılık uzayı örneği : Birim aralığı gösterelim . Her doğal sayı için tanımlayın ${\ displaystyle S = [0,1]}$ ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ begin {case} n & {\ text {for}} x \ in (0,1 / n), \\ 0 & {\ text {aksi halde.}} \ end { vakalar}}}$

• Düzgün yakınsaklıklı örnek : Tüm gerçek sayılar kümesini gösterelim . Tanımlamak ${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ begin {case} {\ frac {1} {n}} & {\ text {for}} x \ in [0, n], \\ 0 & {\ text {aksi halde.}} \ end {vakalar}}}$

Bu diziler noktasal olarak (sırasıyla tekdüze olarak) sıfır fonksiyonuna (sıfır integrali ile) yakınsar , ancak her birinin integrali vardır. ${\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle f_ {n}}$

Olumsuz olmamanın rolü

F ₁ , f ₂ , dizisinin negatif kısımlarıyla ilgili uygun bir varsayım . . . Aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi, Fatou'nun lemması için işlevler gereklidir. Let S Borel σ-cebir ve Lebesgue ölçü ile yarı hat [0, ∞) ifade etmektedir. Her doğal sayı için n tanımla

${\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ begin {case} - {\ frac {1} {n}} & {\ text {for}} x \ in [n, 2n], \\ 0 & {\ metin {aksi halde.}} \ son {vakalar}}}$

Bu dizi, S üzerinde eşit olarak sıfır fonksiyonuna yakınsar ve 0 limitine sonlu sayıda adımda ulaşılır: her x  ≥ 0 için, n > x ise , o zaman f _n ( x ) = 0. Bununla birlikte, her fonksiyon f _n'nin integrali -1'dir. Fatou'nun lemasının aksine, bu değer kesinlikle limitin (0) integralinden daha küçüktür.

Aşağıda Fatou'nun lemasının uzantıları ve varyasyonları bölümünde tartışıldığı gibi, sorun, sekans üzerinde aşağıdan tek tip integrallenebilir bir sınırın olmaması, 0 ise yukarıdan tekdüze sınır olmasıdır.

Ters Fatou lemma

F ₁ , f ₂ olsun . . . bir ölçü uzayında ( S , Σ , μ ) tanımlanan genişletilmiş gerçek değerli ölçülebilir fonksiyonlar dizisi olabilir . Negatif olmayan bir entegre edilebilir işlevi varsa g üzerinde S şekilde f _{, n}  ≤  gr tüm n , daha sonra

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ ila \ infty} \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu \ leq \ int _ {S} \ limsup _ {n \ ila \ infty} f_ {n} \, d \ mu.}$

Not: Burada integrallenebilir , g'nin ölçülebilir olduğu anlamına gelir . ${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {S} g \, d \ mu <\ infty}$

İspat taslağı

Biz Lebesgue integrali ve dizisine Fatou lemmasının doğrusallık uygulamak beri bu dizinin tanımlanır her yerde-neredeyse olmayan negatif. ${\ displaystyle g-f_ {n}.}$${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {S} g \, d \ mu <+ \ infty,}$${\ displaystyle \ mu}$

Fatou lemasının uzantıları ve çeşitleri

Entegre edilebilir alt sınır

F ₁ , f ₂ olsun . . . bir ölçü uzayında tanımlanan genişletilmiş gerçek değerli ölçülebilir fonksiyonlar dizisi ( S , Σ , μ ). Bir integre işlevi varsa g üzerinde S şekilde f _{, n}  ≥ - g tüm n , o

${\ displaystyle \ int _ {S} \ liminf _ {n \ - \ infty} f_ {n} \, d \ mu \ leq \ liminf _ {n \ - \ infty} \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu.}$

Kanıt

Fatou'nun lemmasını f _n  +  g ile verilen negatif olmayan diziye uygulayın .

Noktasal yakınsama

Önceki ayarda f ₁ , f ₂ , dizisi varsa . . . noktasal olarak bir f μ fonksiyonuna yakınsar - S üzerinde neredeyse her yerde , o zaman

${\ displaystyle \ int _ {S} f \, d \ mu \ leq \ liminf _ {n \ - \ infty} \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu \,}$

Kanıt

O Not f fonksiyonlarının alt sınırı ile anlaşmak zorundadır f _n hemen hemen her yerde ve ölçümü sıfır olan bir dizi integrali değerleri integralin değeri üzerinde bir etkisi olmadığı da.

