Eşit kürelerin yakın paketlenmesi - Close-packing of equal spheres

Hem HCP (sol) hem de FCC (sağ) kafeslerde eşit kürelerin yakın paketlenmesini gösteren çizim

İn geometrisi , eşit yakın paketleme küreler sonsuz kongruent alanlarda yoğun bir düzenlemesi, normal düzenleme (veya kafes ). Carl Friedrich Gauss , bir kafes dolgu ile elde edilebilecek en yüksek ortalama yoğunluğun - yani, kürelerin kapladığı alanın en büyük kesrinin - olduğunu kanıtladı.

${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\yaklaşık 0.74048}$.

Aynı paketleme yoğunluğu , istifleme yönünde periyodik olmayan yapılar da dahil olmak üzere, aynı sıkı paketlenmiş küre düzlemlerinin alternatif istiflenmesiyle de elde edilebilir. Kepler varsayım bu düzenli veya düzensiz ya küreler, herhangi bir düzenleme ile elde edilebilecek en yüksek yoğunluğunun olduğu devletler. Bu varsayım TC Hales tarafından kanıtlanmıştır . En yüksek yoğunluk sadece 1, 2, 3, 8 ve 24 boyutlarında bilinir.

Birçok kristal yapı, tek bir tür atomun yakın paketlenmesine veya aralarındaki boşlukları dolduran daha küçük iyonlarla büyük iyonların yakın paketlenmesine dayanır. Kübik ve altıgen düzenlemeler enerji olarak birbirine çok yakındır ve ilk prensiplerden hangi formun tercih edileceğini tahmin etmek zor olabilir.

FCC ve HCP kafesleri

4 katlı eksen yönünde görülen FCC düzenlemesi

FCC		sağlık uzmanı
FCC düzenlemesi, iki farklı düzlemde, kare veya üçgen de yönlendirilebilir. Bunlar, bir merkezi küre etrafındaki 12 komşu kürenin pozisyonlarını temsil eden 12 köşeli küboctahedronda görülebilir . HCP düzeneği üçgen yönde görüldüğü edilebilir, ancak dönüşümlü bir de küre iki pozisyonda üçgen orthobicupola düzeneği.

Bu en yüksek ortalama yoğunluğu elde eden iki basit düzenli kafes vardır. Bunlar denir yüzey merkezli kübik ( FCC ) (aynı zamanda kübik paketlenmiş yakın ) ve altıgen sıkı paket ( HCP kendi göre) simetri . Her ikisi de üçgen bir döşemenin köşelerinde düzenlenmiş küre tabakalarına dayanmaktadır; tabakaların birbiri üzerine nasıl istiflendiğine göre farklılık gösterirler. FCC kafesi, matematikçiler tarafından A ₃ kök sistemi tarafından oluşturulan olarak da bilinir .

top mermisi sorunu

Her ikisi de FCC kafesleri olan üçgen (ön) ve dikdörtgen (arka) bir taban üzerine yığılmış gülleler.

Kürelerin yakın paketlenmesi sorunu, ilk olarak Thomas Harriot tarafından 1587 civarında, Amerika'ya yaptıkları sefer sırasında Sir Walter Raleigh tarafından gemilere top mermilerinin yığılmasıyla ilgili bir soru sorulduktan sonra matematiksel olarak analiz edildi . Top gülleleri genellikle dikdörtgen veya üçgen ahşap bir çerçeve içine yığılarak üç kenarlı veya dört kenarlı bir piramit oluştururdu. Her iki düzenleme de, zemine farklı yönelime sahip, yüz merkezli bir kübik kafes oluşturur. Altıgen sıkı paketleme, altıgen bir tabana sahip altı kenarlı bir piramit ile sonuçlanacaktır.

Kartopu savaşı için hazırlık olarak yığılmış kartopları . Ön piramit altıgen sıkı paketlenmiştir ve arka yüz merkezli kübiktir.

