Aşırı nokta - Extreme point

Diğer kullanımlar için bkz. Uç nokta (anlam ayrım) .
Açık mavi renkte bir dışbükey ve uç noktaları kırmızı renktedir.

Gelen matematik , bir uç noktası a dışbükey grubu S , bir de gerçek vektör uzayı bir nokta S açık uzanmamaktadır çizgi parçasının iki noktayı birleştiren S . Gelen doğrusal programlama problemleri, aşırı nokta da tepe veya köşe noktası denir S .

Tanım

Boyunca, S'nin gerçek veya karmaşık bir vektör uzayı olduğu varsayılır .

Herhangi biri için , x , x 1 , x 2 ∈ S , demek ki X arasında durmaktadır x 1 ve x 2 ise x 1 ≠ x 2 ve vardır 0 < t <1 olacak şekilde X = tx 1 + (1 - t ) x 2 .

Eğer K bir alt kümesi olup , S ve X ∈ K , daha sonra x bir adlandırılan uç noktaya ait K herhangi ikisi arasında kalmaması halinde farklı noktalarına K . Orada eğer kendisine, değil mevcut x 1 , x 2 ∈ K ve 0 < t <1 olacak şekilde x 1 ≠ x 2 ve X = tx 1 + (1 - t ) x 2 . Her uç noktaları kümesi K ile gösterilir uç ( K ) .

Karakterizasyonlar

Orta nokta iki eleman arasında x ve y için bir vektör alanı vektördür 1/2( x + y ) .

Herhangi bir öğe için x ve y için bir vektör alanı, set [ x , y =:] { tx + (1 - t ) y  0 ≤ t ≤ 1 } adlandırılan kapalı hat parçası veya kapalı aralık arasında x ve y . Açık hat segmenti veya açık aralığı arasındaki x ve y ise ( x , x ) = ∅ zaman X = Y bu ise ( x , y ) = { tx + (1 - t ) y  : 0 < t <1 } x ≠ y olduğunda . Noktaları x ve y olarak adlandırılır uç noktaları , bu aralığın. Bir aralığın, uç noktaları farklıysa, dejenere olmadığı veya uygun olduğu söylenir . Orta nokta bir aralığın kendi uç orta noktasıdır.

Bu Not : [ X , Y ] eşittir konveks gövde bölgesinin { x , y } eğer öyleyse K dışbükey olan X , Y ∈ K , o [ x , y ] ⊆ K .

Eğer K bir boş olmayan bir alt kümesi olup , X ve F bir boş olmayan bir alt kümesi olup , K , daha sonra F denen yüzü arasında K ise her bir nokta s ∈ F , iki nokta arasında durmaktadır K daha sonra bu iki nokta zorunlu aittir, F .

Teoremi  -  Let K bir vektör uzayı olmayan bir boş dışbükey alt olmak X ve izin s ∈ K . O zaman aşağıdakiler eşdeğerdir:

  1. p , K'nin uç noktasıdır ;
  2. K ∖ { p } dışbükeydir;
  3. p , K içinde yer alan dejenere olmayan bir doğru parçasının orta noktası değildir ;
  4. herhangi biri için , x , y ∈ K , eğer p ∈ [ x , y ] , sonra x = p ya da y = p ;
  5. Eğer x ∈ X şekildedir, her iki p + x ve p - X aittir K , o zaman X = 0 ;
  6. { p } K'nin bir yüzüdür .

Örnekler

  • Eğer bir < b iki gerçek sayılar daha sonra bir ve b aralığının uç noktaları [ a , b ] . Ancak, açık aralığın ( a , b ) uç noktaları yoktur.
  • Bir injektif lineer harita F  : X → Y bir dışbükey küme C ⊆ X'in uç noktalarını dışbükey küme F ( C )' nin uç noktalarına gönderir . Bu aynı zamanda enjektif afin haritalar için de geçerlidir.
  • Düzlemdeki herhangi bir dışbükey çokgenin çevresi, o çokgenin bir yüzüdür.
  • ℝ 2 düzlemindeki herhangi bir dışbükey çokgenin köşeleri , o çokgenin uç noktalarıdır.
  • Ve en uç noktaları , kapalı birim disk içinde ℝ 2 olan birim çember .
  • Herhangi bir açık aralık olarak ℝ olmayan dejenere ise bir uç noktası vardır kapalı aralık değil eşit ℝ uç noktaları var mı (yani, belli bir aralıkta en uç noktası (lar)). Daha genel olarak, sonlu boyutlu Öklid uzayının herhangi bir açık alt kümesinin ℝ n uç noktaları yoktur.

Özellikleri

Kompakt konveks uç noktaları oluşturan Baire alanı (alt uzay topolojisi ile), ancak bu dizi olabilir başarısız kapalı olması , X .

teoremler

Krein-Milman teoremi

Krein-Milman teoremi muhtemelen aşırı noktaları ile ilgili en iyi bilinen teoremi biridir.

Krein-Milman teoremi  -  Eğer S konveks ve bir kompakt bir de yerel dışbükey alanı , daha sonra S kapalı dışbükey en uç noktaları: Özel olarak, bu tür bir dizi uç noktaları vardır.

Banach uzayları için

Bu teoremler Radon–Nikodym özelliğine sahip Banach uzayları içindir .

Joram Lindenstrauss'un bir teoremi , Radon-Nikodym özelliğine sahip bir Banach uzayında, boş olmayan kapalı ve sınırlı bir kümenin bir uç noktaya sahip olduğunu belirtir . (Sonsuz boyutlu uzaylarda, kompaktlık özelliği, kapalı olma ve sınırlı olma ortak özelliklerinden daha güçlüdür).

Teoremi  ( Gerald Edgar )  -  Let E , Radon-Nikodym özelliği ile bir Banach alanı olsun Cı olmak ayrılabilir bir dışbükey bir alt kümesi arasında, sınırlı kapalı E ve izin bir bir noktası C . Daha sonra orada olasılık ölçüsü p evrensel ölçülebilir setlerinde C bu şekilde bir bir ağırlık merkezi arasında p ve aşırı noktaları kümesi C olan p sayılmış 1.

Edgar'ın teoremi, Lindenstrauss'un teoremini ima eder.

k -aşırı noktalar

Daha genel olarak, bir konveks grubu bir nokta S olduğu k -Extreme bu iç içinde ise bir k boyutlu konveks içinde yer alan S , ancak bir k + 1 içinde boyutlu dışbükey grubu S . Böylece, bir uç nokta aynı zamanda bir 0-uç noktadır. Eğer S politop, sonra k -Extreme noktaları tam iç noktalarıdır k ait boyutlu yüzleri S . Daha genel olarak, herhangi bir dışbükey S kümesi için , k- aşırı noktalar k -boyutlu açık yüzlere bölünür .

Minkowski'den kaynaklanan sonlu boyutlu Krein-Milman teoremi, k -aşırı noktalar kavramı kullanılarak hızlı bir şekilde kanıtlanabilir . Eğer S kapalıdır, sınırlı ve n boyutlu ve eğer p bir noktadır S , daha sonra p olan k -Extreme bazıları için k < n . Teorem, p'nin uç noktaların dışbükey bir birleşimi olduğunu iddia eder . Eğer k = 0 ise, önemsiz derecede doğrudur. Aksi takdirde p , S'de maksimum olarak uzatılabilen bir doğru parçası üzerinde bulunur (çünkü S kapalı ve sınırlıdır). Segmentin son noktaları ise q ve r , daha sonra aşırı sıralaması az daha olmalıdır p ve teoremi indüksiyonu ile takip eder.

Ayrıca bakınız

alıntılar

bibliyografya