Einstein-Cartan teorisi - Einstein–Cartan theory

Olarak teorik fizik , Einstein Cartan teorisi olarak da bilinen, Einstein Cartan-Sciama-mamalara teori , a, yerçekimi klasik teori benzer genel görelilik . Teori ilk olarak 1922'de Élie Cartan tarafından önerildi . Einstein-Cartan teorisi en basit Poincare ayar teorisidir .

genel bakış

Einstein-Cartan teorisi genel görelilikten iki şekilde farklıdır: (1) yerel olarak ölçülmüş bir Lorentz simetrisine sahip olan Riemann-Cartan geometrisi çerçevesinde formüle edilirken, genel görelilik, Riemann geometrisi çerçevesinde formüle edilirken, ; (2) burulmayı spin ile ilişkilendiren ek bir denklem seti ortaya konmuştur. Bu fark şu şekilde ifade edilebilir:

genel görelilik (Einstein–Hilbert) → genel görelilik (Palatini) → Einstein–Cartan

ilk olarak genel göreliliği bir Riemann-Cartan geometrisi üzerine yeniden formüle ederek, Riemann geometrisi üzerindeki Einstein-Hilbert etkisini, Riemann-Cartan geometrisi üzerindeki Palatini etkisini değiştirerek; ve ikincisi, Palatini eyleminden sıfır burulma kısıtlamasının kaldırılması, bu da spin ve burulma için ek denklemler setinin yanı sıra Einstein alan denklemlerinin kendilerine ekstra spin ile ilgili terimlerin eklenmesiyle sonuçlanır.

Genel görelilik teorisi, başlangıçta Einstein alan denklemlerinin ortaya çıktığı Einstein-Hilbert eylemi tarafından Riemann geometrisi ortamında formüle edildi . Orijinal formülasyonu sırasında, Riemann-Cartan geometrisi kavramı yoktu. Riemann geometrilerinin , süreklilik denklemlerini ve dönme ve hızlanma için koruma yasalarını ifade edebilmek için gerekli olacak gibi, yerel olarak ölçülmüş bir Lorentz simetrisini somutlaştırmak için gerekli yapıya sahip olmadığını anlamak için ayar simetrisi kavramı hakkında yeterli bir farkındalık da yoktu. simetriler veya eğri uzay-zaman geometrilerinde spinörleri tanımlamak için . Bu altyapının eklenmesinin sonucu bir Riemann-Cartan geometrisidir. Özellikle, spinorları tanımlayabilmek için, böyle bir geometriyi üretmek için yeterli olan bir spin yapısının dahil edilmesi gerekir .

Riemann-Cartan geometrisi ile Riemann geometrisi arasındaki temel fark, ilkinde afin bağlantının metrikten bağımsız olması, ikincisinde ise metrikten Levi-Civita bağlantısı olarak türetilmesidir , ikisi arasındaki fark bükülme olarak adlandırılır . Özellikle, bağlantının antisimetrik kısmı ( burulma olarak adlandırılır ), bu tür bağlantılar için tanımlayıcı koşullardan biri olarak Levi-Civita bağlantıları için sıfırdır.

Bükülme, burulma cinsinden doğrusal olarak ifade edilebildiğinden, Einstein-Hilbert hareketini doğrudan bir Riemann-Cartan geometrisine çevirmek de mümkündür, sonuç Palatini hareketidir (ayrıca bakınız Palatini varyasyonu ). Einstein-Hilbert eyleminin afin bağlantı açısından yeniden yazılması ve ardından hem burulmayı hem de bükülmeyi sıfıra zorlayan ve böylece afin bağlantıyı Levi-Civita bağlantısına eşit olmaya zorlayan bir kısıtlamayı ayrı ayrı ortaya koyarak türetilir. Levi-Civita bağlantısı cinsinden ifade edilen genel göreliliğin eylem ve alan denklemlerinin doğrudan bir çevirisi olduğu için, bu, Riemann-Cartan geometrisi çerçevesine aktarılmış genel görelilik teorisi olarak kabul edilebilir.