Gülle sorun toplarından Düz kare düzenlemeler kare piramit istiflenebilir sorar. Édouard Lucas şekilde problemi formüle Diofant denklemi veya sadece çözeltilerdir conjectured ve . İşte piramidal istifleme düzenindeki katmanların sayısı ve düz kare düzende bir kenar boyunca top güllelerinin sayısıdır. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}}$${\displaystyle {\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}}$${\görüntüleme stili N=1,M=1,}$${\görüntüleme stili N=24,M=70}$${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili M}$

Konumlandırma ve boşluk

Hem FCC hem de HCP düzenlemelerinde her kürenin on iki komşusu vardır. Her küre için altı küre ( oktahedral ) ile çevrili bir boşluk ve dört küre (tetrahedral) ile çevrili iki daha küçük boşluk vardır. Bu boşlukların merkezlerine çevredeki kürelerin merkezlerinden olan uzaklıklar , küre yarıçapı 1 olduğunda, tetrahedral için √ 3 ⁄ 2 ve oktahedral için √ 2'dir .

A konumlu bir referans katmanına göre, iki B ve C konumlandırması daha mümkündür. A, B ve C'nin her dizisi, aynısının hemen tekrarı olmadan mümkündür ve belirli bir yarıçaptaki küreler için eşit yoğunlukta bir paketleme sağlar.

En düzenli olanlar

• FCC = ABC ABC ABC... (her üçüncü katman aynıdır)
• HCP = AB AB AB AB... (diğer tüm katmanlar aynıdır).

Kristalograf William Barlow'dan sonra bazen topluca "Barlow paketlenmeleri" olarak adlandırılan sayısız düzensiz düzlem düzeni (örn.

Yakın paketlemede, xy düzlemindeki kürelerin merkezden merkeze aralığı , bir küre çapında bir adıma (küre merkezleri arasındaki mesafe) sahip basit bir petek benzeri mozaiktir. z (dikey) ekseninde yansıtılan küre merkezleri arasındaki mesafe :

${\displaystyle {\text{perde}}_{Z}={\sqrt {6}}\cdot {d \üzerinde 3}\yaklaşık 0,816\,496\,58d,}$

burada d bir kürenin çapıdır; bu, sıkı paketlenmiş kürelerin tetrahedral düzenlemesinden kaynaklanmaktadır.

Koordinasyon sayısı HCP ve FCC 12'dir ve atomik dolgu faktörleri (APFs) 0.74, yukarıda belirtilen sayısına eşittir.

HCP ve FCC karşılaştırması
Şekil 1 – HCP kafesi (solda) ve FCC kafesi (sağda). Her bir Bravais kafesinin ana hatları kırmızı ile gösterilmiştir. Harfler hangi katmanların aynı olduğunu gösterir. HCP matrisinde tüm kürelerin aynı konumda olduğu iki "A" katmanı vardır. FCC yığınındaki üç katmanın tümü farklıdır. FCC yığınlamasının, kesikli çerçeveyle gösterildiği gibi en üstteki kürenin çevrilmesiyle HCP yığınına dönüştürülebileceğini unutmayın.

Şekil 2 – Burada gösterilen, Şekil 1'de gösterilen HCP kafesinin on bir küresinden oluşan bir yığındır . HCP yığını, Şekil 3'te gösterilen FCC yığınının ilk 3 katmanından yalnızca en düşük katmanda farklıdır ; uygun bir döndürme veya öteleme ile FCC'ye değiştirilebilir.	Şekil 3 – Thomas Harriot , yaklaşık 1585, ilk olarak bir FCC kafesine sahip top mermisi düzenlemesi veya top mermisi yığınının matematiğini düşündü . Yığını çevreleyen düzenli dörtyüzlülerin her bir kenarı boyunca bitişik topların nasıl doğrudan temas halinde olduğuna dikkat edin. Bu, Şekil 2'de gösterildiği gibi bir HCP kafesinde meydana gelmez .

kafes üretimi

Herhangi bir küre-paketleme kafesi oluştururken, dikkat edilmesi gereken ilk gerçek, iki küre temas ettiğinde, bir kürenin merkezinden diğerinin merkezine temas noktasını kesen düz bir çizgi çizilebileceğidir. En kısa yol boyunca merkezler arasındaki mesafe, yani bu düz çizgi bu nedenle r ₁  +  r _{2 olacaktır,} burada r ₁ birinci kürenin yarıçapıdır ve r ₂ ikinci kürenin yarıçapıdır. Yakın paketlemede tüm küreler ortak bir yarıçapı paylaşır, r . Bu nedenle iki merkez sadece 2 r uzaklığına sahip olacaktır .

