Brahmagupta - Brahmagupta

Brahmagupta
Brahmagupta
Doğmak	C. 598 CE
Öldü	C. 668 CE (yaklaşık 59-60 yaş arası)
Bilinen
	Bilimsel kariyer
Alanlar	astronomi , matematik
Etkilenen	Hemen hemen tüm sonraki matematik, özellikle Hint ve İslam matematiği

Brahmagupta ( c. 598 – c. 668 CE ) Hintli bir matematikçi ve astronomdu . O iki erken eserlerin yazarı matematik ve astronomi : Brāhmasphuṭasiddhānta ( "doğru kurulan BSS doktrini içinde Brahma " tarihli 628), teorik bir tez ve Khaṇḍakhādyaka ( "yenilebilir ısırık" tarihli 665) daha pratik Metin.

Brahmagupta, sıfır ile hesaplamak için kurallar veren ilk kişiydi . Brahmagupta tarafından bestelenen metinler , Hint matematiğinde yaygın bir uygulama olduğu gibi, Sanskritçe'de elips şeklindeydi . Kanıt verilmediği için Brahmagupta'nın sonuçlarının nasıl elde edildiği bilinmiyor.

yaşam ve kariyer

Brahmagupta, kendi ifadesine göre MS 598'de doğdu. O yaşamış Bhillamāla içinde Gurjaradesa (modern Bhinmal içinde Rajasthan döneminde, Hindistan) Chavda hanedanı cetvel, Vyagrahamukha . Jishnugupta'nın oğluydu ve dine göre bir Hindu, özellikle bir Shaivite idi . Hayatının büyük bir bölümünde orada yaşadı ve çalıştı. Daha sonraki bir yorumcu olan Prithudaka Svamin , ona Bhillamala'dan öğretmen Bhillamalacharya adını verdi .

Bhillamala, günümüz Hindistan'ında güney Rajasthan ve kuzey Gujarat'tan oluşan Batı Hindistan'ın ikinci en büyük krallığı olan Gurjaradesa'nın başkentiydi . Aynı zamanda matematik ve astronomi için bir öğrenme merkeziydi. Brahmagupta, bu dönemde Hint astronomisinin dört büyük okulundan biri olan Brahmapaksha okulunun bir astronomu oldu . Hint astronomisi üzerine beş geleneksel Siddhantas'ın yanı sıra Aryabhata I , Latadeva, Pradyumna , Varahamihira , Simha, Srisena, Vijayanandin ve Vishnuchandra gibi diğer gökbilimcilerin çalışmalarını inceledi.

628 yılında, 30 yaşındayken , Brahmapaksha astronomi okulundan alınan Siddhanta'nın gözden geçirilmiş bir versiyonu olduğuna inanılan Brāhmasphuṭasiddhānta'yı ("Brahma'nın geliştirilmiş incelemesi") besteledi . Akademisyenler, onun revizyonuna büyük ölçüde özgünlük kattığını ve hatırı sayılır miktarda yeni malzeme eklediğini belirtiyorlar. Kitap, arya ölçüsünde 1008 beyit ile 24 bölümden oluşmaktadır . Bunun büyük bir kısmı astronomidir, ancak aynı zamanda Brahmagupta'nın kendisinden dolayı yeni anlayışlar içerdiğine inanılan cebir, geometri, trigonometri ve algoritmik dahil olmak üzere matematikle ilgili önemli bölümleri de içerir.

Daha sonra Brahmagupta taşındı Ujjaini , Avanti'nin ayrıca merkezi Hindistan'da astronomi için önemli bir merkez oldu. 67 yaşında, öğrenciler tarafından kullanılması amaçlanan karana kategorisinde Hint astronomisinin pratik bir el kitabı olan bir sonraki tanınmış çalışması Khanda-khādyaka'yı besteledi .

Brahmagupta MS 668'de öldü ve Ujjain'de öldüğü tahmin ediliyor.

