F -dağılımı - F-distribution

Fisher-Snedecor

Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Kümülatif dağılım fonksiyonu
parametreler	d 1 , d 2 > 0 derece. özgürlük
Destek	${\displaystyle x\in (0,+\infty )\;}$eğer aksi halde,${\görüntüleme stili d_{1}=1}$${\displaystyle x\in [0,+\infty )\;}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2 })^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_ {2}}{2}}\sağ)}}\!}$
CDF	${\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{ 2}}{2}}\sağ)}$
Anlamına gelmek	${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!}$ için d 2 > 2
mod	${\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}}$ için d 1 > 2
Varyans	${\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2 }(d_{2}-4)}}\!}$ için d 2 > 4
çarpıklık	${\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_ {1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!}$ için d 2 > 6
Eski. Basıklık	metne bakın
Entropi	${\displaystyle \ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\sağ)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\sağ) -\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\sağ)+\!}$ ${\displaystyle \left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\sağ)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\sağ)-\sol (1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\sağ)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\sağ)\!}$ ${\displaystyle +\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\sağ)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2} }\sağ)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\!}$
MGF	mevcut değil, metinde ve içinde tanımlanan ham anlar
CF	metne bakın

Gelen Olasılık teorisi ve istatistik , F -Dağıtım veya F oranı olarak da bilinir, Snedecor'ın F dağılımı veya Fisher-Snedecor dağıtım sonra ( Ronald Fisher ve George W. Snedecor ) a, sürekli olasılık dağılımı sık ortaya çıkan boş dağıtım bölgesinin bir test istatistiği , özellikle de varyans analizinde (ANOVA) ve diğer F- testlerinde .

Tanım

d ₁ ve d ₂ serbestlik dereceli F dağılımı,

${\displaystyle X={\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}}$

burada ve ilgili serbestlik derecelerine sahip ki-kare dağılımlı bağımsız rastgele değişkenler ve . ${\textstyle S_{1}}$${\textstyle S_{2}}$${\textstyle d_{1}}$${\textstyle d_{2}}$

X için olasılık yoğunluk fonksiyonunun (pdf) şu şekilde verildiği gösterilebilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\ ,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatöradı {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\sağ)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\ operatöradı {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\sağ)}}\left({\frac {d_{1} }{d_{2}}}\sağ)^{d_{1}/2}x^{d_{1}/2-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2) }}}\,x\sağ)^{-(d_{1}+d_{2})/2}\end{hizalı}}}$

için gerçek x Burada> 0. olan beta fonksiyonu . Birçok uygulamada, parametreler d ₁ ve d ₂ olan pozitif tamsayılar , ancak dağıtım bu parametrelerin pozitif reel değerleri için iyi tanımlanmıştır. ${\görüntüleme stili \mathrm {B} }$

Kümülatif dağılım fonksiyonu olan

${\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1}) }{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\sağ),}$

nerede ben ise regularize tamamlanmamış beta fonksiyonu .

F( d ₁ , d ₂ ) ile ilgili beklenti, varyans ve diğer ayrıntılar yan kutuda verilmiştir; için d ₂  > 8, aşırı basıklık olan

${\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)( d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.}$

K , bir F (arasında inci an d ₁ , d ₂ ) dağıtım var ve sonlu sadece 2 k < d ₂ ve eşittir

${\displaystyle \mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\sağ)^{k}{\frac {\Gamma \left({\ tfrac {d_{1}}{2}}+k\sağ)}{\Gamma \sol({\tfrac {d_{1}}{2}}\sağ)}}{\frac {\Gamma \sol( {\tfrac {d_{2}}{2}}-k\sağ)}{\Gama \sol({\tfrac {d_{2}}{2}}\sağ)}}.}$  

F -Dağıtım belirli bir parametrizasyonu olan beta üstü dağılımı da ikinci tür beta dağılım olarak adlandırılır.

Karakteristik fonksiyonu birçok standart referanslar (örn) yanlış listelenmiştir. Doğru ifade

${\displaystyle \varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma \left({\frac {d_{1}+d_{2}}{2) }}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\sağ)}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}}, 1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s\right)}$

burada U ( a , b , z ) ikinci türün birleşik hipergeometrik fonksiyonudur .

karakterizasyon

Bir rastgele değişken bölgesinin F parametreleri ile -Dağıtım ve iki uygun şekilde ölçeklendirilmiş oranı olarak ortaya çıkar ki-kare değişkenlerin: ${\görüntüleme stili d_{1}}$${\görüntüleme stili d_{2}}$

${\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}$

nerede

• ${\görüntüleme stili U_{1}}$ve sahip ki-kare dağılımları ile ve serbestlik derecelerini sırasıyla ve${\ Displaystyle U_{2}}$${\görüntüleme stili d_{1}}$${\görüntüleme stili d_{2}}$
• ${\görüntüleme stili U_{1}}$ve olan bağımsız .${\ Displaystyle U_{2}}$

Örneklerde F -Dağıtım, örneğin kullanılan varyans analizi , bağımsızlığı ve uygulanması ile gösterilebilir olabilir Cochran teoremi . ${\görüntüleme stili U_{1}}$${\ Displaystyle U_{2}}$

Eşdeğer olarak, F dağılımının rastgele değişkeni de yazılabilir.