Basit HCP kafesi

Yakın paket kafes oluşturma animasyonu. Not: Üçüncü bir katman (gösterilmemiştir) doğrudan birinci katmanın üzerindeyse, HCP kafesi oluşturulur. Üçüncü katman, birinci katmandaki deliklerin üzerine yerleştirilirse, FCC kafesi oluşturulur.

ABAB-... altıgen yakın küre dizilimi oluşturmak için, kafesin koordinat noktaları kürelerin merkezleri olacaktır. Diyelim ki amaç, HCP'ye göre bir kutuyu kürelerle doldurmak. Kutu x - y - z koordinat uzayına yerleştirilecektir .

Önce bir sıra küre oluşturun. Merkezlerin hepsi düz bir çizgi üzerinde uzanacak. Bunların x -coordinate 2 göre değişir r 2 küreler, her merkezi arasındaki mesafe dokunmadan çünkü bir r . Y -coordinate ve aynı olacaktır Z koordinatı. Basitlik için, topların ilk sıra olduğunu ve y - ve z - koordinatlarının basitçe r olduğunu , böylece yüzeylerinin sıfır düzleminde olduğunu söyleyin . İlk satırın merkezlerinin koordinatları şöyle görünecektir (2 r ,  r ,  r ), (4 r ,  r ,  r ), (6 r  , r ,  r ), (8 r  , r ,  r ), ... .

Şimdi, bir sonraki küre sırasını oluşturun. Yine, merkezlerin tümü 2 r x koordinat farkıyla düz bir çizgi üzerinde uzanacak , ancak x yönünde bir r mesafesi kayması olacak , böylece bu sıradaki her kürenin merkezi x koordinatıyla aynı hizada olacak. ilk sırada iki kürenin temas ettiği yer. Bu, yeni sıranın kürelerinin, yeni sıradaki tüm küreler ilk sıranın iki küresine değene kadar ilk sıraya daha yakın kaymasına izin verir. Yeni küreler iki küreye temas ettiğinden, merkezleri bu iki komşunun merkezleriyle bir eşkenar üçgen oluşturur. Kenar uzunluklarının tümü 2 r , dolayısıyla sıralar arasındaki yükseklik veya y koordinatı farkı √ 3 r . Böylece, bu satırın koordinatları şöyle olacaktır:

${\displaystyle \left(r,r+{\sqrt {3}}r,r\sağ),\ \left(3r,r+{\sqrt {3}}r,r\sağ),\ \left(5r, r+{\sqrt {3}}r,r\sağ),\ \left(7r,r+{\sqrt {3}}r,r\sağ),\dots .}$

Bu satırın ilk küresi, orijinal satırda yalnızca bir küreye dokunur, ancak konumu, satırın geri kalanına uygundur.

Sonraki satır, x koordinatını r ve y koordinatını √ 3 kaydırmanın bu modelini takip eder . Kutunun maksimum x ve y sınırlarına ulaşana kadar satır ekleyin .

Bir ABAB-... istifleme modelinde, tek numaralı küre düzlemleri , z- koordinatlarındaki bir adım farkı dışında tamamen aynı koordinatlara sahip olacak ve çift numaralı küre düzlemleri aynı x ve y- koordinatlarını paylaşacaktır . Her iki düzlem türü de yukarıda belirtilen model kullanılarak oluşturulur, ancak ilk satırın ilk küresi için başlangıç ​​yeri farklı olacaktır.

