Yapılandırmacılık (matematik felsefesi) - Constructivism (philosophy of mathematics)

Gelen matematik felsefesi , yapılandırmacılığın bulmak için gerekli (ya da "yapı") bir örnek var olduğunu kanıtlamak için matematiksel bir nesnenin belirli bir örneği olduğunu ileri sürer. Buna karşılık, klasik matematikte , matematiksel bir nesnenin varlığı , o nesneyi açıkça "bulmadan", var olmadığını varsayarak ve sonra bu varsayımdan bir çelişki türeterek kanıtlanabilir . Çelişki yoluyla böyle bir kanıt, yapıcı olmayan olarak adlandırılabilir ve bir yapılandırmacı bunu reddedebilir. Yapıcı bakış açısı, klasik yorumuyla çelişen varoluşsal niceleyicinin doğrulayıcı bir yorumunu içerir .

Yapılandırmacılığın birçok biçimi vardır. Bunlar program içerir sezgicilik kurduğu Brouwer , finitizm arasında Hilber ve Bernays'ın , yapıcı özyinelemeli matematik arasında Shanin ve Markov ve Bishop 's programı yapıcı analizi . Yapılandırmacılık aynı zamanda CZF gibi yapıcı küme teorilerinin ve topos teorisinin incelenmesini de içerir .

Sezgicilik yalnızca bir yapılandırmacı program olmasına rağmen, yapılandırmacılık genellikle sezgicilikle tanımlanır. Sezgicilik, matematiğin temellerinin bireysel matematikçinin sezgisinde yattığını ve böylece matematiği özünde öznel bir aktivite haline getirdiğini iddia eder. Diğer yapılandırmacılık biçimleri, bu sezgi bakış açısına dayanmaz ve matematikte nesnel bir bakış açısıyla uyumludur.

yapıcı matematik

Çoğu yapıcı matematik , esasen dışlanan ortanın yasası olmadan klasik mantık olan sezgici mantığı kullanır . Bu yasa, herhangi bir önerme için ya o önermenin doğru olduğunu ya da olumsuzluğunun doğru olduğunu belirtir. Bu, dışlanan ortanın yasasının tamamen reddedildiği anlamına gelmez; kanunun özel halleri ispatlanabilecektir. Sadece genel yasanın bir aksiyom olarak kabul edilmemesidir . Çelişmezlik yasası ( çelişkili ifadelerin aynı anda her ikisinin de doğru olamayacağını belirten) hala geçerlidir.

Örneğin, in Heyting aritmetik , bir herhangi bir öneri için olduğunu kanıtlayan p içermeyen nicelik , bir teoremi (burada x , y , z ... olan serbest değişkenler önerme olarak p ). Bu anlamda, sonlu ile sınırlı olan önermeler , klasik matematikte olduğu gibi hala ya doğru ya da yanlış olarak kabul edilir, ancak bu çift ​​değerlilik , sonsuz koleksiyonlara atıfta bulunan önermeleri kapsamaz . ${\displaystyle \forall x,y,z,\ldots \in \mathbb {N} :p\vee \neg p}$

Aslında, sezgici okulun kurucusu LEJ Brouwer , dışlanan ortanın yasasını sonlu deneyimden soyutlanmış olarak gördü ve sonra gerekçesiz olarak sonsuzluğa uyguladı . Örneğin, Goldbach'ın varsayımı , her çift sayının (2'den büyük) iki asal sayının toplamı olduğu iddiasıdır . Herhangi bir çift sayının iki asal sayının toplamı olup olmadığını test etmek mümkündür (örneğin kapsamlı arama ile), bu nedenle bunlardan herhangi biri ya iki asal sayının toplamıdır ya da değildir. Ve şimdiye kadar, bu şekilde test edilen her biri aslında iki asal sayının toplamı olmuştur.

