Koordinat sistemi - Coordinate system

Küresel koordinat sisteminde yaygın olarak kullanılan fizik . Öklid uzayındaki her noktaya üç sayı (koordinatlar olarak bilinir) atar: radyal mesafe r , kutup açısı θ ( teta ) ve azimut açısı φ ( phi ). Genellikle r yerine ρ ( rho ) sembolü kullanılır .

İn geometrisi , bir koordinat sistemi kullanır, bir ya da daha fazla olan bir sistemdir numaraları veya koordinatları , benzersiz belirlemek için pozisyonlar arasında noktaları bir ya da diğer geometrik elemanlar manifoldu gibi Öklid alanı . Koordinatların sırası önemlidir ve bazen " x- koordinatı" nda olduğu gibi sıralı bir demet içindeki konumlarıyla ve bazen bir harfle tanımlanırlar . Koordinatları olarak alınır gerçek sayılar olarak temel matematik ancak olabilir karmaşık sayılar ya da böyle bir şekilde daha soyut bir sistem elemanları değişmeli halkası . Bir koordinat sisteminin kullanılması, geometrideki problemlerin sayılarla ilgili problemlere dönüştürülmesine ve bunun tersinin yapılmasına izin verir ; bu analitik geometrinin temelidir .

Ortak koordinat sistemleri

Sayı doğrusu

Koordinat sisteminin en basit örneği , sayı doğrusu kullanılarak gerçek sayılarla bir doğru üzerindeki noktaların tanımlanmasıdır . Bu sistemde, belirli bir doğru üzerinde rastgele bir O noktası ( orijin ) seçilir. Bir nokta koordinatı P imzalı mesafe olarak tanımlanır O için P işaretli uzaklık, pozitif veya negatif hattı hangi tarafında bağlı olarak alınan mesafedir, p yalan. Her noktaya benzersiz bir koordinat verilir ve her gerçek sayı benzersiz bir noktanın koordinatıdır.

Kartezyen koordinat sistemi

Kartezyen koordinat sisteminin düzlemde.

Koordinat sisteminin prototipik örneği, Kartezyen koordinat sistemidir . Olarak düzlem , iki dikey hat seçilir ve bir noktadan koordinatları hatlarına imzalanmış mesafeler olarak alınır.

Üç boyutta, birbirine dik üç düzlem seçilir ve bir noktanın üç koordinatı, düzlemlerin her birine işaretli mesafelerdir. Bu, n boyutlu Öklid uzayındaki herhangi bir nokta için n koordinat oluşturmak üzere genelleştirilebilir .

Koordinat eksenlerinin yönüne ve sırasına bağlı olarak, üç boyutlu sistem sağ veya sol el sistemi olabilir. Bu, birçok koordinat sisteminden biridir.

Kutupsal koordinat sistemi

Düzlem için bir başka yaygın koordinat sistemi, kutupsal koordinat sistemidir . Kutup olarak bir nokta seçilir ve bu noktadan gelen bir ışın kutup ekseni olarak alınır . Verilen bir θ açısı için, kutup ekseni ile açısı θ olan kutup boyunca tek bir çizgi vardır (eksenden çizgiye saat yönünün tersine ölçülür). O halde, verilen r sayısı için bu doğru üzerinde, orijinden işaretli uzaklığı r olan benzersiz bir nokta vardır . Belirli bir koordinat çifti için ( r , θ) tek bir nokta vardır, ancak herhangi bir nokta birçok koordinat çiftiyle temsil edilir. Örneğin, ( r , θ), ( r , θ+2π) ve (− r , θ+π) aynı nokta için kutupsal koordinatlardır. Herhangi bir θ değeri için kutup (0, θ) ile temsil edilir.

Silindirik ve küresel koordinat sistemleri

Silindirik koordinat sistemi

Kutupsal koordinat sistemini üç boyuta genişletmek için yaygın olarak kullanılan iki yöntem vardır. Gelen koordinat silindirik bir sistem , bir z Kartezyen koordinatlarında aynı anlamı ile -coordinate eklenir r ve İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin üçlü (veren polar koordinatları r ,  θ ,  z ). Küresel koordinatlar, silindirik koordinat çiftini ( r ,  z ) kutupsal koordinatlara ( ρ ,  φ ) dönüştürerek bir üçlü ( ρ ,  θ ,  φ ) vererek bunu bir adım daha ileri götürür .

homojen koordinat sistemi

Düzlemdeki bir nokta, bir üçlü ( x ,  y ,  z ) ile homojen koordinatlarda temsil edilebilir; burada x / z ve y / z , noktanın Kartezyen koordinatlarıdır. Bu, düzlemde bir noktayı belirtmek için yalnızca iki tanesine ihtiyaç duyulduğundan "ekstra" bir koordinat sunar, ancak bu sistem, sonsuzluk kullanılmadan projektif düzlemde herhangi bir noktayı temsil etmesi bakımından yararlıdır . Genel olarak, homojen bir koordinat sistemi, gerçek değerlerin değil, yalnızca koordinatların oranlarının önemli olduğu bir sistemdir.