Yukarıda tam olarak 1 numaralı düzlem olan A düzlemi olarak tanımlanan düzlemi kullanarak, A düzleminde üç küreye temas edecek şekilde bu düzlemin üzerine bir küre yerleştirin. Üç kürenin hepsi zaten birbirine değiyor, bir eşkenar üçgen oluşturuyor ve hepsi yeni küreye değdikleri için dört merkez düzenli bir dörtyüzlü oluşturuyor . Kenarların tümü birbirine değen iki küre tarafından oluşturulduğu için tüm kenarlar 2 r'ye eşittir . İki "düzlem" arasındaki yükseklik veya z- koordinat farkı,√ 6 r 2/3. Bu, x ve y koordinatlarındaki ofsetlerle birleştiğinde , B düzlemindeki ilk satırın merkezlerini verir:

${\displaystyle \left(r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\sağ),\ \left(3r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\sağ),\ \left( 5r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\sağ),\ \left(7r,r+ {\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\sağ),\dots .}$

İkinci satırın koordinatları, yukarıda açıklanan modeli takip eder ve şunlardır:

${\displaystyle \left(2r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\sağ), \ \left(4r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\sağ),\ \ sol(6r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\sağ),\ \left( 8r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\sağ),\dots .}$

Bir sonraki düzlem olan A düzlemi ile olan fark yine √ 6 r 2/3içinde Z doğrultusu ve bir kayma x ve y uyacak biçimde x - ve y önce Bir düzlemin -coordinates.

Genel olarak, küre merkezlerinin koordinatları şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2i+((j\ +\ k){\bmod {2}})\\{\sqrt {3}}\left[j+{\frac {1}{3}}( k{\bmod {2}})\sağ]\\{\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}k\end{bmatrix}}r}$

burada i , j ve k , x -, y - ve z - koordinatları için 0'dan başlayan indekslerdir .

Miller endeksleri

HCP kafesi için Miller-Bravais endeksi

Bu gibi vektörleri ve atomik düzlem aileleri olarak HCP sistemlerinin kristalografik özellikleri, dört değeri kullanılarak tanımlanabilir Miller indisli gösterimini ( hkil üçüncü göstergesi olduğu) I - eşit olan bir uygun ama dejenere bileşeni belirtmektedir h  -  k . H , i ve k endeksi tarifi ° 120 ile ayrılır ve böylece ortogonal değildir; l bileşeni karşılıklı dik h , i ve k endeksi tarifi.

Kalan boşluğu doldurma

FCC ve HCP dolguları, en yüksek simetriye (en küçük tekrar birimleri) sahip eşit kürelerin bilinen en yoğun dolgularıdır. Daha yoğun küre dolguları bilinmektedir, ancak bunlar eşit olmayan küre dolgusunu içerir . Boşluğu tamamen dolduran 1'lik bir paketleme yoğunluğu, petekler gibi küresel olmayan şekiller gerektirir .

İki küre arasındaki her temas noktasının, birbirine değen kürelerin merkezlerini birleştiren bir kenarla değiştirilmesi, eşit kenar uzunluklarında tetrahedronlar ve oktahedronlar üretir. FCC düzenlemesi, tetrahedral-oktahedral petek üretir . HCP düzenlemesi, döner dört yüzlü-oktahedral petek üretir . :, Bunun yerine, her küre kendisine yakın herhangi bir başka alana göre olan alan noktalar ile takviye edilmektedir, bu petekler dualleri üretilir eşkenar dodecahedral petek FCC ve trapezo-eşkenar dodecahedral petek HCP için.

Bir FCC veya HCP düzenlemesinde sabunlu suda, kabarcıklar arasındaki boşluklardaki su boşaldığında küresel kabarcıklar görünür. Bu model aynı zamanda eşkenar dörtgen on iki yüzlü petek veya yamuk eşkenar dörtgen on iki yüzlü peteğe de yaklaşır . Bununla birlikte, çok küçük sıvı içeriğine sahip bu tür FCC veya HCP köpükleri, Plateau yasalarını karşılamadıkları için kararsızdır . Kelvin köpük ve Weaire-Phelan köpük çok küçük sıvı içeriğin limiti küçük ara yüzey enerjiye sahip, daha stabildir.

Ayrıca bakınız

• Kübik kristal sistemi
• Hermit sabiti
• Rastgele yakın paket
• Küre paketleme
• Silindir küre ambalajı

Notlar

Dış bağlantılar

• P. Krishna & D. Pandey, "Yakın Paket Yapılar" Uluslararası Kristalografi Birliği, University College Cardiff Press tarafından. Cardiff, Galler PDF