Riemann manifoldlarının eğriliği - Curvature of Riemannian manifolds

Soldan sağa: Negatif Gauss eğriliğinin ( hiperboloit ) bir yüzeyi, sıfır Gauss eğriliğinin ( silindir ) bir yüzeyi ve pozitif Gauss eğriliğinin ( küre ) bir yüzeyi . Daha yüksek boyutlarda, bir manifold , Riemann eğrilik tensörü tarafından açıklanan farklı yönlerde farklı eğrilere sahip olabilir .

Gelen matematik , özellikle diferansiyel geometri , sonsuz geometrisi Rieman manifoldları 2'den boyut daha sonra ile de bir belirli bir noktada tek bir numara ile tarif edilecek karmaşıktır. Riemann , şimdi Riemann eğrilik tensörü olarak bilinen bu manifoldlar için eğriliği tanımlamanın soyut ve titiz bir yolunu tanıttı . Benzer kavramlar, diferansiyel geometride her yerde uygulamalar bulmuştur.

Daha basit bir tartışma için, 2 ve 3 boyutlu eğrilerin ve yüzeylerin eğriliğini ve ayrıca yüzeylerin diferansiyel geometrisini tartışan eğrilik hakkındaki makaleye bakın .

Sözde Riemann manifoldunun eğriliği, sadece küçük değişikliklerle aynı şekilde ifade edilebilir.

Riemann manifoldunun eğriliğini ifade etmenin yolları

Riemann eğrilik tensörü

Bir Riemann manifoldunun eğriliği çeşitli şekillerde tanımlanabilir; en standart olanı, Levi-Civita bağlantısı (veya kovaryant farklılaşması ) ve Lie parantezi cinsinden aşağıdaki formülle verilen eğrilik tensörüdür : ${\ displaystyle \ nabla}$ ${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]}$

${\ displaystyle R (u, v) w = \ nabla _ {u} \ nabla _ {v} w- \ nabla _ {v} \ nabla _ {u} w- \ nabla _ {[u, v]} w .}$

Manifoldun teğet uzayının doğrusal dönüşümü burada ; her argümanda doğrusaldır. Eğer ve sonra vektör alanlarını koordine olan ve bu nedenle formül basitleştirir ${\ displaystyle R (u, v)}$${\ displaystyle u = \ kısmi / \ kısmi x_ {i}}$${\ displaystyle v = \ kısmi / \ kısmi x_ {j}}$${\ displaystyle [u, v] = 0}$

${\ displaystyle R (u, v) w = \ nabla _ {u} \ nabla _ {v} w- \ nabla _ {v} \ nabla _ {u} w}$

yani eğrilik tensörü , kovaryant türevin değişmezliğini ölçer .

Doğrusal dönüşüm , eğrilik dönüşümü veya endomorfizm olarak da adlandırılır . ${\ displaystyle w \ mapsto R (u, v) w}$

NB. Eğrilik tensörünün zıt işaret ile tanımlandığı birkaç kitap var.

Simetriler ve kimlikler

Eğrilik tensörü aşağıdaki simetrilere sahiptir:

${\ displaystyle R (u, v) = - R (v, u) _ {} ^ {}}$

${\ displaystyle \ langle R (u, v) w, z \ rangle = - \ langle R (u, v) z, w \ rangle _ {} ^ {}}$