Ancak hepsinin böyle olduğuna dair bilinen bir kanıt veya hepsinin böyle olmadığına dair bilinen bir kanıt yoktur. Bu nedenle Brouwer'a göre, "Goldbach'ın varsayımı doğrudur ya da değildir" iddiasında haklı değiliz. Ve varsayım bir gün çözülebilirken, argüman benzer çözülmemiş problemler için de geçerlidir; Brouwer'a göre, hariç tutulan orta yasası, her matematik probleminin bir çözümü olduğunu varsaymakla eşdeğerdi .

Bir aksiyom olarak dışlanmış orta yasasının ihmal, geri kalan mantıksal sistem bir sahiptir varlığı özelliği her zaman: klasik mantık yok yapıcı kanıtlanmış, daha sonra aslında yapıcı kanıtlanmış belirli bir (en azından) için , genellikle denir bir tanık. Böylece matematiksel bir nesnenin varlığının kanıtı, onun inşasının olasılığına bağlıdır. ${\görüntüleme stili \var _{x\in X}P(x)}$${\görüntüleme stili P(a)}$${\displaystyle a\in X}$

Gerçek analizden örnek

Klasik olarak , gerçek analiz , tek yönlü bir gerçek sayı tanımlayan bir gibidir eşdeğerlik sınıfı arasında Cauchy dizileri arasında rasyonel sayı .

Yapıcı matematik olarak, bir gerçek sayı oluşturmak için bir yol, bir gibidir işlev ƒ pozitif bir tamsayı alır ve rasyonel çıktılar ƒ ( N fonksiyonu ile birlikte) g bir pozitif tamsayıyı alır , n ve pozitif bir tamsayıdır çıktılar g ( n ) öyle ki ${\görüntüleme stili n}$

${\displaystyle \forall n\ \forall i,j\geq g(n)\quad |f(i)-f(j)|\leq {1 \üzer n}}$

öyle ki n arttıkça, ƒ ( n ) değerleri birbirine gittikçe yaklaşıyor. Biz kullanabilirsiniz ƒ ve g temsil ettikleri gerçek sayıya gibi bizim kadar yakın bir rasyonel yaklaşım olarak bilgi işlem için birlikte.

Bu tanım altında, gerçek sayı e'nin basit bir temsili :

${\displaystyle f(n)=\sum _{i=0}^{n}{1 \over i!},\quad g(n)=n.}$

Bu tanım, yapıcı bir bükülme dışında, Cauchy dizilerini kullanan klasik tanıma karşılık gelir: klasik bir Cauchy dizisi için, herhangi bir verili mesafe için dizide (klasik anlamda) bir üyenin bulunması gerekir. birbirine bu mesafeden daha yakındır. Yapıcı versiyonda, verilen herhangi bir mesafe için, dizide bunun gerçekleştiği bir noktayı fiilen belirtmenin mümkün olması gerekir (bu gerekli belirtime genellikle yakınsama modülü denir ). Aslında, matematiksel ifadenin standart yapıcı yorumu

${\displaystyle \forall n:\var m:\forall i,j\geq m:|f(i)-f(j)|\leq {1 \n üzerinde}}$

tam olarak yakınsama modülünü hesaplayan fonksiyonun varlığıdır. Bu nedenle, gerçek sayıların iki tanımı arasındaki fark, "herkes için... vardır..." ifadesinin yorumlanmasındaki fark olarak düşünülebilir.

Bu daha sonra tür ne olduğu sorusunu açar fonksiyonu bir gelen sayılabilen seti gibi sayılabilir seti için, f ve g , yukarıda aslında oluşturulabilir. Yapılandırmacılığın farklı versiyonları bu noktada birbirinden ayrılır. Yapılar, geniş anlamda , sezgisel görüş olan özgür seçim dizileri olarak veya dar anlamda algoritmalar (veya daha teknik olarak, hesaplanabilir fonksiyonlar ) olarak tanımlanabilir veya hatta belirtilmemiş olarak bırakılabilir. Örneğin, algoritmik görüş alınırsa, burada oluşturulan gerçekler esasen klasik olarak hesaplanabilir sayılar olarak adlandırılan şeydir .