İşler

Brahmagupta aşağıdaki risaleleri besteledi:

Brāhmasphuṭasiddhānta , MS 628'de bestelendi.
Khaṇḍakhādyaka , MS 665'te bestelendi.
Grahaṇārkajñāna , (bir el yazmasında atfedilmiştir)

Resepsiyon

Brahmagupta'nın matematiksel ilerlemeleri, Brahmagupta'yı ganaka-çakra-chudamani (matematikçiler çemberinin mücevheri) olarak tanımlayan Ujjain'de soyundan gelen Bhāskara II tarafından daha da ileri götürüldü . Prithudaka Svamin , zor ayetleri daha basit bir dile çevirerek ve illüstrasyonlar ekleyerek, her iki eserine de şerhler yazdı. 8. ve 9. yüzyıllarda Lalla ve Bhattotpala , Khanda-khadyaka hakkında yorumlar yazdılar . Daha fazla şerh 12. yüzyılda yazılmaya devam etti.

Brahmagupta'nın ölümünden birkaç on yıl sonra Sindh , MS 712'de Arap Halifeliği'ne girdi. Expeditions içine gönderilen Gurjaradesa ( " El-Baylaman içinde Jurz Arap tarihçiler göre,"). Bhillamala krallığı yok edilmiş gibi görünüyor ama Ujjain saldırıları geri püskürttü . Halife Al-Mansur'un mahkemesi (754-775), Brahmagupta'nınkiler de dahil olmak üzere (muhtemelen ezberlenmiş) astronomik metinler getiren Kanaka adlı bir astrolog da dahil olmak üzere Sindh'den bir elçilik aldı. Brahmagupta'nın metinleri, Al-Mansur'un sarayında bir astronom olan Muhammed el- Fazari tarafından Sindhind ve Arakhand isimleri altında Arapça'ya çevrildi . Anında sonuç, metinlerde kullanılan ondalık sayı sisteminin yayılmasıydı. Matematikçi Al- Khwarizmi (MS 800-850 ), 13. yüzyılda Algorithmi de numero indorum olarak Latince'ye çevrilen al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind (Hint Aritmetiğinde Toplama ve Çıkarma ) adlı bir metin yazdı. . Bu metinler sayesinde ondalık sayı sistemi ve Brahmagupta'nın aritmetik algoritmaları tüm dünyaya yayıldı. El-Khwarizmi ayrıca Sindhind'in kendi versiyonunu yazdı, Al- Fazari'nin versiyonundan yararlandı ve Ptolemaik unsurları birleştirdi. Hint astronomik materyali, yüzyıllar boyunca geniş çapta dolaştı, hatta ortaçağ Latin metinlerine geçti.

Bilim tarihçisi George Sarton , Brahmagupta'yı "ırkının en büyük bilim adamlarından biri ve zamanının en büyüklerinden biri" olarak adlandırdı.

Matematik

Cebir

Brahmagupta genel bir çözelti verecek şekilde lineer bir denklem bölüm on sekiz içinde Brahmasphuṭasiddhānta ,

Rupalar arasındaki fark , ters çevrildiğinde ve bilinmeyenlerin [katsayılarının] farkına bölündüğünde, denklemdeki bilinmeyendir. Rupas olan kare ve bilinmeyen çıkarılmak üzere olduğu aşağıdaki [tarafında çıkarılır] edilir.

bu, $bx + c = dx + e$ denklemi için bir çözümdür, burada rupalar $c$ ve $e$ sabitlerini ifade eder . Verilen çözüm $x$ $='e$ eşittir $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} e - c/b - d$ . Ayrıca genel ikinci dereceden denkleme iki eşdeğer çözüm verdi.

18.44. Ortadaki [sayı] rupaların karekökünü karenin dört katıyla çarpın ve ortanın [sayı] karesiyle artırın; kalanı karenin iki katına böl. [Sonuç] ortadaki [sayı].
18.45. Rupanın karekökü ne olursa olsun, kareyle çarpı [ve] bilinmeyenin yarısının karesiyle arttı, bilinmeyenin yarısıyla azaldı [ve] [geri kalanı] karesine bölerek. [Sonuç] bilinmeyen.

sırasıyla, $ax 2 + bx = c$ eşdeğeri denkleminin çözümleri olan,

x={\frac {\pm {\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}

ve

x={\frac {\pm {\sqrt {ac+{\tfrac {b^{2}}{4}}}}-{\tfrac {b}{2}}}{a}}

Arzu edilen değişkenin önce izole edilmesi gerektiğini ve ardından denklemin istenen değişkenin katsayısına bölünmesi gerektiğini belirten eşzamanlı belirsiz denklem sistemlerini çözmeye devam etti . Özellikle, birden çok bilinmeyenli denklemleri çözmek için "pulverizer" kullanılmasını önerdi.