${\ displaystyle R (u, v) w + R (v, w) u + R (w, u) v = 0 _ {} ^ {}}$

Son kimlik Ricci tarafından keşfedildi , ancak genellikle aşağıdaki Bianchi kimliğine benzediği için ilk Bianchi kimliği olarak adlandırılır . İlk ikisi sırasıyla antisimetri ve Lie cebiri özelliği olarak ele alınmalıdır , çünkü ikincisi, tüm u , v için R ( u , v ) ' nin sözde-ortogonal Lie cebirinin elemanları olduğu anlamına gelir . Her üçü birlikte sözde ortogonal eğrilik yapısı olarak adlandırılmalıdır . Sadece tensör cebirinin nesneleriyle özdeşleşmelerle bir tensöre yol açarlar - ama aynı şekilde Clifford-cebirinde kavramlarla özdeşleşmeler vardır. Eğrilik yapısının bu üç aksiyomunun, projektörler ( Weyl eğriliğine neden olan bir Weyl projektörü ve Einstein kütleçekim sisteminin kurulumu için gerekli olan bir Einstein projektörü ) açısından formüle edilmiş iyi gelişmiş bir yapı teorisine yol açtığını not edelim . denklemler). Bu yapı teorisi, sözde ortogonal grupların etkisi artı genişlemeler ile uyumludur . Lie grupları ve cebirleri teorisi, Lie üçlüleri ve Jordan cebirleri ile güçlü bağları vardır. Tartışmada verilen referanslara bakın.

Üç kimlik, eğrilik tensörünün simetrilerinin tam bir listesini oluşturur, yani yukarıdaki kimlikleri karşılayan herhangi bir tensör verildiğinde, bir noktada böyle bir eğrilik tensörü olan bir Riemann manifoldu bulunabilir. Basit hesaplamalar, böyle bir tensörün bağımsız bileşenlere sahip olduğunu gösterir . Yine bu üçünden başka bir yararlı kimlik çıkar: ${\ displaystyle n ^ {2} (n ^ {2} -1) / 12}$

${\ displaystyle \ langle R (u, v) w, z \ rangle = \ langle R (w, z) u, v \ rangle _ {} ^ {}}$

Bianchi kimliği (genellikle ikinci Bianchi kimlik ) kovariant türevlerini içerir:

${\ displaystyle \ nabla _ {u} R (v, w) + \ nabla _ {v} R (w, u) + \ nabla _ {w} R (u, v) = 0}$

Kesitsel eğrilik

Kesitsel eğrilik, Riemann manifoldlarının eğriliğinin başka, eşdeğer ancak daha geometrik bir açıklamasıdır. Bir kesite bağlı olan bir fonksiyondur (yani teğet uzaylarda 2-düzlem). Bu bir Gauss eğriliği ve - bölümü de p ; burada - kesit düzlemine sahiptir yüzeyinin bir yerel olarak tanımlanmış parça bir teğet düzlemi olarak p başlar Geodezikler elde edilen p imajının yönde altında , üstel fonksiyon de p . ${\ displaystyle K (\ sigma)}$ ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$

Eğer iki lineer bağımsız vektörler bulunmaktadır sonra ${\ displaystyle v, u}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle K (\ sigma) = K (u, v) / | u \ kama v | ^ {2} {\ text {nerede}} K (u, v) = \ açı R (u, v) v, u \ rangle}$

Aşağıdaki formül, kesitsel eğriliğin eğrilik tensörünü tamamen tanımladığını gösterir:

${\ displaystyle 6 \ langle R (u, v) w, z \ rangle = _ {} ^ {}}$

${\ displaystyle [K (u + z, v + w) -K (u + z, v) -K (u + z, w) -K (u, v + w) -K (z, v + w) + K (u, w) + K (v, z)] -_ {} ^ {}}$

${\ displaystyle [K (u + w, v + z) -K (u + w, v) -K (u + w, z) -K (u, v + z) -K (w, v + z) + K (v, w) + K (u, z)] ._ {} ^ {}}$

Veya daha basit bir formülle:

${\ displaystyle \ langle R (u, v) w, z \ rangle = {\ frac {1} {6}} \ sol. {\ frac {\ kısmi ^ {2}} {\ kısmi s \ kısmi t}} \ left (K (u + sz, v + tw) -K (u + sw, v + tz) \ sağ) \ sağ | _ {(s, t) = (0,0)}}$

