Dedekind-sonsuz küme - Dedekind-infinite set

In matematik , bir dizi A olan Dedekind-sonsuz (Alman matematikçi adını Richard Dedekind bazı uygun ise) alt kümesi B arasında A olan equinumerous için A . Açıkça, bir vardır, bu araçlar örten fonksiyonu ile ilgili A bazı uygun bir alt kümesi üzerine B arasında A . Bir küme, Dedekind-sonsuz değilse Dedekind-sonludur (yani, böyle bir atama yoktur). 1888'de Dedekind tarafından önerilen Dedekind-sonsuzluk, doğal sayıların tanımına dayanmayan ilk "sonsuz" tanımıydı .

Basit bir örnek, doğal sayılar kümesidir . Gönderen Galileo'nun paradoks , her doğal sayı eşleştiren bir eşleşme vardır n onun için kare n 2 . Kareler kümesi 'nin uygun bir alt kümesi olduğundan , Dedekind-sonsuzdur.

Kadar matematik temel kriz küme kuramı daha dikkatli tedavi ihtiyacını gösterdi, çoğu matematikçi kabul kümesidir olduğunu sonsuz ancak ve ancak o Dedekind-sonsuzdur. Yirminci yüzyılın başlarında , bugün en yaygın olarak kullanılan aksiyomatik küme teorisi biçimi olan Zermelo-Fraenkel küme teorisi , Russell paradoksu gibi paradokslardan arındırılmış bir kümeler teorisi formüle etmek için bir aksiyomatik sistem olarak önerildi . Başlangıçta son derece tartışmalı olan Zermelo-Fraenkel küme kuramı aksiyomlarını kullanarak seçim belitinin dahil ( ZFC ) kimse ve sadece eğer bir dizi Dedekind-sonlu olduğunu gösterebilir sonlu olağan anlamda. Bununla birlikte, ZF aksiyomlarının her kümenin Dedekind olduğunu kanıtlamak için yeterince güçlü olmadığını gösteren sonsuz, Dedekind-sonlu bir kümenin bulunduğu seçim aksiyomu ( ZF ) olmayan bir Zermelo-Fraenkel küme teorisi modeli vardır. -sonlu sonludur. Seçim aksiyomuna bağlı olmayan Dedekind'in verdiğinin yanı sıra kümelerin sonluluğu ve sonsuzluğu tanımları da vardır .

Belirsiz bir şekilde ilişkili bir kavram, Dedekind sonlu bir halkadır . Bir halka halinde bir Dedekind'in-sonlu bir halka olduğu söylenir ab = 1 anlamına gelir ba = 1 her iki halka elemanları için bir ve b . Bu halkalara doğrudan sonlu halkalar da denir .

Sonsuz kümenin olağan tanımıyla karşılaştırma

" Sonsuz küme "nin bu tanımı, olağan tanımla karşılaştırılmalıdır: Bir A kümesi , sonlu bir sıra sayısıyla , yani {0, 1, 2, ..., n biçiminde bir kümeyle eşleştirmeye konulamadığında sonsuzdur . −1} bazı doğal sayılar için n – sonsuz bir küme, tahmin anlamında kelimenin tam anlamıyla "sonlu olmayan" bir kümedir.

19. yüzyılın ikinci yarısında, çoğu matematikçi bir kümenin ancak ve ancak Dedekind-sonsuz olması halinde sonsuz olduğunu varsaydılar . Ancak, bu denklik ile ispat edilemez aksiyomların ait Zermelo-Fraenkel küme kuramı olmadan seçim aksiyomu (genellikle "ifade (AC) ZF "). Eşdeğerliği kanıtlamak için AC'nin tam gücüne gerek yoktur; aslında, iki tanımın denkliği , sayılabilir seçim aksiyomundan (CC) kesinlikle daha zayıftır . (Aşağıdaki referanslara bakın.)

ZF'de Dedekind-sonsuz kümeler

Bir dizi bir olan Dedekind'in sonsuz aşağıdaki eşdeğer (fazla, bütün daha sonra herhangi bir bu tatmin olmadığını ve ZF koşulları):

şu durumlarda ikili olarak Dedekind-sonsuzdur :

  • bir f  : AA işlevi vardır, ki bu örtüktür, ancak nesnel değildir;

o Dedekind sonsuz zayıf , tüm daha sonra herhangi bir bu tatmin olmadığını ve aşağıdaki eşdeğeri (fazla ZF koşullar):

  • A'dan sayılabilir sonsuz bir kümeye bir örtülü harita vardır ;
  • A'nın kuvvet kümesi Dedekind-sonsuzdur;

ve eğer sonsuzdur :

  • herhangi bir doğal sayı n için , {0, 1, 2, ..., n−1}'den A'ya bir önerme yoktur .