18.51. İlk renkten farklı renkleri çıkarın. [Geri kalan] ilk [renk katsayısı] ile bölünür, birincinin ölçüsüdür. [Terimler] ikişer ikişer [vardır] benzer bölenlere [indirgendiğinde], tekrar tekrar [ve böyle devam eder]. Çok sayıda [renk] varsa, pulverizatör [kullanılacaktır].

Bir cebir gibi Diophantus , Brahmagupta cebiri bilinçsiziz edildi. Toplama, sayıların yan yana yerleştirilmesiyle, çıkarma, çıkarılanın üzerine bir nokta konularak ve bölme, bölmenin, bizim gösterimimize benzer şekilde, ancak çubuk olmadan altına yerleştirilmesiyle gösterildi. Çarpma, evrim ve bilinmeyen nicelikler, uygun terimlerin kısaltmalarıyla temsil edildi. Eğer varsa , bu senkop üzerindeki Yunan etkisinin kapsamı bilinmemektedir ve hem Yunan hem de Hint senkopunun ortak bir Babil kaynağından türetilmiş olması mümkündür.

Aritmetik

Dört temel işlem (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) Brahmagupta'dan önce birçok kültür tarafından biliniyordu. Bu mevcut sistem Hindu-Arap rakam sistemine dayanmaktadır ve ilk olarak Brāhmasphuṭasiddhānta'da ortaya çıkmıştır . Brahmagupta çarpma işlemini şu şekilde açıklar:

Çarpan, çarpanda bütünleyici kısımlar olduğu ve bunlarla tekrar tekrar çarpıldığı ve ürünler birbirine eklendiği sıklıkta, sığırlar için bir dize gibi tekrarlanır. Çarpmadır. Veya çarpan, çarpanda bileşen parçaları olduğu kadar tekrarlanır.

Hint aritmetiği, Orta Çağ Avrupa'sında "Kızılderililerin yöntemi" anlamına gelen modus Indorum olarak biliniyordu . Gelen Brāhmasphuṭasiddhānta , çoğalması için dört yöntem de dahil olmak üzere, tarif edilmiş gomūtrikā yakın bugünkü yöntemlerine olduğu söylenir. Brahmagupta "Hesaplama" başlıklı Brāhmasphuṭasiddhānta'nın on ikinci bölümünün başında , Brahmagupta kesirlerle ilgili işlemleri ayrıntılarıyla anlatır . Okuyucunun, bir tamsayının küpünü ve küp-kökünü nasıl bulacağını ve daha sonra kareler ve kareköklerin hesaplanmasını kolaylaştıran kurallar vermesine rağmen, karekök almaya kadar temel aritmetik işlemleri bilmesi beklenir. Daha sonra beş tür kesir kombinasyonuyla başa çıkmak için kurallar verir: $a / C + B / C$ ; $a / C \times B / NS$ ; $a / 1 + B / NS$ ; $a / C + B / NS \times a / C = bir (d + b) / CD$ ; ve $a / C - B / NS \times a / C = bir (d - b) / CD$ .

Dizi

Brahmagupta daha sonra ilk $n$ tamsayının karelerinin ve küplerinin toplamını verir .

12.20. Karelerin toplamı, [toplamın] iki katıyla çarpılmasıdır, [sayı] adım[lar] bir artırılır [ve] üçe bölünür. Küplerin toplamı, bu [toplamın] karesidir. Aynı bilyelere sahip yığınlar [ayrıca hesaplanabilir].

Burada Brahmagupta sonucu , modern uygulamada olduğu gibi $n$ cinsinden değil , ilk $n$ tamsayının toplamı cinsinden buldu .

İlk $n$ doğal sayının karelerinin toplamını şu şekilde verir: $n (n + 1)(2 n + 1) / 6$ ve ilk n doğal sayının küplerinin toplamı $(n (n + 1) / 2) 2$ .