Diğer yaygın olarak kullanılan sistemler

Diğer bazı yaygın koordinat sistemleri şunlardır:

• Eğrisel koordinatlar , genel olarak koordinat sistemlerinin bir genellemesidir; sistem eğrilerin kesişimine dayanmaktadır.
  • Ortogonal koordinatlar : koordinat yüzeyleri dik açılarda buluşur
  • Skew koordinatları : koordinat yüzeyleri ortogonal değil
• Log-Polar koordinat sistemi uzaklığa logaritması ve orijini kesen bir referans çizgisine göre ölçüldüğünde, bir açı ile bir düzlemde bir noktayı temsil etmektedir.
• Plücker koordinatları , homojen koordinatlar olarak altılı bir sayı kümesi kullanarak 3B Öklid uzayında çizgileri temsil etmenin bir yoludur .
• Genelleştirilmiş koordinatlar , mekaniğin Lagrange tedavisinde kullanılır .
• Kanonik koordinatlar , mekaniğin Hamiltonian tedavisinde kullanılır .
• Üçlü grafikler için ve daha genel olarak üçgenlerin analizinde kullanılan barycentric koordinat sistemi .
• Üç doğrusal koordinatlar , üçgenler bağlamında kullanılır.

Eğrilik ve yay uzunluğu gibi değişmez nicelikleri kullanan içsel denklemleri kullanarak, koordinatları olmayan eğrileri tanımlamanın yolları vardır . Bunlar şunları içerir:

• Whewell denklemi yay uzunluğu ve ilgilidir teğet açısı .
• Cesàro denklemi uzunluğu ve eğrilik yay ile ilgilidir.

Geometrik nesnelerin koordinatları

Koordinat sistemleri genellikle bir noktanın konumunu belirtmek için kullanılır, ancak çizgiler, düzlemler, daireler veya küreler gibi daha karmaşık şekillerin konumunu belirtmek için de kullanılabilirler . Örneğin, bir çizginin uzaydaki konumunu belirlemek için Plücker koordinatları kullanılır. Bir ihtiyaç olduğunda, tarif edilen şeklin tipi koordinat sisteminin tipini ayırt etmek için kullanılır, örneğin hat koordinatları terimi bir hattın konumunu belirten herhangi bir koordinat sistemi için kullanılır.

İki farklı geometrik şekil kümesi için koordinat sistemlerinin analizleri açısından eşdeğer olduğu ortaya çıkabilir. Projektif düzlemdeki noktalar ve doğrular için homojen koordinat sistemleri buna bir örnektir. Böyle bir durumda iki sistemin dualist olduğu söylenir . Dualistik sistemler, bir sistemden elde edilen sonuçların diğerine taşınabilmesi özelliğine sahiptir, çünkü bu sonuçlar aynı analitik sonucun yalnızca farklı yorumlarıdır; bu dualite ilkesi olarak bilinir .

Dönüşümler

Geometrik şekilleri tanımlamak için genellikle birçok farklı olası koordinat sistemi olduğundan, bunların nasıl ilişkili olduğunu anlamak önemlidir. Bu tür ilişkiler, bir sistemdeki koordinatlar için başka bir sistemdeki koordinatlar cinsinden formüller veren koordinat dönüşümleri ile tanımlanır . Örneğin düzlemde, Kartezyen koordinatlar ( x ,  y ) ve kutupsal koordinatlar ( r ,  θ ) aynı orijine sahipse ve kutup ekseni pozitif x ekseni ise, kutupsaldan Kartezyen koordinatlara koordinat dönüşümü şu şekilde verilir: x  =  r  cos θ ve y  =  r  günah θ .

