Serbestlik dereceleri (mekanik) - Degrees of freedom (mechanics)

Olarak fizik , serbestlik derecesi ( DOF a) mekanik sistemin bağımsız sayısı parametreleri yapılandırmasını veya durumunu tanımlar. Makine mühendisliği , yapı mühendisliği , uzay mühendisliği , robotik ve diğer alanlardaki vücut sistemlerinin analizinde önemlidir .

Bir ray boyunca hareket eden tek bir vagonun (motorun) konumu, bir serbestlik derecesine sahiptir, çünkü arabanın konumu, ray boyunca olan mesafe ile tanımlanır. Menteşelerle bir motora bağlı rijit vagonlardan oluşan bir tren hala sadece bir serbestlik derecesine sahiptir, çünkü motorun arkasındaki vagonların pozisyonları rayın şekli ile sınırlıdır.

Oldukça sert süspansiyona sahip bir otomobil, bir düzlemde (düz, iki boyutlu bir boşluk) hareket eden katı bir gövde olarak düşünülebilir. Bu gövde, iki öteleme bileşeni ve bir dönme açısından oluşan üç bağımsız serbestlik derecesine sahiptir. Patinaj veya sürüklenme , bir otomobilin üç bağımsız serbestlik derecesine iyi bir örnektir.

Katı bir cismin uzaydaki konumu ve oryantasyonu , üç öteleme bileşeni ve üç dönme bileşeni ile tanımlanır ; bu, altı serbestlik derecesine sahip olduğu anlamına gelir.

Tam kısıtlama mekanik tasarım yöntemi ne underconstrain, ne de bir cihaz overconstrain serbestlik derecesine yönetir.

Hareketler ve boyutlar

n boyutlu bir katı cismin konumu , katı dönüşümle tanımlanır , [ T ] = [ Ad ], burada d n boyutlu bir ötelemedir ve A , n öteleme derecesine sahip bir n  ×  n dönme matrisidir . serbestlik ve n ( n  − 1)/2 dönme serbestlik derecesi. Dönme serbestlik derecesi sayısı, SO(n) döndürme grubunun boyutundan gelir  .

Rijit olmayan veya deforme olabilen bir cisim, çok sayıdaki küçük parçacıkların (sonsuz sayıda DOF) bir koleksiyonu olarak düşünülebilir, buna genellikle sonlu bir DOF sistemi ile yaklaşılır. Büyük yer değiştirmeleri içeren hareket, çalışmanın ana amacı olduğunda (örneğin uyduların hareketini analiz etmek için), analizi basitleştirmek için deforme olabilen bir cisim rijit bir cisim (veya hatta bir parçacık) olarak tahmin edilebilir.

Bir sistemin serbestlik derecesi, bir konfigürasyon belirtmek için gereken minimum koordinat sayısı olarak görülebilir. Bu tanımı uygulayarak, elimizde:

  1. Bir düzlemdeki tek bir parçacık için iki koordinat onun konumunu tanımlar, böylece iki serbestlik derecesine sahip olur;
  2. Uzayda tek bir parçacık üç koordinat gerektirir, bu nedenle üç serbestlik derecesine sahiptir;
  3. Uzaydaki iki parçacığın birleşik altı serbestlik derecesi vardır;
  4. Uzaydaki iki parçacık, örneğin bir diatomik molekül durumunda olduğu gibi, birbirinden sabit bir mesafeyi korumak için sınırlandırılırsa, altı koordinat, mesafe formülü ile tanımlanan tek bir kısıtlama denklemini sağlamalıdır. Bu, sistemin serbestlik derecesini beşe düşürür, çünkü diğer beşi belirlendikten sonra kalan koordinatı çözmek için uzaklık formülü kullanılabilir.

Sert gövdeler

Bir geminin altı derecelik hareket serbestliği
Bir uçak için tutum serbestlik dereceleri
Açı adlarını hatırlamak için anımsatıcılar

Tek bir rijit gövde serbestlik en fazla altı derecesine sahiptir (6 DOF) 3T3R üç çevirisi oluşan 3T ve üç rotasyona 3R .

Ayrıca bkz . Euler açıları .

Örneğin, bir geminin denizdeki hareketi, katı bir cismin altı serbestlik derecesine sahiptir ve şu şekilde tanımlanır:

    Çeviri ve döndürme:
  1. Yukarı ve aşağı hareket etme (yükseltme/kaldırma);
  2. Sola ve sağa hareket etme (sürme/sallanma);
  3. İleri ve geri hareket (yürüme/hareket etme);
  4. Sola ve sağa döner ( esneme );
  5. İleri ve geri (yatırır atış );
  6. Yan yana döner ( yuvarlanır ).