Einstein-Cartan teorisi bu koşulu gevşetir ve buna paralel olarak, genel göreliliğin afin bağlantının kaybolan bir antisimetrik parçaya ( burulma tensörü ) sahip olduğu varsayımını gevşetir . Kullanılan eylem, burulma üzerindeki kısıtlamanın kaldırılması dışında Palatini eylemiyle aynıdır. Bu, genel görelilikten iki farkla sonuçlanır: (1) alan denklemleri artık Levi-Civita bağlantısı yerine afin bağlantı olarak ifade edilir ve dolayısıyla Einstein'ın alan denklemlerinde, burada mevcut olmayan bükülmeyi içeren ek terimler vardır. Palatini formülasyonundan türetilen alan denklemleri; (2) burulmayı maddenin içsel açısal momentumuna ( dönüşüne ) bağlayan, afin bağlantının maddenin enerjisine ve momentumuna bağlanmasına çok benzer şekilde , şimdi ek bir denklem seti mevcuttur . Einstein-Cartan teorisinde, burulma şimdi , eğri uzay-zaman spin formülasyonuna ( spin tensörü ) bağlı olan durağan hareket ilkesinde bir değişkendir . Bu ekstra denklemler, madde kaynağı ile ilişkili spin tensörü cinsinden burulmayı lineer olarak ifade eder, bu da burulmanın genellikle madde içinde sıfırdan farklı olmasını gerektirir.

Doğrusallığın bir sonucu, maddenin dışında sıfır burulma olmasıdır, böylece dış geometri, genel görelilikte tanımlanacak olanla aynı kalır. Einstein-Cartan teorisi ile genel görelilik arasındaki farklar (Riemann geometrisi üzerindeki Einstein-Hilbert eylemi veya Riemann-Cartan geometrisi üzerindeki Palatini eylemi açısından formüle edilmiştir) yalnızca madde kaynaklarının içindeki geometriye ne olduğuna bağlıdır. Yani: "burulma yayılmaz". Einstein-Cartan eyleminin, burulmanın yayılmasına izin veren genellemeleri göz önünde bulundurulmuştur.

Riemann-Cartan geometrileri yerel ayar simetrisi olarak Lorentz simetrisine sahip olduğundan, ilgili koruma yasalarını formüle etmek mümkündür. Özellikle, metrik ve burulma tensörlerini bağımsız değişkenler olarak ele almak, yerçekimi alanının varlığına toplam (yörünge artı içsel) açısal momentum için koruma yasasının doğru genelleştirilmesini verir.

Tarih

Teori ilk olarak 1922'de Élie Cartan tarafından önerildi ve sonraki birkaç yıl içinde açıklandı. Albert Einstein , 1928'de , birleşik alan teorisinin bir parçası olarak burulmayı elektromanyetik alan tensörü ile eşleştirme girişimi sırasında başarısız oldu . Bu düşünce çizgisi onu ilişkili fakat farklı teleparalelizm teorisine götürdü .

Dennis Sciama ve Tom Kibble , 1960'larda teoriyi bağımsız olarak yeniden gözden geçirdiler ve 1976'da önemli bir inceleme yayınlandı.

Einstein-Cartan teorisi, burulma içermeyen muadili ve Brans-Dicke teorisi gibi diğer alternatifler tarafından tarihsel olarak gölgede kaldı, çünkü burulma, denklemlerinin izlenebilirliği pahasına çok az tahmin faydası sağlıyor gibiydi. Einstein-Cartan teorisi tamamen klasik olduğu için, kuantum kütleçekimi konusunu da tam olarak ele almaz . Einstein-Cartan teorisinde, Dirac denklemi lineer değildir ve bu nedenle olağan kuantizasyon tekniklerinde kullanılan süperpozisyon ilkesi çalışmaz. Son zamanlarda, Einstein-Cartan teorisine olan ilgi, kozmolojik çıkarımlara, en önemlisi, evrenin başlangıcında yerçekimsel bir tekillikten kaçınmaya yöneldi . Teori uygulanabilir olarak kabul edilir ve fizik camiasında aktif bir konu olmaya devam eder.

alan denklemleri

Einstein alan denklemleri Genel rölativitenin varsayarak türetilebilir Einstein Hilbert işlem metrik tensörü göre bu işlemi değişen sonra uzay-zaman gerçek işlem olması ve. Einstein-Cartan teorisinin alan denklemleri , simetrik Levi-Civita bağlantısı yerine genel bir asimetrik afin bağlantısının varsayılması (yani, uzay - zamanın eğriliğe ek olarak burulmaya sahip olduğu varsayılır) dışında tamamen aynı yaklaşımdan gelir ve sonra Metrik ve burulma birbirinden bağımsız olarak değişir.