Eğrilik formu

Bağlantı formu eğriliği tanımlamak için alternatif bir yol sağlar. Daha çok genel vektör demetleri ve ana demetler için kullanılır , ancak aynı şekilde Levi-Civita bağlantısına sahip teğet demet için de işe yarar . Bir kavisi , n boyutlu Riemannsal manifoldu, bir tarafından verilir antisymmetric n x n matris arasında 2-formları eşdeğer (veya değerlerle 2-formu , Lie cebir arasında ortogonal grubu olduğu, yapı grubu teğet demetinin Riemann manifoldunun). ${\ displaystyle \ Omega _ {} ^ {} = \ Omega _ {\ j} ^ {i}}$${\ displaystyle \ operatorname {yani} (n)}$ ${\ displaystyle \ operatöradı {O} (n)}$

Izin vermek birimdik tabanların yerel bir bölümü. Daha sonra , aşağıdaki özdeşliği karşılayan 1-formlu antisimetrik bir matris olan bağlantı formu tanımlanabilir. ${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle \ omega = \ omega _ {\ j} ^ {i}}$

${\ displaystyle \ omega _ {\ j} ^ {k} (e_ {i}) = \ langle \ nabla _ {e_ {i}} e_ {j}, e_ {k} \ rangle}$

Daha sonra eğrilik formu şu şekilde tanımlanır: ${\ displaystyle \ Omega = \ Omega _ {\ j} ^ {i}}$

${\ displaystyle \ Omega = d \ omega + \ omega \ kama \ omega}$ .

" " İfadesinin kısa bir el olduğunu ve bu nedenle mutlaka yok olmadığını unutmayın. Aşağıda eğrilik formu ile eğrilik tensörü arasındaki ilişki açıklanmaktadır: ${\ displaystyle \ omega \ kama \ omega}$${\ displaystyle \ omega _ {\ j} ^ {i} \ kama \ omega _ {\ k} ^ {j}}$

${\ displaystyle R (u, v) w = \ Omega (u \ kama v) w.}$

Bu yaklaşım , biçim alan ilk Bianchi kimliği dışındaki tüm eğrilik tensör simetrilerini oluşturur.

${\ displaystyle \ Omega \ kama \ theta = 0}$

burada bir bir N ile tanımlanan 1-formları -vector . İkinci Bianchi kimlik şeklini alır ${\ displaystyle \ theta = \ theta ^ {i}}$${\ displaystyle \ theta ^ {i} (v) = \ langle e_ {i}, v \ rangle}$

${\ displaystyle D \ Omega = 0}$

D , dış kovaryant türevini gösterir

Eğrilik operatörü

Bazen eğriliği , aşağıdaki özdeşlikle benzersiz bir şekilde tanımlanan teğet ikiye ayırıcılar (öğelerinin ) üzerinde bir işleç olarak düşünmek uygundur : ${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle \ Lambda ^ {2} (T)}$

${\ displaystyle \ langle Q (u \ kama v), w \ kama z \ rangle = \ langle R (u, v) z, w \ rangle.}$

Eğrilik tensörünün simetrileri (yani ilk ve son indis çiftlerinde antisimetri ve bu çiftlerin blok simetrisi) nedeniyle bunu tam olarak yapmak mümkündür.

Diğer eğrilik tensörleri

Genel olarak aşağıdaki tensörler ve fonksiyonlar eğrilik tensörünü tam olarak tanımlamaz, ancak önemli bir rol oynarlar.

Skaler eğrilik

Skaler eğrilik, herhangi bir Riemann manifoldundaki bir fonksiyondur ve genellikle Sc ile gösterilir . Eğrilik tensörünün tam izidir ; Bir Verilen ortonormal baz teğet uzayda p Elimizdeki ${\ displaystyle \ {e_ {i} \}}$

${\ displaystyle S \! c = \ sum _ {i, j} \ langle R (e_ {i}, e_ {j}) e_ {j}, e_ {i} \ rangle = \ sum _ {i} \ langle {\ text {Ric}} (e_ {i}), e_ {i} \ rangle,}$

burada Ric belirtmektedir Ricci tensörü . Sonuç birimdik taban seçimine bağlı değildir. Boyut 3'ten başlayarak, skaler eğrilik, eğrilik tensörünü tam olarak tanımlamaz.