Örneğin, uçuş halindeki bir uçağın yörüngesi üç serbestlik derecesine sahiptir ve yörünge boyunca tutumu, toplam altı serbestlik derecesi için üç serbestlik derecesine sahiptir.

Daha düşük hareketlilik

Ayrıca bakınız: Paralel manipülatör

Fiziksel kısıtlamalar, tek bir katı cismin serbestlik derecesi sayısını sınırlayabilir. Örneğin, yassı bir masa üzerinde kaymasını bir blok 3 serbestlik vardır 2T1R iki çeviri oluşan 2T 1 dönme 1R . SCARA gibi bir XYZ konumlandırma robotu , 3 DOF 3T daha düşük hareket kabiliyetine sahiptir.

Hareketlilik formülü

Hareketlilik formülü, bu gövdeleri birbirine bağlayan eklemler tarafından sınırlandırılan bir dizi sert gövdenin konfigürasyonunu tanımlayan parametre sayısını sayar.

Sabit bir çerçeveye göre ölçülen 6 n serbestlik derecesine sahip, uzayda hareket eden n katı cisimden oluşan bir sistem düşünün . Bu sistemin serbestlik derecelerini hesaplamak için sabit cismi cisimlerin sayısına dahil edin, böylece hareketlilik sabit çerçeveyi oluşturan cismin seçiminden bağımsız olur. O halde N  =  n  + 1'in kısıtlanmamış sisteminin serbestlik derecesi ,

çünkü sabit cisim kendisine göre sıfır serbestlik derecesine sahiptir.

Bu sistemde cisimleri birbirine bağlayan eklemler serbestlik derecelerini ortadan kaldırır ve hareketliliği azaltır. Spesifik olarak, menteşeler ve sürgülerin her biri beş kısıtlama uygular ve bu nedenle beş serbestlik derecesini ortadan kaldırır. Kısıtlamalar sayısını tanımlamak için uygun olan C , birleşme yerinin özgürlüğü açısından ortak yüklemektedir f , C  = 6 -  f . Bir serbestlik dereceli eklem olan bir menteşe veya kaydırıcı durumunda, f  = 1 ve dolayısıyla c  = 6 − 1 = 5'tir.

Sonuç olarak, her biri f i , i  = 1, ..., j, serbestliğine sahip n adet hareketli bağlantı ve j eklemden oluşan bir sistemin hareketliliği şu şekilde verilir:

N'nin sabit bağlantıyı içerdiğini hatırlayın .

İki önemli özel durum vardır: (i) basit bir açık zincir ve (ii) basit bir kapalı zincir. Tek bir açık zincir, bir ucu bir toprak bağlantısına bağlı olan n eklem ile uçtan uca bağlanan n hareketli bağlantıdan oluşur . Böylece, bu durumda N  =  j  + 1 ve zincirin hareketliliği

Basit bir kapalı zincir için, n hareketli bakla, n  + 1 eklem ile uçtan uca bağlanır, öyle ki iki uç bir halka oluşturarak toprak halkasına bağlanır. Bu durumda elimizde N  =  j var ve zincirin hareketliliği

Basit bir açık zincir örneği, bir seri robot manipülatörüdür. Bu robotik sistemler, altı adet bir serbestlik dereceli döner veya prizmatik eklem ile birbirine bağlanan bir dizi bağlantıdan yapılmıştır, bu nedenle sistem altı serbestlik derecesine sahiptir.

Basit bir kapalı zincir örneği, RSSR uzamsal dört çubuklu bağlantıdır. Bu eklemlerin serbestliklerinin toplamı sekizdir, dolayısıyla bağlantının hareketliliği ikidir, burada serbestlik derecelerinden biri, iki S eklemini birleştiren çizgi etrafında kuplörün dönüşüdür.

Düzlemsel ve küresel hareket

Bağlantı sistemini , tüm cisimlerin hareketinin, düzlemsel bir bağlantı olarak bilinen şeyi oluşturmak için paralel düzlemler üzerinde uzanacak şekilde sınırlandırılacağı şekilde tasarlamak yaygın bir uygulamadır . Bağlantı sistemini, tüm cisimlerin eşmerkezli küreler üzerinde hareket ederek küresel bir bağlantı oluşturacak şekilde inşa etmek de mümkündür . Her iki durumda da, her bir sistemdeki bağlantıların serbestlik derecesi artık altı yerine üçtür ve eklemler tarafından uygulanan kısıtlamalar artık c  = 3 -  f'dir .