Ölçüde yakınsama

Son iddia, eğer f ₁ , f ₂ , dizisi ise geçerlidir . . . ölçü olarak bir f fonksiyonuna yakınsar .

Kanıt

Böyle bir alt dizi var

${\ displaystyle \ lim _ {k \ ila \ infty} \ int _ {S} f_ {n_ {k}} \, d \ mu = \ liminf _ {n \ ila \ infty} \ int _ {S} f_ { n} \, d \ mu.}$

Bu alt dizi aynı zamanda ölçü olarak f'ye yakınsadığı için , hemen hemen her yerde noktasal olarak f'ye yakınsayan başka bir alt dizi vardır, dolayısıyla Fatou'nun lemasının önceki varyasyonu bu alt diziye uygulanabilir.

Fatou'nun Farklı Ölçülere Sahip Lemması

Fatou'nun Lemması'nın yukarıdaki tüm ifadelerinde, entegrasyon tek bir sabit ölçü μ ile ilgili olarak gerçekleştirildi. Bu μ varsayalım _n ölçülebilir alan (ilgili önlemlerin bir dizisidir S , Σ (bakınız bu şekilde) önlemlerin Yakınsama )

${\ displaystyle \ mu _ {n} (E) \ to \ mu (E), ~ \ forall E \ {\ mathcal {F}}.}$

Daha sonra, f _n negatif olmayan integrallenebilir fonksiyonlar ve f noktasal limitleri daha düşük olduğu için,

${\ displaystyle \ int _ {S} f \, d \ mu \ leq \ liminf _ {n \ ila \ infty} \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu _ {n}.}$