Ardından, ZF aşağıdaki sonuçları kanıtlar: Dedekind-sonsuz ⇒ ikili Dedekind-sonsuz ⇒ zayıf Dedekind-sonsuz ⇒ sonsuz.

Sonsuz Dedekind-sonlu kümeye sahip ZF modelleri mevcuttur . Let bir böyle bir set olabilir ve izin B sonlu kümesi injektif dizileri arasından A . Yana bir sonsuzdur, işlev gelen "son öğe bırak" B böylece kendisine, surjective ancak birebirdir B dually Dedekind-sonsuzdur. Bununla birlikte, A Dedekind-sonlu olduğundan, B de öyledir (eğer B'nin sayılabilir sonsuz bir altkümesi varsa, o zaman B'nin elemanlarının injektif diziler olduğu gerçeği kullanılarak, A'nın sayılabilir sonsuz bir altkümesi sergilenebilir ).

Kümelerin ek yapıları olduğunda, her iki tür sonsuzluğun da bazen ZF üzerinde eşdeğer olduğu kanıtlanabilir . Örneğin, ZF iyi sıralı bir kümenin Dedekind-sonsuz olduğunu ancak ve ancak sonsuz ise ispatlar.

Tarih

Terim, tanımı ilk kez açıkça ortaya koyan Alman matematikçi Richard Dedekind'in adını almıştır . Bu tanımın, doğal sayıların tanımına dayanmayan ilk "sonsuz" tanımı olması dikkat çekicidir (kişi Poincare'i takip etmedikçe ve sayı kavramını küme kavramından bile önce görmedikçe). Bernard Bolzano'nun böyle bir tanımı bilmesine rağmen , 1819'da Prag Üniversitesi'nden siyasi sürgünü nedeniyle çalışmalarını en karanlık dergiler dışında herhangi bir yerde yayınlaması engellendi. Ayrıca, Bolzano'nun tanımı daha doğru bir ilişkiydi. Kendi başına sonsuz bir kümenin tanımından ziyade iki sonsuz küme arasında .

Uzun bir süre, birçok matematikçi sonsuz küme ve Dedekind-sonsuz küme kavramları arasında bir ayrım olabileceği düşüncesine bile kapılmadı. Aslında, Ernst Zermelo AC'yi açıkça formüle edene kadar ayrım gerçekten fark edilmedi . Sonsuz, Dedekind-sonlu kümelerin varlığı Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead tarafından 1912'de incelenmiştir; bu kümeler ilk başta ara kardinaller veya Dedekind kardinaller olarak adlandırıldı .

Matematik topluluğu arasında seçim aksiyomunun genel kabulüyle birlikte, sonsuz ve Dedekind-sonsuz kümelerle ilgili bu konular çoğu matematikçi için daha az merkezi hale geldi. Bununla birlikte, Dedekind-sonsuz kümelerinin incelenmesi, sonlu ile sonsuz arasındaki sınırın açıklığa kavuşturulması girişiminde önemli bir rol oynamış ve ayrıca AC tarihinde önemli bir rol oynamıştır.

seçim aksiyomu İlişkisi

Her sonsuz iyi sıralı küme Dedekind-sonsuz olduğundan ve AC, her kümenin iyi sıralanabileceğini belirten iyi sıralama teoremine eşdeğer olduğundan , genel AC açıkça her sonsuz kümenin Dedekind-sonsuz olduğunu ima eder. Bununla birlikte, iki tanımın eşdeğerliği, AC'nin tam gücünden çok daha zayıftır.

Özellikle, sayılabilir sonsuz alt kümesi olmayan sonsuz bir kümenin bulunduğu bir ZF modeli vardır . Dolayısıyla bu modelde sonsuz, Dedekind-sonlu bir küme vardır. Yukarıdakilere göre, bu modelde böyle bir set iyi sıralanamaz.

CC aksiyomunu (yani, AC ω ) varsayarsak , o zaman her sonsuz kümenin Dedekind-sonsuz olduğu sonucu çıkar. Bununla birlikte, bu iki tanımın eşdeğerliği aslında CC'den bile kesinlikle daha zayıftır. Açıkça, orada bir model mevcut ZF her sonsuz grubu Dedekind'in sonsuz olduğu, ancak CC (tutarlılığını varsayarak başarısız ZF ).