Bu durumda, hareketlilik formülü ile verilir

ve özel durumlar olur

  • düzlemsel veya küresel basit açık zincir,
  • düzlemsel veya küresel basit kapalı zincir,

Düzlemsel basit kapalı zincire bir örnek, dört bir serbestlik dereceli eklem içeren dört çubuklu bir döngü olan ve bu nedenle M  = 1 hareketliliğine sahip  olan düzlemsel dört çubuklu bağlantıdır .

Vücut sistemleri

Bir mafsallı robot bir kinematik zincirde altı DOF ile.

Birkaç gövdeye sahip bir sistem, göreceli hareket üzerinde sahip olabilecekleri iç kısıtlamalardan daha az olan, gövdelerin DOF'lerinin toplamı olan birleşik bir DOF'ye sahip olacaktır. Bir dizi bağlı rijit cisim içeren bir mekanizma veya bağlantı , tek bir rijit cisim için serbestlik derecelerinden daha fazlasına sahip olabilir. Burada serbestlik derecesi terimi , bir bağlantının uzaysal pozunu belirtmek için gereken parametre sayısını tanımlamak için kullanılır. Ayrıca bir robotun konfigürasyon alanı, görev alanı ve çalışma alanı bağlamında da tanımlanır.

Belirli bir bağlantı türü, bir dizi sert bağlantının eklemlerde bağlandığı açık kinematik zincirdir ; bir bağlantı, bir DOF (menteşe/kayar) veya iki (silindirik) sağlayabilir. Bu tür zincirler, robotik , biyomekanik ve uydular ve diğer uzay yapıları için yaygın olarak görülür . Bir insan kolunun yedi DOF'ye sahip olduğu kabul edilir. Bir omuz eğim, sapma ve yuvarlanma sağlar, bir dirsek eğim sağlar ve bir bilek eğim, sapma ve yuvarlanma sağlar. Elinizi uzayda herhangi bir noktaya hareket ettirmek için bu hareketlerden sadece 3 tanesi gerekli olacaktır, ancak insanlar nesneleri farklı açılardan veya yönlerden kavrama yeteneğinden yoksun olacaktır. 6 fiziksel DOF'nin tümünü kontrol edecek mekanizmalara sahip bir robotun (veya nesnenin) holonomik olduğu söylenir . Toplam DOF'lerden daha az kontrol edilebilir DOF'ye sahip bir nesnenin holonomik olmadığı söylenir ve toplam DOF'lardan (insan kolu gibi) daha fazla kontrol edilebilir DOF'ye sahip bir nesnenin gereksiz olduğu söylenir. İki DOF olduğu için insan kolunda gereksiz olmadığını unutmamakla birlikte; aynı hareketi temsil eden bilek ve omuz; rulo, birbirlerine tam 360 yapamadıkları için tedarik ederler. Serbestlik dereceleri, yapılabilecek farklı hareketler gibidir.

Mobil robotikte, araba benzeri bir robot 2 boyutlu uzayda herhangi bir pozisyona ve oryantasyona ulaşabilir, bu nedenle pozunu tanımlamak için 3 DOF'ye ihtiyaç duyar, ancak herhangi bir noktada onu yalnızca ileri hareket ve bir direksiyon açısı ile hareket ettirebilirsiniz. Yani iki kontrol DOF'u ve üç temsili DOF'a sahiptir; yani holonomik değildir. 3 boyutlu bir alanda 3-4 kontrol DOF'sine (ileri hareket, yuvarlanma, yunuslama ve sınırlı ölçüde sapma) sahip sabit kanatlı bir uçak da doğrudan yukarı/aşağı hareket edemediği veya holonomik değildir. sol sağ.

Pennestri, Cavacece ve Vita, mekanik sistemlerde serbestlik derecelerini hesaplamak için formüllerin ve yöntemlerin bir özetini vermiştir.

Elektrik Mühendisliği

Gelen elektrik mühendisliği serbestlik derecesi genellikle hangi yönde sayısını tanımlamak için kullanılan faz dizili anten oluşturabilir; kirişler ya da boş değerlere . Bir eleman, kalan anten elemanlarının her biri kullanılarak yapıcı veya yıkıcı parazitin uygulanabileceği bir referans olarak kullanıldığından, dizide bulunan eleman sayısından bir eksiktir. Radar uygulaması ve iletişim bağlantısı uygulaması, ışın yönlendirmesi radar uygulamaları için daha yaygın ve boş yönlendirme, iletişim bağlantılarında parazit bastırma için daha yaygın.

Ayrıca bakınız

Referanslar