Kanıt

Burada biraz daha güçlü bir şey kanıtlayacağız. Yani, f n'nin , S'nin bir E alt kümesinde neredeyse her yerde μ- yakınsamasına izin vereceğiz . Bunu göstermeye çalışıyoruz. ${\ displaystyle \ int _ {E} f \, d \ mu \ leq \ liminf _ {n \ ila \ infty} \ int _ {E} f_ {n} \, d \ mu _ {n} \ ,.}$ İzin Vermek ${\ displaystyle K = \ {x \ E içinde | f_ {n} (x) \ sağ f (x) \}}$ . Sonra μ (EK) = 0 ve ${\ displaystyle \ int _ {E} f \, d \ mu = \ int _ {EK} f \, d \ mu, ~~~ \ int _ {E} f_ {n} \, d \ mu = \ int _ {EK} f_ {n} \, d \ mu ~ \ forall n \ in \ mathbb {N}.}$ Böylece, değiştirilmesi E tarafından EK biz varsayabiliriz f n yakınsama f izlemeli herhangi basit bir işlev için bu, E. İleri'ye not φ Elimizdeki ${\ displaystyle \ int _ {E} \ phi \, d \ mu = \ lim _ {n \ - \ infty} \ int _ {E} \ phi \, d \ mu _ {n}.}$ Dolayısıyla, Lebesgue İntegralinin tanımına göre, eğer φ herhangi bir negatif olmayan basit fonksiyon f'den küçük veya f'ye eşitse , o zaman göstermek yeterlidir ${\ displaystyle \ int _ {E} \ phi \, d \ mu \ leq \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} \ int _ {E} f_ {n} \, d \ mu _ {n}}$ Let bir minimum, negatif olmayan bir değer cp. Tanımlamak ${\ Displaystyle A = \ {x \ E içinde | \ phi (x)> a \}}$ İlk önce ne zaman olduğunu düşünüyoruz . Bu μ (A) ' nın sonsuz olması gerekir çünkü ${\ displaystyle \ int _ {E} \ phi \, d \ mu = \ infty}$ ${\ displaystyle \ int _ {E} \ phi \, d \ mu \ leq M \ mu (A),}$ burada M Bunun (zorunlu olarak sonlu) en yüksek değerdir φ ulaşır. Sonra, tanımlıyoruz ${\ displaystyle A_ {n} = \ {x \ in E | f_ {k} (x)> a ~ \ forall k \ geq n \}.}$ Bizde var ${\ displaystyle A \ subseteq \ bigcup _ {n} A_ {n} \ Rightarrow \ mu (\ bigcup _ {n} A_ {n}) = \ infty.}$ Ancak A n , iç içe geçmiş bir fonksiyon dizisidir ve dolayısıyla, μ altındaki süreklilik sayesinde , ${\ displaystyle \ lim _ {n \ sağ \ infty} \ mu (A_ {n}) = \ infty.}$ . Böylece, ${\ displaystyle \ lim _ {n \ ile \ infty} \ mu _ {n} (A_ {n}) = \ mu (A_ {n}) = \ infty.}$ . Aynı zamanda, ${\ displaystyle \ int _ {E} f_ {n} \, d \ mu _ {n} \ geq a \ mu _ {n} (A_ {n}) \ Sağa \ liminf _ {n \ ila \ infty} \ int _ {E} f_ {n} \, d \ mu _ {n} = \ infty = \ int _ {E} \ phi \, d \ mu,}$ bu durumda iddiayı kanıtlamak. Geriye kalan durum ne zaman . Bu μ (A) ' nın sonlu olmasına sahip olmalıyız . Yukarıda olduğu gibi, maksimum φ değerini M ile belirtin ve ε> 0'ı sabitleyin . Tanımlamak ${\ displaystyle \ int _ {E} \ phi \, d \ mu <\ infty}$ ${\ displaystyle A_ {n} = \ {x \ E içinde | f_ {k} (x)> (1- \ epsilon) \ phi (x) ~ \ forall k \ geq n \}.}$ O halde A n , birleşimi A'yı içeren iç içe geçmiş kümeler dizisidir. Dolayısıyla, AA n , boş kesişimi olan azalan kümeler dizisidir. Yana bir sonlu ölçü vardır, (biz iki ayrı vakalar dikkate gerekli bu yüzden) ${\ displaystyle \ lim _ {n \ sağ \ infty} \ mu (A-A_ {n}) = 0.}$ Böylece, öyle n var ki ${\ displaystyle \ mu (A-A_ {k}) <\ epsilon, ~ \ forall k \ geq n.}$ Bu nedenle ${\ displaystyle \ lim _ {n \ ile \ infty} \ mu _ {n} (A-A_ {k}) = \ mu (A-A_ {k}),}$ öyle N var ki ${\ displaystyle \ mu _ {k} (A-A_ {k}) <\ epsilon, ~ \ forall k \ geq N.}$ Dolayısıyla ${\ displaystyle k \ geq N}$ ${\ displaystyle \ int _ {E} f_ {k} \, d \ mu _ {k} \ geq \ int _ {A_ {k}} f_ {k} \, d \ mu _ {k} \ geq (1 - \ epsilon) \ int _ {A_ {k}} \ phi \, d \ mu _ {k}.}$ Aynı zamanda, ${\ displaystyle \ int _ {E} \ phi \, d \ mu _ {k} = \ int _ {A} \ phi \, d \ mu _ {k} = \ int _ {A_ {k}} \ phi \, d \ mu _ {k} + \ int _ {A-A_ {k}} \ phi \, d \ mu _ {k}.}$ Dolayısıyla ${\ displaystyle (1- \ epsilon) \ int _ {A_ {k}} \ phi \, d \ mu _ {k} \ geq (1- \ epsilon) \ int _ {E} \ phi \, d \ mu _ {k} - \ int _ {A-A_ {k}} \ phi \, d \ mu _ {k}.}$ Bu eşitsizlikleri birleştirmek şunu verir: ${\ displaystyle \ int _ {E} f_ {k} \, d \ mu _ {k} \ geq (1- \ epsilon) \ int _ {E} \ phi \, d \ mu _ {k} - \ int _ {A-A_ {k}} \ phi \, d \ mu _ {k} \ geq \ int _ {E} \ phi \, d \ mu _ {k} - \ epsilon \ left (\ int _ {E } \ phi \, d \ mu _ {k} + M \ sağ).}$ Dolayısıyla, gönderme £ değenni 0'a ve n liminf alarak, bunu almak ${\ displaystyle \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} \ int _ {E} f_ {n} \, d \ mu _ {k} \ geq \ int _ {E} \ phi \, d \ mu,}$ kanıtı tamamlamak.