kardinalite

Yukarıdaki algoritmik yorumu almak, klasik kardinalite kavramlarıyla çelişiyor gibi görünüyor . Algoritmaları sıralayarak, klasik olarak hesaplanabilir sayıların sayılabilir olduğunu gösterebiliriz . Yine de Cantor'un köşegen argümanı gerçek sayıların daha yüksek kardinaliteye sahip olduğunu gösteriyor. Ayrıca, köşegen argümanı tamamen yapıcı görünüyor. Gerçek sayıları hesaplanabilir sayılarla özdeşleştirmek bir çelişki olacaktır.

Ve aslında, Cantor'un köşegen argümanı , gerçek sayılar ve doğal sayılar arasında bir orantı verildiğinde , uymayan bir gerçek sayı inşa etmesi ve böylece bir çelişkiyi kanıtlaması anlamında yapıcıdır. Biz gerçekten de numaralandırmak algoritmalar bir işlev oluşturmak için edebilirsiniz T başlangıçta doğal numaralarından gelen bir fonksiyon olduğunu varsayalım hangi, üzerine Gerçekten mi. Algoritma olmayan sona eren kısıtlamalarını sağlayan, hatta başarısız olabilir Ancak, her bir algoritmaya, ya da (bir gerçek sayı vardır karşılık olabilir , T , bir bir kısmi işlevi bu gerekli bir eşleşme elde etmek için başarısız şekilde). Kısacası, gerçek sayıların (bireysel olarak) etkin bir şekilde hesaplanabilir olduğu görüşünü benimseyen biri, Cantor'un sonucunu, gerçek sayıların (toplu olarak) özyinelemeli olarak sayılabilir olmadığını gösterdiği şeklinde yorumlar .

Yine de, T doğal sayılardan reel sayılara kısmi bir fonksiyon olduğu için, reel sayıların sayılabilirden fazlası olmadığı beklenebilir. Ve her doğal sayı önemsiz bir şekilde gerçek bir sayı olarak temsil edilebildiğinden, bu nedenle gerçek sayılar sayılabilirden daha az değildir . Bu nedenle tam olarak sayılabilirler. Ancak bu muhakeme yapıcı değildir, çünkü yine de gerekli önermeyi oluşturmaz. Bu gibi durumlarda bir önermenin varlığını kanıtlayan klasik teorem, yani Cantor-Bernstein-Schroeder teoremi , yapıcı değildir. Yakın zamanda Cantor-Bernstein-Schroeder teoreminin dışlanan ortanın yasasını ima ettiği gösterilmiştir , dolayısıyla teoremin yapıcı bir kanıtı olamaz.

seçim aksiyomu

Yapılandırmacı matematikte seçim aksiyomunun durumu, farklı yapılandırmacı programların farklı yaklaşımları ile karmaşıktır. Matematikçiler tarafından gayri resmi olarak kullanılan "yapıcı"nın önemsiz bir anlamı " seçim aksiyomu olmaksızın ZF küme teorisinde kanıtlanabilir "dir. Ancak, daha sınırlı yapıcı matematiğin savunucuları, ZF'nin kendisinin yapıcı bir sistem olmadığını iddia edeceklerdir.

Sezgisel tip teorisi teorilerinde (özellikle daha yüksek tip aritmetik), seçim aksiyomunun birçok formuna izin verilir. Örneğin, AC ₁₁ aksiyomu , gerçek sayılar kümesindeki herhangi bir R ilişkisi için, her x gerçek sayısı için R ( x , y )'nin geçerli olduğu şekilde bir gerçek y sayısı olduğunu ispatladıysanız , Daha sonra bir işlev aslında orada F böyle R ( x , F ( x )) tüm gerçek sayılar için geçerlidir. Tüm sonlu tipler için benzer seçim ilkeleri kabul edilir. Görünüşte yapıcı olmayan bu ilkeleri kabul etmenin motivasyonu, "her x gerçek sayısı için R ( x , y )'nin sahip olduğu bir gerçek y sayısı vardır " kanıtının sezgisel olarak anlaşılmasıdır . Göre BHK yorumlanması , bu kanıtı kendisi esasen fonksiyonudur F arzu edilir. Sezgicilerin kabul ettiği seçim ilkeleri , dışlanan ortanın yasasını ima etmez .