Sayılabilir seçim aksiyomunu varsayarak, sonsuza denklik kanıtı

Her Dedekind sonsuz kümesinin sonsuz olduğu ZF'de kolayca kanıtlanabilir: her sonlu kümenin tanımı gereği bazı sonlu sıralı n ile bir önermesi vardır ve n üzerinde tümevarımla bunun Dedekind-sonsuz olmadığı kanıtlanabilir .

Sayılabilir seçim aksiyomunu (düzenleme: CC aksiyomu) kullanarak kişi bunun tersini ispatlayabilir, yani her sonsuz X kümesinin Dedekind-sonsuz olduğu aşağıdaki gibi kanıtlanabilir :

İlk olarak, doğal sayılar üzerinde (yani, sonlu sıralar üzerinde) bir fonksiyon tanımlayın f  : N → Güç(Güç( X )) , böylece her doğal sayı için n , f ( n ) X'in sonlu alt kümeleri kümesi olur n boyutunda (yani, n sonlu sıralı bir önermeye sahip olanlar ). f ( n ) asla boş değildir, aksi takdirde X sonlu olur ( n üzerinde tümevarımla kanıtlanabileceği gibi ).

Görüntü f sayılabilir kümesi ise { f ( n ) | nN }, üyeleri sonsuz (ve muhtemelen sayılamayan) kümelerdir. Sayılabilir seçim aksiyomunu kullanarak bu kümelerin her birinden bir üye seçebiliriz ve bu üyenin kendisi X'in sonlu bir alt kümesidir . Daha doğrusu, sayılabilir seçim aksiyomuna göre, bir (sayılabilir) küme vardır, G = { g ( n ) | nN }, böylece her doğal sayı için n , g ( n ) f ( n ) ' nin bir üyesidir ve dolayısıyla n boyutunda X'in sonlu bir altkümesidir .

Şimdi U'yu G'nin üyelerinin birleşimi olarak tanımlıyoruz . U , X'in sonsuz sayılabilir bir alt kümesidir ve doğal sayılardan U , h  : NU'ya bir alıntı kolayca tanımlanabilir. Şimdi , U'da olmayan her üyeyi kendisine alan ve h ( n + 1)' ye her doğal sayı için h ( n ) alan bir B  : XXh (0) önermesi tanımlayabiliriz . Dolayısıyla X , Dedekind-sonsuzdur ve işimiz bitti.

genellemeler

Kategori-teorik terimlerle ifade edildiğinde , kümeler kategorisinde her f  : AA monomorfizmi bir izomorfizm ise , bir A kümesi Dedekind-sonludur . Bir von Neumann, normal bir halka R, kategorisinde benzer özelliğe sahiptir (sol veya sağ) R -modüller ve sadece eğer R , XY = 1 anlamına gelir yx = 1 . Daha genel olarak, bir Dedekind-sonlu halka , ikinci koşulu sağlayan herhangi bir halkadır. Bir halkanın, örneğin tamsayılar gibi, temel kümesi Dedekind-sonsuz olsa bile Dedekind-sonlu olabileceğine dikkat edin.

Notlar

Referanslar

  • İnanç, Carl Clifton. Matematiksel araştırmalar ve monograflar . Cilt 65. Amerikan Matematik Derneği. 2. baskı. AMS Kitabevi, 2004. ISBN  0-8218-3672-2
  • Moore, Gregory H., Zermelo's Axiom of Choice , Springer-Verlag, 1982 (baskısı tükenmiş), ISBN  0-387-90670-3 , özellikle s. 22-30 ve sf. 1 ve 2 tabloları. 322-323
  • Jech, Thomas J. , The Axiom of Choice , Dover Publications, 2008, ISBN  0-486-46624-8
  • Lam, Tsit-Yuen. Değişmeli olmayan halkalarda bir ilk kurs . Matematikte Lisansüstü metinler Cilt 131 . 2. baskı. Springer, 2001. ISBN  0-387-95183-0
  • Herrlich, Horst, Axiom of Choice , Springer-Verlag, 2006, Lecture Notes in Mathematics 1876, ISSN baskı baskısı 0075–8434, ISSN elektronik baskısı: 1617-9692, özellikle Bölüm 4.1.