Izin temsil Lagrange yoğunluğu maddenin ve yerçekimsel alanın Lagrange yoğunluğunu temsil eder. Einstein-Cartan teorisindeki yerçekimi alanı için Lagrange yoğunluğu, Ricci skaleri ile orantılıdır : ${\görüntüleme stili {\matematiksel {L}}_{\mathrm {M} }}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }={\frac {1}{2\kappa }}R{\sqrt {|g|}}}$

${\displaystyle S=\int \left({\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\sağ)\,d^{4 }x,}$

nerede olduğu belirleyici metrik tensör ve fiziksel sabittir karıştığı yerçekimi sabiti ve ışık hızında . By Hamilton'un prensip , toplam eylemin varyasyon çekim alanı ve madde Kaybolan için: ${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili \kappa }$${\displaystyle 8\pi G/c^{4}}$${\görüntüleme stili S}$

${\displaystyle \delta S=0.}$

Metrik tensöre göre varyasyon , Einstein denklemlerini verir: ${\görüntüleme stili g^{ab}}$

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }}{\delta g^{ab}}}-{\frac {1}{2}}P_{ab} =0}$

${\displaystyle R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}=\kappa P_{ab}}$

nerede olduğunu Ricci tensörü ve bir kanonik stres enerji-momentum tensörü . Bağlantı sıfır olmayan bir burulma tensörü içerdiğinden Ricci tensörü artık simetrik değildir; bu nedenle, denklemin sağ tarafı da simetrik olamaz, bu da spin tensörü ile ilgili olduğu gösterilebilen asimetrik bir katkı içermesi gerektiği anlamına gelir . Bu kanonik enerji-momentum tensörü, Belinfante-Rosenfeld prosedürü ile daha tanıdık simetrik enerji-momentum tensörü ile ilişkilidir . ${\görüntüleme stili R_{ab}}$${\görüntüleme stili P_{ab}}$${\görüntüleme stili P_{ab}}$

Burulma tensörüne göre varyasyon , Cartan spin bağlantı denklemlerini verir.${\ Displaystyle {T^{ab}}_{c}}$

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {G}}}{\delta {T^{ab}}_{c}}}-{\frac {1}{2 }}{\sigma _{ab}}^{c}=0}$

${\displaystyle {T_{ab}}^{c}+{g_{a}}^{c}{T_{bd}}^{d}-{g_{b}}^{c}{T_{ad} }^{d}=\kappa {\sigma _{ab}}^{c}}$

nerede olduğunu sıkma tensör . Burulma denklemi, kısmi bir diferansiyel denklemden ziyade cebirsel bir kısıtlama olduğundan , burulma alanı bir dalga olarak yayılmaz ve maddenin dışında kaybolur. Bu nedenle, prensipte burulma, madde içinde etkili bir "spin-spin" doğrusal olmayan kendi kendine etkileşim oluşturan spin tensörü lehine teoriden cebirsel olarak elimine edilebilir. ${\ Displaystyle {\sigma _{ab}}^{c}}$

Tekilliklerden kaçınma

Riemann geometrisi (örn. Penrose-Hawking tekillik teoremleri ) içinde temel alınan ve formüle edilen tekillik teoremlerinin Riemann-Cartan geometrisinde tutulması gerekmez. Sonuç olarak, Einstein-Cartan teorisi, Big Bang'deki tekillik genel görelilik probleminden kaçınabilir . Burulma ve Dirac spinörleri arasındaki minimum bağlantı , son derece yüksek yoğunluklarda fermiyonik madde içinde önemli hale gelen, etkili bir lineer olmayan spin-spin kendi kendine etkileşim üretir . Böyle bir etkileşimin, tekil Büyük Patlama'yı , daha önce gözlemlenebilir evrenin büzüldüğü , minimum ancak sonlu ölçek faktöründe bir zirve benzeri Büyük Sıçrama ile değiştireceği varsayılır . Büyük ölçeklerde mevcut Evren kozmik fiziksel alternatif sunan homojen ve izotropik uzaysal olarak düz görünür neden Bu senaryo da açıklıyor enflasyonu . Burulma, kara delikler gibi tekilliklerin oluşumunu önlemeye yardımcı olan ve kuantum alan teorisindeki ultraviyole sapmayı ortadan kaldıran "nokta benzeri" yerine fermiyonların uzaysal olarak genişletilmesine izin verir . Genel göreliliğe göre, yeterince yoğun bir kütlenin kütleçekimsel çöküşü, tekil bir kara delik oluşturur. Einstein-Cartan teorisinde, bunun yerine, çöküş bir sıçramaya ulaşır ve olay ufkunun diğer tarafında yeni, büyüyen bir evrene düzenli bir Einstein-Rosen köprüsü ( solucan deliği ) oluşturur .