Bununla birlikte, yapıcı küme teorisi için bazı aksiyom sistemlerinde, seçim aksiyomu, Diaconescu-Goodman-Myhill teoremi tarafından gösterildiği gibi, dışlanan orta (diğer aksiyomların varlığında) yasasını ima eder . Bazı yapıcı küme teorileri , Myhill'in küme teorisindeki bağımlı seçim aksiyomu gibi, seçim aksiyomunun daha zayıf biçimlerini içerir .

ölçü teorisi

Klasik ölçü teorisi temelde yapıcı değildir, çünkü Lebesgue ölçüsünün klasik tanımı bir kümenin ölçüsünü veya bir fonksiyonun integralini hesaplamanın herhangi bir yolunu tanımlamaz. Aslında, bir fonksiyon sadece "gerçek bir sayı giren ve gerçek bir sayı veren" bir kural olarak düşünülürse, o zaman bir fonksiyonun integralini hesaplamak için herhangi bir algoritma olamaz, çünkü herhangi bir algoritma yalnızca sonlu sayıda çağırabilir. fonksiyonun bir seferde değerleri ve sonlu sayıda değer, integrali herhangi bir önemsiz doğrulukta hesaplamak için yeterli değildir. İlk olarak Bishop'un 1967 kitabında gerçekleştirilen bu bilmecenin çözümü, yalnızca yakınsama oranı hakkında bilgi ile sürekli fonksiyonların (bilinen süreklilik modülü ile) noktasal limiti olarak yazılan fonksiyonları dikkate almaktır. Ölçü teorisini yapılandırmanın bir avantajı, bir kümenin yapıcı olarak tam ölçülü olduğu kanıtlanabiliyorsa, o kümede bir nokta bulmak için bir algoritmanın bulunmasıdır (yine Bishop'un kitabına bakınız). Örneğin, bu yaklaşım, her tabana normal olan bir gerçek sayı oluşturmak için kullanılabilir .

Matematikte yapılandırmacılığın yeri

Geleneksel olarak, bazı matematikçiler, büyük ölçüde yapıcı analiz için teşkil ettiğine inandıkları sınırlamalar nedeniyle, matematiksel yapılandırmacılığa karşı düşmanca olmasalar da şüphe duymuşlardır. Bu görüşler, 1928'de Grundlagen der Mathematik'te yazdığında David Hilbert tarafından güçlü bir şekilde ifade edildi: " Matematikçiden dışlanan orta ilkesini almak, diyelim ki, teleskopu astronoma veya boksöre teleskobu kullanmasını yasaklamakla aynı olurdu. yumruklarını".

Errett Bishop , 1967 tarihli Yapıcı Analizin Temelleri adlı çalışmasında , yapıcı bir çerçevede çok sayıda geleneksel analiz geliştirerek bu korkuları gidermeye çalıştı.

Çoğu matematikçi, yapılandırmacının yalnızca yapıcı yöntemlere dayalı olarak yapılan matematiğin sağlam olduğu tezini kabul etmese de, yapıcı yöntemler ideolojik olmayan gerekçelerle giderek daha fazla ilgi görmektedir. Örneğin, analizde yapıcı deliller temin edebilir tanık çıkarma yapıcı yöntemlerle sınırlamalar çerçevesinde çalışan klasik yöntemlerle daha kolay teorilere tanıkları bulma yapabilir o şekilde. Yapıcı matematik uygulamaları , temel matematik ve bilgisayar bilimlerinde dikkate değer konular olan lambda hesabı , topos teorisi ve kategorik mantıkta da bulunmuştur . Cebirde, topoi ve Hopf cebiri gibi varlıklar için yapı, yapıcı bir teori olan bir iç dili destekler ; bu dilin kısıtlamaları içinde çalışmak, olası somut cebirler ve bunların homomorfizmaları hakkında akıl yürütme gibi araçlarla harici olarak çalışmaktan genellikle daha sezgisel ve esnektir .