Koşullu beklentiler için Fatou'nun lemması

Olarak olasılık kuramı , gösterimin bir değişiklik ile, Fatou lemma yukarıda versiyonları elde edilen dizilere uygulanabilir olan rastgele değişken X ₁ , x ₂ ,. . . bir olasılık uzayında tanımlanmış ; integraller beklentilere dönüşür . Ek olarak, şartlı beklentiler için bir versiyon da var . ${\ displaystyle \ scriptstyle (\ Omega, \, {\ mathcal {F}}, \, \ mathbb {P})}$

Standart versiyon

X ₁ , X ₂ olsun . . . bir olasılık uzayında negatif olmayan rasgele değişkenler dizisi ve bir alt cebir olsun . Sonra ${\ displaystyle \ scriptstyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {G}} \, \ alt küme \, {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ mathbb {E} {\ Bigl [} \ liminf _ {n \ ila \ infty} X_ {n} \, {\ Big |} \, {\ mathcal {G}} {\ Bigr]} \ leq \ liminf _ {n \ ila \ infty} \, \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G}}]}$    neredeyse kesin .

Not: Negatif olmayan rastgele değişkenler için koşullu beklenti her zaman iyi tanımlanmıştır, sonlu beklentiye gerek yoktur.

Kanıt

Bir gösterim değişikliğinin yanı sıra, ispat, yukarıdaki Fatou'nun lemasının standart versiyonu için olana çok benzer, ancak koşullu beklentiler için monoton yakınsama teoremi uygulanmalıdır.

Let X anlamında olabildikleri alt sınırı X _n . Her k doğal sayısı için rastgele değişkeni noktasal olarak tanımlayın

${\ displaystyle Y_ {k} = \ inf _ {n \ geq k} X_ {n}.}$

Ardından Y ₁ , Y ₂ , dizisi . . . artıyor ve noktasal olarak X'e yakınsıyor . İçin k  ≤  n , elimizdeki Y _k  ≤  X _n , böylece

${\ displaystyle \ mathbb {E} [Y_ {k} | {\ mathcal {G}}] \ leq \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G}}]}$    neredeyse kesin

tarafından şartlı beklenti monotonicity dolayısıyla

${\ displaystyle \ mathbb {E} [Y_ {k} | {\ mathcal {G}}] \ leq \ inf _ {n \ geq k} \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G} }]}$    neredeyse kesin

çünkü istisnai olasılık sıfır kümelerinin sayılabilir birleşimi yine bir boş kümedir . X'in tanımını , Y _k'nin noktasal sınırı olarak temsilini, koşullu beklentiler için monoton yakınsama teoremini, son eşitsizliği ve alt sınır tanımını kullanarak, neredeyse kesin olarak

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {E} {\ Bigl [} \ liminf _ {n \ to \ infty} X_ {n} \, {\ Big |} \, {\ mathcal {G}} { \ Bigr]} & = \ mathbb {E} [X | {\ mathcal {G}}] = \ mathbb {E} {\ Bigl [} \ lim _ {k \ ila \ infty} Y_ {k} \, { \ Büyük |} \, {\ mathcal {G}} {\ Bigr]} = \ lim _ {k \ ila \ infty} \ mathbb {E} [Y_ {k} | {\ mathcal {G}}] \\ & \ leq \ lim _ {k \ - \ infty} \ inf _ {n \ geq k} \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G}}] = \ liminf _ {n \ - \ infty} \, \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G}}]. \ end {hizalı}}}$

Düzgün bir şekilde entegre edilebilen negatif parçalara uzatma

X ₁ , X ₂ olsun . . . bir olasılık uzayında rastgele değişkenlerin bir dizisi ve bir alt -cebir olalım . Negatif kısımlar ${\ displaystyle \ scriptstyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {G}} \, \ alt küme \, {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle X_ {n} ^ {-}: = \ max \ {- X_ {n}, 0 \}, \ qquad n \ {\ mathbb {N}} içinde}$

koşullu beklentiye göre tekdüze bir şekilde integrallenebilir, yani ly  > 0 için bir c  > 0 vardır öyle ki