${\displaystyle X={\frac {s_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\div {\frac {s_{2}^{2}}{\sigma _ {2}^{2}}},}$

burada ve , karelerinin toplamı normal dağılımdan rastgele değişkenlerin ve karelerinin toplamı normal dağılımdan rastgele değişken . ${\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}}$${\displaystyle s_{2}^{2}={\frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}}$${\displaystyle S_{1}^{2}}$${\görüntüleme stili d_{1}}$${\displaystyle N(0,\sigma _{1}^{2})}$${\ Displaystyle S_{2}^{2}}$${\görüntüleme stili d_{2}}$${\displaystyle N(0,\sigma _{2}^{2})}$

Bir de frequentist bağlamda, bir ölçekli F -Dağıtım nedenle olasılığını vermektedir ile, F burada uygulanması, herhangi bir ölçekleme olmadan -Dağıtım kendisi eşit alınmaktadır . Bu, F- dağılımının en genel olarak F- testlerinde göründüğü bağlamdır : sıfır hipotezinin iki bağımsız normal varyansın eşit olduğu ve daha sonra oranlarının anlamlı olup olmadığını görmek için uygun şekilde seçilmiş bazı karelerin gözlenen toplamlarının incelendiği yerdir. bu boş hipotezle uyumsuz. ${\displaystyle p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\mid \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2})}$${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$

Miktar , bir bilgi verici yeniden ölçeklendirme değişmeyen ise, Bayes istatistik aynı dağılımına sahip Jeffreys önce alınır , önceki olasılıklar arasında ve . Bu bağlamda, ölçeklendirilmiş bir F- dağılımı , gözlenen toplamların ve şimdi bilindiği gibi alındığı sonsal olasılığı verir . ${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$${\displaystyle p(\sigma _{2}^{2}/\sigma _{1}^{2}\mid s_{1}^{2},s_{2}^{2})}$${\displaystyle s_{1}^{2}}$${\displaystyle s_{2}^{2}}$

Özellikler ve ilgili dağılımlar

• Eğer ve olan bağımsız ardından,${\displaystyle X\sim \chi _{d_{1}}^{2}}$${\displaystyle Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}}$${\displaystyle {\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$
• Eğer ( Gama dağılımı ) bağımsızdır, o zaman${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,}$${\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}$
• Eğer ( Beta dağıtımı ) o zaman${\displaystyle X\sim \operatöradı {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$${\displaystyle {\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatöradı {F} (d_{1},d_{2})}$
• Eşdeğer olarak, eğer , o zaman .${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$${\displaystyle {\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatöradı {Beta} (d_{1}/2,d_{ 2}/2)}$
• Eğer , o zaman bir beta asal dağılımına sahiptir : .${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X}$${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatöradı {\beta ^{\prime }} ({\tfrac {d_{1}}{2}},{\ tfrac {d_{2}}{2}})}$
• Eğer o zaman sahiptir ki-kare dağılımı${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$${\displaystyle Y=\lim _{d_{2}\to \infty}d_{1}X}$ ${\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2}}$
• ${\displaystyle F(d_{1},d_{2})}$ölçekli Hotelling'in T-kare dağılımına eşdeğerdir .${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatöradı {T} ^{2}(d_{1},d_{1 }+d_{2}-1)}$
• Eğer öyleyse .${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$${\displaystyle X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1})}$
• Eğer — Student t-dağılımı — o zaman:${\displaystyle X\sim t_{(n)}}$

${\displaystyle X^{2}\sim \operatöradı {F} (1,n)}$

${\displaystyle X^{-2}\sim \operatöradı {F} (n,1)}$

• F dağılımı, tip 6 Pearson dağılımının özel bir durumudur.
• Eğer ve bağımsızlarsa, Laplace( μ , b ) ile o zaman${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili X,Y\sim }$

${\displaystyle {\frac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatöradı {F} (2,2)}$

• Eğer öyleyse ( Fisher'ın z-dağılımı )${\displaystyle X\sim F(n,m)}$${\displaystyle {\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatöradı {FisherZ} (n,m)}$
• Konsolide bütçe dışında kalan F -Dağıtım basitleştirir için F eğer -Dağıtım .${\displaystyle \lambda =0}$
• İki kat konsolide bütçe dışında kalan F -Dağıtım basitleştirir için F -Dağıtım eğer${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0}$
• Eğer quantile olan p için ve quantile olduğu için , daha sonra${\displaystyle \operatöradı {Q} _{X}(p)}$${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$${\displaystyle \operatöradı {Q} _{Y}(1-p)}$${\ Displaystyle 1-p}$${\displaystyle Y\sim F(d_{2},d_{1})}$

${\displaystyle \operatöradı {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatöradı {Q} _{Y}(1-p)}}.}$

• F -dağılımı, oran dağılımlarının bir örneğidir

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar

• F dağılımının kritik değerleri tablosu
• Bazı Matematik Sözlerinin İlk Kullanımları: F -dağılımı ile ilgili giriş kısa bir tarihçe içerir
• F testi için ücretsiz hesap makinesi