Ayrıca bakınız

• Klasik yerçekimi teorileri
• Metrik-afin yerçekimi teorisi
• Gauge teorisi yerçekimi
• Döngü kuantum yerçekimi

Referanslar

daha fazla okuma

• Gronwald, F.; Hehl, FW (1996). "Yerçekiminin Gösterge Yönleri Üzerine". arXiv : gr-qc/9602013 .
• Hammond, Richard T (2002-03-27). "Burulma yerçekimi". Fizikte İlerleme Raporları . 65 (5): 599–649. Bibcode : 2002RPPh...65..599H . doi : 10.1088/0034-4885/65/5/201 . ISSN  0034-4885 .
• Hehl, FW (1973). "Genel görelilikte spin ve burulma: I. Temeller". Genel Görelilik ve Yerçekimi . 4 (4): 333–349. Bibcode : 1973GReGr...4..333H . doi : 10.1007/bf00759853 . ISSN  0001-7701 .
• Hehl, FW (1974). "Genel görelilik II'de spin ve burulma: Geometri ve alan denklemleri". Genel Görelilik ve Yerçekimi . 5 (5): 491–516. Bibcode : 1974GReGr...5..491H . doi : 10.1007/bf02451393 . ISSN  0001-7701 .
• Hehl, Friedrich W.; von der Heyde, Paul; Kerlick, G. David (1974-08-15). "Spin ve burulma ile genel görelilik ve Einstein'ın teorisinden sapmaları". Fiziksel İnceleme D . 10 (4): 1066–1069. Bibcode : 1974PhRvD..10.1066H . doi : 10.1103/physrevd.10.1066 . ISSN  0556-2821 .
• Kleinert, Hagen (2000). "Eğrilik ve Burulma ile Uzaylarda Klasik ve Kuantum Mekaniği için Holonomik Olmayan Haritalama İlkesi". Genel Görelilik ve Yerçekimi . 32 (5): 769-839. arXiv : gr-qc/9801003 . doi : 10.1023/a:1001962922592 . ISSN  0001-7701 .
• Kuchowicz, Bronislaw (1978). "Tekilliği olmayan Friedmann benzeri kozmolojik modeller". Genel Görelilik ve Yerçekimi . 9 (6): 511–517. Bibcode : 1978GReGr...9..511K . doi : 10.1007/bf00759545 . ISSN  0001-7701 .
• Rab, EA (1976). "Tensörler, Görelilik ve Kozmoloji" (McGraw-Hill).
• Petti, RJ (1976). "İlk nicelenmiş teorilerin geometrisinin bazı yönleri". Genel Görelilik ve Yerçekimi . 7 (11): 869-883. Bibcode : 1976GReGr...7..869P . doi : 10.1007/bf00771019 . ISSN  0001-7701 .
• Petti, Richard J. (1986). "Dönen maddenin yerel geometrisi Üzerine". Genel Görelilik ve Yerçekimi . 18 (5): 441–460. Bibcode : 1986GReGr..18..441P . doi : 10.1007/bf00770462 . ISSN  0001-7701 .
• Petti, RJ (2006-01-12). "Yerçekimi teorilerinde öteleme uzay-zaman simetrileri". Klasik ve Kuantum Yerçekimi . 23 (3): 737–751. arXiv : 1804.06730 . Bibcode : 2006CQGra..23..737P . doi : 10.1088/0264-9381/23/3/012 . ISSN  0264-9381 .
• Petti, RJ (2013). "Genel görelilikten Einstein-Cartan teorisinin türetilmesi". arXiv : 1301.1588 [ gr-qc ].
• Poplawski, Nikodem J. (2009). "Uzay-zaman ve alanlar". arXiv : 0911.0334 [ gr-qc ].
• de Sabbata, V. ve Gasperini, M. (1985). "Yerçekimine Giriş" (World Scientific).
• de Sabbata, V. ve Sivaram, C. (1994). "Yerçekiminde Dönme ve Burulma" (World Scientific).
• Shapiro, IL (2002). "Uzay-zaman burulmasının fiziksel yönleri". Fizik Raporları . 357 (2): 113–213. arXiv : hep-th/0103093 . Bibcode : 2002PhR...357..113S . doi : 10.1016/s0370-1573(01)00030-8 . ISSN  0370-1573 .
• Trautman, Andrzej (1973). "Spin ve Burulma Yerçekimi Tekilliklerini Önleyebilir". Doğa Fizik Bilimi . 242 (114): 7-8. Bibcode : 1973NPhS..242....7T . doi : 10.1038/physci242007a0 . ISSN  0300-8746 .
• Trautman, Andrzej (2006). "Einstein-Cartan Teorisi". arXiv : gr-qc/0660602 .