Uzaydan kendisine yapılan her bijection ile iki koordinat dönüşümü ilişkilendirilebilir:

• öyle ki, her noktanın görüntüsünün yeni koordinatları, orijinal noktanın eski koordinatlarıyla aynı olur (haritalama için formüller, koordinat dönüşümü için olanların tersidir)
• öyle ki, her noktanın görüntüsünün eski koordinatları, orijinal noktanın yeni koordinatlarıyla aynı olur (haritalama için formüller, koordinat dönüşümü için olanlarla aynıdır)

Örneğin, 1D'de , eşleme 3'ün sağa çevrilmesiyse, ilki orijini 0'dan 3'e hareket ettirir, böylece her noktanın koordinatı 3 daha az olur, ikincisi ise orijini 0'dan -3'e taşır. , böylece her noktanın koordinatı 3 daha olur.

Koordinat çizgileri/eğrileri ve düzlemler/yüzeyler

İki boyutta, bir nokta koordinat sistemindeki koordinatlardan biri sabit tutulursa ve diğer koordinatın değişmesine izin verilirse, ortaya çıkan eğriye koordinat eğrisi denir . Kartezyen koordinat sisteminde koordinat eğrileri aslında düz çizgilerdir , dolayısıyla koordinat çizgileridir . Spesifik olarak, koordinat eksenlerinden birine paralel çizgilerdir. Diğer koordinat sistemleri için koordinat eğrileri genel eğriler olabilir. Örneğin, r sabit tutularak elde edilen kutupsal koordinatlardaki koordinat eğrileri, merkezi orijinde olan dairelerdir. Bazı koordinat eğrilerinin çizgi olmadığı bir koordinat sistemine eğrisel koordinat sistemi denir . Bu prosedür her zaman mantıklı değildir, örneğin homojen bir koordinat sisteminde koordinat eğrileri yoktur .

Üç boyutlu paraboloidal koordinatların koordinat yüzeyleri.

Üç boyutlu uzayda, bir koordinat sabit tutulur ve diğer ikisinin değişmesine izin verilirse, ortaya çıkan yüzeye koordinat yüzeyi denir . Örneğin küresel koordinat sisteminde ρ sabit tutularak elde edilen koordinat yüzeyleri , merkezi orijinde olan kürelerdir. Üç boyutlu uzayda iki koordinat yüzeyinin kesişimi bir koordinat eğrisidir. Kartezyen koordinat sisteminde koordinat düzlemlerinden bahsedebiliriz .

Benzer şekilde, koordinat hiper yüzeyleri , n boyutlu bir koordinat sisteminin tek bir koordinatının sabitlenmesinden kaynaklanan ( n − 1) boyutlu uzaylardır .

Koordinat haritaları

Koordinat haritası veya koordinat şeması kavramı , manifoldlar teorisinin merkezinde yer alır. Koordinat haritası, esasen, her noktanın tam olarak bir koordinat kümesine sahip olması özelliğine sahip, belirli bir uzayın bir alt kümesi için bir koordinat sistemidir. Daha kesin olarak, bir koordinat haritası, X uzayının açık bir alt kümesinden R ^n'nin açık bir alt kümesine bir homeomorfizmadır . Bütün bir uzay için tutarlı bir koordinat sistemi sağlamak çoğu zaman mümkün değildir. Bu durumda, alanı kapsayan bir atlas oluşturmak için bir koordinat haritaları koleksiyonu bir araya getirilir . Böyle bir atlas ile donatılmış bir uzaya manifold denir ve eğer yapı, koordinat haritalarının örtüştüğü yerde tutarlıysa, bir manifold üzerinde ek yapı tanımlanabilir. Örneğin, türevlenebilir bir manifold, bir koordinat haritasından diğerine koordinat değişiminin her zaman türevlenebilir bir fonksiyon olduğu bir manifolddur.

Oryantasyon tabanlı koordinatlar

Olarak geometri ve kinematik sistemler noktaları (lineer) konumu ve açıklamak için kullanılan koordinat açısal pozisyonunu eksenleri, uçaklar, ve katı cisimlerin . İkinci durumda, düğüme sabitlenmiş ikinci bir koordinat sisteminin (tipik olarak "yerel" olarak anılır) oryantasyonu birinciye göre tanımlanır (tipik olarak "küresel" veya "dünya" koordinat sistemi olarak adlandırılır). Örneğin, katı bir cismin oryantasyonu , üç sütununda üç noktanın Kartezyen koordinatlarını içeren bir oryantasyon matrisi ile temsil edilebilir . Bu noktalar, yerel sistemin eksenlerinin oryantasyonunu tanımlamak için kullanılır; bu eksenlerle hizalanmış üç birim vektörün uçlarıdır.

Ayrıca bakınız

Göreli koordinat sistemleri

Referanslar

alıntılar

Kaynaklar

Dış bağlantılar

• Altıgen Koordinat Sistemleri