Fizikçi Lee Smolin , Three Roads to Quantum Gravity'de topos teorisinin "kozmoloji için doğru mantık biçimi" (sayfa 30) ve "İlk biçimlerinde buna 'sezgisel mantık' deniyordu" (sayfa 31) olduğunu yazıyor . "Bu tür bir mantıkta, bir gözlemcinin evren hakkında yapabileceği ifadeler en az üç gruba ayrılır: doğru olduğuna karar verebildiğimiz, yanlış olduğuna hükmedebileceğimiz ve doğruluğuna hemen karar veremediğimiz. şimdiki zaman" (sayfa 28).

Yapılandırmacılığa büyük katkılarda bulunan matematikçiler

• Leopold Kronecker (eski yapılandırmacılık, yarı sezgicilik)
• LEJ Brouwer (sezgiciliğin kurucusu)
• AA Markov (Rus yapılandırmacılık okulunun atası)
• Arend Heyting (resmileştirilmiş sezgisel mantık ve teoriler)
• Per Martin-Löf (yapıcı tip teorilerinin kurucusu)
• Errett Bishop (klasik matematikle tutarlı olduğu iddia edilen yapılandırmacılığın bir versiyonunu teşvik etti)
• Paul Lorenzen (geliştirilmiş yapıcı analiz)

Şubeler

• yapıcı mantık
• Yapıcı tip teorisi
• Yapıcı analiz
• Yapıcı standart dışı analiz

Ayrıca bakınız

• Hesaplanabilirlik teorisi  - Matematiksel mantığın dalı, bilgisayar bilimi ve hesaplanabilir fonksiyonları ve Turing derecelerini inceleyen hesaplama teorisi
• yapıcı kanıt
• Finitizm  – Yalnızca sonlu matematiksel nesnelerin varlığını kabul eden matematik felsefesi
• Oyun semantiği
• Yerleşik küme  – Yapıcı matematikte bir tür küme
• Sezgicilik  – matematik ve mantık felsefesinde yaklaşım
• Sezgisel tip teorisi  – Matematiğin alternatif temeli
• Finitist küme teorisi

Notlar

Referanslar

• Solomon Feferman (1997), Yapıcı, Tahmine Dayalı ve Klasik Analiz Sistemleri Arasındaki İlişkiler , http://math.stanford.edu/~feferman/papers/relationships.pdf .
• AS Troelstra (1977a), "Yapıcı matematiğin yönleri", Handbook of Mathematical Logic , s. 973–1052.
• AS Troelstra (1977b), Seçim dizileri , Oxford Mantık Kılavuzları. ISBN  0-19-853163-X
• AS Troelstra (1991), "A History of Constructivism in the 20th Century", Amsterdam Üniversitesi, ITLI Prepublication Series ML-91-05, https://web.archive.org/web/20060209210015/http://staff. bilim.uva.nl/~anne/hhhist.pdf ,
• HM Edwards (2005), Yapıcı Matematikte Denemeler , Springer-Verlag, 2005, ISBN  0-387-21978-1
• Douglas Bridges , Fred Richman , "Yapıcı Matematik Çeşitleri", 1987.
• Michael J. Beeson , "Yapıcı matematiğin temelleri: metamatematiksel çalışmalar", 1985.
• Anne Sjerp Troelstra , Dirk van Dalen , "Matematikte Yapılandırmacılık: Bir Giriş, Cilt 1", 1988
• Anne Sjerp Troelstra , Dirk van Dalen , "Matematikte Yapılandırmacılık: Bir Giriş, Cilt 2", 1988

Dış bağlantılar

• "Yapıcı Matematik" . İnternet Felsefe Ansiklopedisi .
• Stanford Felsefe Ansiklopedisi girişi