Ricci eğriliği

Ricci eğriliği, genellikle Ric ile gösterilen bir noktadaki teğet uzayda doğrusal bir operatördür . Bir ortonormal taban göz önüne alındığında en tanjant uzayda p Elimizdeki ${\ displaystyle \ {e_ {i} \}}$

${\ displaystyle Ric (u) = \ toplam _ {i} R (u, e_ {i}) e_ {i} ._ {} ^ {}}$

Sonuç birimdik taban seçimine bağlı değildir. Dört veya daha fazla boyutta Ricci eğriliği, eğrilik tensörünü tam olarak tanımlamaz.

Ricci tensörü için Levi-Civita bağlantısı açısından açık ifadeler Christoffel sembolleri ile ilgili makalede verilmiştir .

Weyl eğrilik tensörü

Weyl eğrilik tensörü Riemann eğrilik tensörü aynı simetri sahiptir, ancak ilave bir kısıtlamayla: (Ricci eğriliği tanımlamak için kullanılan gibi) iz sıfır olmalıdır.

Weyl tensörü, uyumlu bir metrik değişimine göre değişmez . Yani, bazı pozitif skaler fonksiyon f için iki ölçüm g ′ = fg olarak ilişkiliyse , W ′ = W olur .

Boyut 2 ve 3'te Weyl tensörü kaybolur, ancak 4 veya daha fazla boyutta Weyl tensörü sıfır olmayabilir. Sabit eğriliğe sahip bir manifold için Weyl tensörü sıfırdır. Dahası, W = 0 ancak ve ancak metrik yerel olarak Öklid metriğine uygunsa .

Ricci ayrışması

Ayrı ayrı, Weyl tensörü ve Ricci tensörü genel olarak tam eğrilik tensörünü belirlemese de, Riemann eğrilik tensörü bir Weyl parçası ve bir Ricci parçası olarak ayrıştırılabilir. Bu ayrışma, Ricci ayrışması olarak bilinir ve Riemann manifoldlarının konformal geometrisinde önemli bir rol oynar . Özellikle, metriğin bir konformal faktör ile yeniden ölçeklendirilmesi durumunda Riemann eğrilik tensörünün ((0, 4) -tensör olarak görülür) olarak değiştiğini göstermek için kullanılabilir: ${\ displaystyle e ^ {2f}}$

${\ displaystyle e ^ {2f} \ sol (R + \ sol ({\ text {Hess}} (f) -df \ otimes df + {\ frac {1} {2}} \ | {\ text {grad}} ( f) \ | ^ {2} g \ right) {~ \ wedge \! \! \! \! \! \! \! \! \; \ bigcirc ~} g \ right)}$

burada belirtmektedir Kulkarni-Nomizu ürün Hess Hessian olup. ${\ displaystyle {~ \ kama \! \! \! \! \! \! \! \! \; \ bigcirc ~}}$

Eğriliğin hesaplanması

Eğriliğin hesaplanması için

• hiper yüzeyler ve altmanifoldlar ikinci temel formu görür ,
• koordinatlarda Riemann geometrisindeki veya kovaryant türevindeki formüllerin listesine bakın ,
• çerçeveleri hareket ettirerek Cartan bağlantısı ve eğrilik biçimine bakınız .
• Jeodeziklerin davranışı hakkında bir şey biliyorsanız , Jacobi denklemi yardımcı olabilir .

Referanslar

• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996). Diferansiyel Geometri Temelleri , Cilt. 1 (Yeni baskı). Wiley-Interscience. ISBN   0-471-15733-3 .
• Woods, FS (1901). "Sabit eğrilikli uzay". Matematik Yıllıkları . 3 (1/4): 71–112. JSTOR   1967636 . CS1 Maint: önerilmeyen parametre ( bağlantı )

Notlar