Öklid'in bahçesi - Euclid's orchard

Ağaçların x + y = 1 düzlemindeki izdüşümlerinin x koordinatıyla etiketlendiği Öklid bahçesinin bir köşesi .

Gelen matematik , gayri, konuşma Öklid meyve bahçesi nin biri kadranda kafes noktalarında dikilmiş yükseklik boyunca tek boyutlu "ağaç" bir dizidir kare kafes . Daha resmi olarak, Öklid'in bahçesi ( i , j , 0) ile ( i , j , 1) arasındaki doğru parçaları kümesidir , burada i ve j pozitif tam sayılardır.

Öklid'in bahçesinin bir köşesinden plan görünümü. Düz mavi bir nokta ile işaretlenmiş ağaçlar, orijinden görülebilir.

Öklid'in meyve bahçesinin kökeninden perspektif görünümü. Kırmızı ağaçlar, ana çaprazdan iki sırayı gösterir.

Kalkış görünür ağaç kafes noktalarında olanlardır ( m , n , 0) , burada m ve n, olan göreceli asal yani burada fraksiyon,m/niçinde indirgenmiş formda . Öklid'in meyve bahçesi adı , Öklid algoritmasından türetilmiştir .

Meyve bahçesi orijine göre x + y = 1 düzlemine yansıtılırsa (veya eşdeğer olarak orijindeki bir bakış açısından perspektif olarak çizilirse ), ağaçların tepeleri Thomae fonksiyonunun bir grafiğini oluşturur . Nokta ( m , n , 1) projeleri

${\displaystyle \left({\frac {m}{m+n}},{\frac {n}{m+n}},{\frac {1}{m+n}}\sağ).}$

Basel probleminin çözümü , ızgaradaki üzerlerinde ağaç bulunan noktaların oranının yaklaşık olduğunu ve bu yaklaşımın hatasının sonsuza giderken limitte sıfıra gittiğini göstermek için kullanılabilir. ${\görüntüleme stili n\kez n}$${\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}}$${\görüntüleme stili n}$

Ayrıca bakınız

• Opak orman sorunu

Referanslar

Dış bağlantılar

• Euclid's Orchard, 9-11. Sınıf etkinlikleri ve problem sayfası , Texas Instruments Inc.
• Proje Euler ile ilgili sorun