Tersinin karışıklığı - Confusion of the inverse

Ters arasında karışıklık olarak da adlandırılan şartlı olasılık yanlış veya ters yanlış , a, mantıksal yanlış bir bunun üzerine şartlı olasılık ve tersi de eşitlenmektedir; yani, iki A ve B olayı verildiğinde, B'nin gerçekleştiğine göre A'nın olma olasılığının , aslında bu varsayım için hiçbir kanıt olmadığında, A verilen B'nin olasılığı ile yaklaşık olarak aynı olduğu varsayılır. Daha resmi olarak, P ( A | B ) 'nin yaklaşık olarak P ( B | A ) değerine eşit olduğu varsayılır .

Örnekler

örnek 1

göreli boyut	kötü huylu	iyi huylu	Toplam
Test pozitif	0,8 (gerçek pozitif)	9.9 (yanlış pozitif)	10.7
Negatif test	0.2 (yanlış negatif)	89.1 (gerçek negatif)	89.3
Toplam	1	99	100

Bir çalışmada, doktorlardan, malignite olasılığını %1 önceden ortaya çıkma olasılığı ile vermeleri istendi . Bir test malignitelerin %80'ini tespit edebilir ve %10 yanlış pozitiflik oranına sahiptir. Pozitif bir test sonucu verildiğinde malignite olasılığı nedir? 100 doktordan yaklaşık 95'i, görünüşe göre doktorlar, pozitif bir test sonucu verilen malignite şansının, malignite verilen pozitif bir test sonucu şansı ile yaklaşık olarak aynı olduğuna inandıkları için, malignite olasılığı yaklaşık %75 olacaktır.

Yukarıda belirtildiği gibi pozitif bir test sonucu verilen doğru malignite olasılığı, Bayes teoremi ile elde edilen % 7,5'tir :

${\displaystyle {\begin{hizalı}&{}\qquad P({\text{malign}}|{\text{pozitif}})\\[8pt]&={\frac {P({\text{pozitif) }}|{\text{malign}})P({\text{malign}})}{P({\text{pozitif}}|{\text{malign}})P({\text{malign}} )+P({\text{pozitif}}|{\text{iyi huylu}})P({\text{iyi huylu}})}}\\[8pt]&={\frac {(0,80\cdot 0.01)} {(0.80\cdot 0.01)+(0.10\cdot 0.99)}}=0.075\end{hizalı}}}$

Diğer karışıklık örnekleri şunları içerir:

• Sert uyuşturucu kullanıcıları esrar kullanma eğilimindedir ; bu nedenle, esrar kullanıcıları ağır uyuşturucuları kullanma eğilimindedir (birinci olasılık, ağır uyuşturucu kullanımı nedeniyle esrar kullanımı, ikincisi, esrar kullanımı nedeniyle ağır uyuşturucu kullanımıdır).
• Çoğu kaza evden 25 mil uzakta meydana gelir; bu nedenle, evden uzakta olduğunuzda en güvende olursunuz.
• Teröristler mühendislik geçmişine sahip olma eğilimindedir; yani mühendislerin terörizme eğilimi var.

Koşullu olasılıktaki diğer hatalar için Monty Hall sorununa ve temel oran hatasına bakın . Yasadışı dönüşümle karşılaştırın .

Örnek 2

Göreceli boyut (%)	hasta	İyi	Toplam
Test pozitif	0,99 (gerçek pozitif)	0,99 (yanlış pozitif)	1.98
Negatif test	0,01 (yanlış negatif)	98.01 (gerçek negatif)	98.02
Toplam	1	99	100

Ciddi bir hastalığı olan bireyleri erken tedavi edilebilir bir biçimde belirlemek için geniş bir grup insanı taramayı düşünebiliriz. Yararları açık olsa da, bu tür taramalara karşı bir argüman, yanlış pozitif tarama sonuçlarının neden olduğu rahatsızlıktır: Hastalığı olmayan bir kişinin ilk testte yanlış bir şekilde hastalığa sahip olduğu tespit edilirse, büyük olasılıkla sıkıntı yaşayacaktır ve hatta daha sonra daha dikkatli bir test yaptırır ve iyi oldukları söylenirse, yaşamları yine de olumsuz etkilenebilir. Hastalık için gereksiz tedaviyi üstlenirlerse tedavinin yan etkilerinden ve maliyetlerinden zarar görebilirler.

Bu sorunun büyüklüğü en iyi koşullu olasılıklar açısından anlaşılır.

