Konik yüzey - Conical surface

Dairesel konik bir yüzey

İn geometrisi , bir ( genel ) konik yüzey sınırlandırılmamış olan yüzey bütün düz birleşmesinden oluşan hatları - sabit bir noktaya geçen tepe noktası veya tepe noktası - ve bazı sabit herhangi bir noktasında yer eğrisi - doğrultman - içermez apeks. Bu çizgilerin her birine yüzeyin bir generatrisi denir .

Her konik yüzey olduğu hüküm ve geliştirilebilir . Genel olarak, konik bir yüzey, apeks tarafından birleştirilen iki uyumlu sınırsız yarıdan oluşur. Her yarıya nap denir ve tepe noktasından başlayıp sabit bir uzay eğrisinin bir noktasından geçen tüm ışınların birleşimidir . (Bazı durumlarda, iki nap kesişebilir, hatta tüm yüzeyle çakışabilir.) Bazen "konik yüzey" terimi sadece bir nap anlamında kullanılır.

Doğrultucu bir daire ise ve tepe noktası dairenin ekseninde (merkezini içeren ve düzlemine dik olan çizgi ) yer alıyorsa, sağ dairesel konik yüzey elde edilir . Bu özel duruma genellikle koni denir , çünkü bu, aynı adı taşıyan geometrik katıyı bağlayan iki farklı yüzeyden biridir. Bu geometrik nesne, ekseni kesen ve onun etrafında dönen bir çizgi tarafından süpürülen tüm noktaların kümesi olarak da tanımlanabilir ; veya ekseni sabit bir noktada ve sabit bir açıyla kesen tüm doğruların birleşimi . Açıklık koni açısı . ${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili\teta }$${\görüntüleme stili 2\teta }$

Daha genel olarak, directrix bir elips veya herhangi bir konik bölüm olduğunda ve apeks, düzlem üzerinde olmayan keyfi bir nokta olduğunda , bir eliptik koni veya konik bir kuadrik elde edilir , bu, bir kuadrik yüzeyin özel bir durumudur . ${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili C}$

Bir silindirik yüzeyi bir şekilde izlenebilir sınırlayıcı durumda tepe belirli bir yönde sonsuzluğa doğru uzağa hareket konik yüzeyin. Aslında, projektif geometride silindirik bir yüzey, konik bir yüzeyin sadece özel bir durumudur.

denklemler

Konik bir yüzey parametrik olarak şu şekilde tanımlanabilir:${\görüntüleme stili S}$

${\görüntüleme stili S(t,u)=v+uq(t)}$,

apeks nerede ve directrix nerede . ${\görüntüleme stili v}$${\görüntüleme stili q}$

Ekseni koordinat ekseni ve tepe noktası orijin olan bir dik dairesel konik delik yüzeyi, parametrik olarak şu şekilde tanımlanır: ${\görüntüleme stili 2\teta }$${\görüntüleme stili z}$

${\displaystyle S(t,u)=(u\sin \theta \cos t,u\sin \theta \sin t,u\cos \theta )}$

nerede ve aralık üzerinde ve sırasıyla. Olarak kapalı biçimde, aynı yüzey ile tarif edilir burada ${\görüntüleme stili t}$${\görüntüleme stili u}$${\görüntüleme stili [0,2\pi )}$${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$${\görüntüleme stili S(x,y,z)=0}$

${\displaystyle S(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2 }.}$

Daha genel olarak, orijinde tepe noktası ile bir dik dairesel konik yüzey, vektör paralel eksen , ve diyafram , kapalı verilir vektör denklemi yerde ${\displaystyle \mathbf {d} }$${\görüntüleme stili 2\teta }$${\displaystyle S(\mathbf {x} )=0}$

${\displaystyle S(\mathbf {x} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {d} )^{2}-(\mathbf {d} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {x } \cdot \mathbf {x} )(\cos \theta )^{2}}$

veya

${\displaystyle S(\mathbf {x} )=\mathbf {x} \cdot \mathbf {d} -|\mathbf {d} ||\mathbf {x} |\cos \theta}$

nerede , ve nokta çarpımı belirtir . ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)}$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {d} }$

Üç koordinatta, x, y ve z, orijinde apeks olan, eliptik bir doğrultuya sahip konik bir yüzey, bu homojen 2. derece denklem tarafından verilir:

${\displaystyle S(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+2uxy+2vyz+2wzx=0.}$

Ayrıca bakınız

• Konik kesit
• Geliştirilebilir yüzey
• kuadrik
• kurallı yüzey