${\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} X_ {n} ^ {-} 1 _ {\ {X_ {n} ^ {-}> c \}} \, | \, {\ mathcal {G}} {\ bigr]} <\ varepsilon, \ qquad {\ text {hepsi için}} n \ in \ mathbb {N}, \, {\ text {neredeyse kesin}}}$ ,

sonra

${\ displaystyle \ mathbb {E} {\ Bigl [} \ liminf _ {n \ ila \ infty} X_ {n} \, {\ Big |} \, {\ mathcal {G}} {\ Bigr]} \ leq \ liminf _ {n \ ila \ infty} \, \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G}}]}$    neredeyse kesin.

Not: Sette

${\ displaystyle X: = \ liminf _ {n \ ila \ infty} X_ {n}}$

tatmin eder

${\ displaystyle \ mathbb {E} [\ max \ {X, 0 \} \, | \, {\ mathcal {G}}] = \ infty,}$

eşitsizliğin sol tarafı artı sonsuz olarak kabul edilir. Alt limitin koşullu beklentisi bu sette iyi tanımlanmayabilir, çünkü negatif kısmın koşullu beklentisi de artı sonsuz olabilir.

Kanıt

Ε  > 0 olsun . Koşullu beklentiye göre tekdüze bütünleşebilirlik nedeniyle, bir c  > 0 vardır öyle ki

${\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} X_ {n} ^ {-} 1 _ {\ {X_ {n} ^ {-}> c \}} \, | \, {\ mathcal {G}} {\ bigr]} <\ varepsilon \ qquad {\ text {hepsi için}} n \ in \ mathbb {N}, \, {\ text {neredeyse kesin}}.}$

Dan beri

${\ displaystyle X + c \ leq \ liminf _ {n \ ila \ infty} (X_ {n} + c) ^ {+},}$

burada x ⁺  : = max { x , 0} bir gerçek x'in pozitif bölümünü , koşullu beklentinin monotonluğunu (veya yukarıdaki konvansiyonu) ve koşullu beklentiler için Fatou'nun lemasının standart versiyonunu ifade eder

${\ displaystyle \ mathbb {E} [X \, | \, {\ mathcal {G}}] + c \ leq \ mathbb {E} {\ Bigl [} \ liminf _ {n \ - \ infty} (X_ { n} + c) ^ {+} \, {\ Büyük |} \, {\ mathcal {G}} {\ Bigr]} \ leq \ liminf _ {n \ - \ infty} \ mathbb {E} [(X_ {n} + c) ^ {+} \, | \, {\ mathcal {G}}]}$    neredeyse kesin.

Dan beri

${\ displaystyle (X_ {n} + c) ^ {+} = (X_ {n} + c) + (X_ {n} + c) ^ {-} \ leq X_ {n} + c + X_ {n} ^ {-} 1 _ {\ {X_ {n} ^ {-}> c \}},}$

sahibiz

${\ displaystyle \ mathbb {E} [(X_ {n} + c) ^ {+} \, | \, {\ mathcal {G}}] \ leq \ mathbb {E} [X_ {n} \, | \ , {\ mathcal {G}}] + c + \ varepsilon}$    neredeyse kesin

dolayısıyla

${\ displaystyle \ mathbb {E} [X \, | \, {\ mathcal {G}}] \ leq \ liminf _ {n \ - \ infty} \ mathbb {E} [X_ {n} \, | \, {\ mathcal {G}}] + \ varepsilon}$    neredeyse kesin.

Bu iddia anlamına gelir.

Referanslar

• Carothers, NL (2000). Gerçek Analiz . New York: Cambridge University Press. sayfa  321 –22. ISBN   0-521-49756-6 .
• Royden, HL (1988). Gerçek Analiz (3. baskı). Londra: Collier Macmillan. ISBN   0-02-404151-3 .
• Weir, Alan J. (1973). "Yakınsama Teoremleri". Lebesgue Entegrasyonu ve Ölçümü . Cambridge: Cambridge University Press. s. 93–118. ISBN   0-521-08728-7 .