Grubun %1'inin hastalıktan muzdarip olduğunu ve geri kalanının iyi olduğunu varsayalım. Rastgele bir birey seçme,

${\displaystyle P({\text{ill}})=1\%=0.01{\text{ ve }}P({\text{well}})=99\%=0.99.}$

Hastalığı olmayan bir kişiye tarama testi uygulandığında, yanlış pozitif sonuç alma şansının %1 (ve dolayısıyla , testin özgüllüğü olarak bilinen bir sayı olan gerçek bir negatif sonuç alma şansının %99) olduğunu varsayalım. ), yani

${\displaystyle P({\text{pozitif}}|{\text{kuyu}})=1\%,{\text{ ve }}P({\text{negatif}}|{\text{kuyu}} )=99\%.}$

Son olarak, hastalığı olan bir kişiye test uygulandığında, %1'lik bir yanlış negatif sonuç (ve testin duyarlılığı olarak bilinen gerçek pozitif sonuç alma şansı %99) olduğunu varsayalım.

${\displaystyle P({\text{negatif}}|{\text{ill}})=1\%{\text{ ve }}P({\text{pozitif}}|{\text{ill}}) =$

hesaplamalar

Tüm grupta iyi olan ve testi negatif (gerçek negatif) olan bireylerin oranı:

${\displaystyle P({\text{kuyu}}\cap {\text{negatif}})=P({\text{kuyu}})\times P({\text{negatif}}|{\text{kuyu) }})=99\%\times 99\%=98.01\%.}$

Tüm grupta hasta olan ve testi pozitif (gerçek pozitif) olan bireylerin oranı:

${\displaystyle P({\text{ill}}\cap {\text{pozitif}})=P({\text{ill}})\times P({\text{pozitif}}|{\text{hasta }})=1\%\times 99\%=0.99\%.}$

Tüm grupta yanlış pozitif sonuçlara sahip bireylerin oranı:

${\displaystyle P({\text{kuyu}}\cap {\text{pozitif}})=P({\text{kuyu}})\times P({\text{pozitif}}|{\text{iyi }})=99\%\times 1\%=0.99\%.}$

Tüm grupta yanlış negatif sonuçlara sahip bireylerin oranı:

${\displaystyle P({\text{hasta}}\cap {\text{negatif}})=P({\text{hat}})\times P({\text{negatif}}|{\text{hasta }})=1\%\times 1\%=0.01\%.}$

Ayrıca, tüm grupta testi pozitif çıkan bireylerin oranı:

${\displaystyle {\begin{hizalı}P({\text{pozitif}})&{}=P({\text{iyi }}\cap {\text{ pozitif}})+P({\text{hasta }}\cap {\text{pozitif}})\\&{}=0.99\%+0.99\%=1.98\%.\end{hizalı}}}$

Son olarak, test sonucunun pozitif olduğu göz önüne alındığında, bir bireyin gerçekten hastalığa sahip olma olasılığı:

${\displaystyle P({\text{ill}}|{\text{pozitif}})={\frac {P({\text{ill}}\cap {\text{pozitif}})}{P({ \text{pozitif}})}}={\frac {0,99\%}{1,98\%}}=50\%.}$

Sonuç

Bu örnekte, varsayılan olasılıklar %99 olan P (pozitif | kötü) koşullu olasılıkları ile % 50 olan P (hasta | pozitif) arasındaki farkla ilişkilendirmek kolay olmalıdır : ilk olasılık şudur: hastalık testi pozitif olan bir kişi; ikincisi, testi pozitif çıkan bir kişinin gerçekten hastalığa sahip olma olasılığıdır. Bu nedenle, bu örnekte seçilen olasılıklarla, kabaca aynı sayıda kişi, yanlış pozitiflerden rahatsız olanlarla erken tedavinin yararlarını alır; bu olumlu ve olumsuz etkiler, daha sonra taramanın yapılıp yapılmayacağına veya mümkünse yanlış pozitiflerin sayısını azaltmak için test kriterlerini ayarlayıp düzenlemeyeceğine (muhtemelen daha fazla yanlış negatifin pahasına) karar verirken dikkate alınabilir.

Ayrıca bakınız

• Converse (mantık)
• Savcının yanılgısı

Notlar

Referanslar

• Villejoubert, Gaëlle; Mandel, David (2002). "Ters yanılgı: Bayes Teoremi ve toplamsallık ilkesinden sapmaların bir açıklaması" . Bellek ve Biliş . 30 (5): 171–178. doi : 10.3758/BF03195278 . PMID  12035879 .
• Eddy, David M. (1982). Klinik tıpta olasılıksal akıl yürütme: Sorunlar ve fırsatlar. İçinde D Kahneman , S. Slovic ve A. Tversky (eds.) Belirsizlik altında yargı: Keşifsel ve önyargılar (s 249-267.). New York: Cambridge University Press.
• Hastie, Reid ; Robyn Dawes (2001). Belirsiz Bir Dünyada Rasyonel Seçim . ISBN'si 978-0-7619-2275-9.
• Plous, Scott (1993). Yargılama ve Karar Verme Psikolojisi . ISBN'si 978-0-07-050477-6.