Sıfır

Brahmagupta'nın Brahmasphuṭasiddhānta'sı sıfıra ve negatif sayılara uygulanan aritmetik işlemler için kurallar sağlayan ilk kitaptır . Brāhmasphuṭasiddhānta ziyade tarafından yapıldığı gibi başka bir numara temsil basitçe bir yer tutucu basamak olarak, kendi başına bir sayı olarak tedavi sıfıra bilinen en eski metindir Babilliler tarafından yapıldığı gibi veya miktar eksikliği için bir sembol olarak Batlamyus ve Romalılar . Brahmagupta , Brāhmasphuṭasiddhānta'sının on sekizinci bölümünde , negatif sayılarla ilgili işlemleri açıklar. Önce toplama ve çıkarmayı anlatır,

18.30. İki pozitifin [toplamı] pozitif, iki negatifin negatifi; pozitif ve negatif [toplam] onların farkıdır; eşitse sıfırdır. Negatif ve sıfırın toplamı negatif, pozitif ve sıfır pozitif [bu], iki sıfır sıfır [ve bu].

[...]

18.32. Negatif eksi sıfır negatif, pozitif [eksi sıfır] pozitiftir; sıfır [eksi sıfır] sıfırdır. Negatiften bir pozitif çıkarılacaksa veya pozitiften bir negatif çıkarılacaksa, o zaman eklenmelidir.

Çarpmayı tarif etmeye devam ediyor,

18.33. Negatif ve pozitifin çarpımı negatif, iki negatif pozitif ve pozitif pozitiftir; sıfır ile negatifin, sıfır ile pozitifin veya iki sıfırın çarpımı sıfırdır.

Ancak onun sıfıra bölme tanımı, modern anlayışımızdan farklıdır:

18.34. Pozitif bölü pozitif veya negatif bölü negatif pozitiftir; sıfır bölü sıfır sıfırdır; pozitif bölü negatif negatiftir; negatif bölü pozitif [ayrıca] negatiftir.
18.35. Negatif veya pozitif bölü sıfırın böleni olarak o [sıfır] bulunur veya sıfır bölü negatif veya pozitif [bölen olarak negatif veya pozitif vardır]. Negatifin veya pozitifin karesi pozitiftir; sıfırın [karesi] sıfırdır. [Kare] karesi olan şey [onun] kareköküdür.

Burada Brahmagupta şunu belirtir: 0/0 = 0 ve soruya gelince $a$ /0burada $bir$ ≠ 0 kendini taahhüt etmedi. Negatif sayılar ve sıfır üzerindeki aritmetik kuralları , modern matematikte sıfıra bölmenin tanımsız bırakılması dışında modern anlayışa oldukça yakındır .

diofantin analizi

Pisagor üçüzleri

Brāhmasphuṭasiddhānta'sının on ikinci bölümünde Brahmagupta, Pisagor üçlülerini oluşturmak için yararlı bir formül sunar :

12.39. Belirli bir çarpanla çarpılan bir dağın yüksekliği, bir şehre olan uzaklıktır; silinmez. Çarpanın ikiye bölünmesiyle bölündüğünde, aynı yolculuğu yapan ikisinden birinin sıçramasıdır.

Veya başka bir deyişle, eğer $d = mx / x + 2$ $m$ yüksekliğindeki bir dağın tepesinden $d$ mesafesi kadar dikey olarak yukarıya "sıçrayan" ve daha sonra düz bir çizgide dağın tabanından $mx$ yatay mesafesindeki bir şehre giden bir $yolcu$ , dağdan dikey olarak inen ve ardından yatay olarak şehre giden kişi. Geometrik olarak ifade edildiğinde, bu, eğer bir dik açılı üçgenin tabanı $a$ $=$ $mx$ uzunluğunda ve yüksekliği $b$ $=$ $m$ $+$ $d$ uzunluğundaysa, hipotenüsünün uzunluğu, $c$ , $c$ $=$ $m$ $(1 +$ $x$ $) ile verilir. -$ $d$ . Ve aslında, temel cebirsel işlem, $d'$ nin belirtilen değere sahip olduğu her durumda $a$ $2$ $+$ $b$ $2$ $=$ $c$ $2$ olduğunu gösterir. Ayrıca, $m$ ve $x$ rasyonel ise, $d$ , $a$ , $b$ ve $c$ de rasyoneldir . Bir Pisagor üç nedenle elde edilebilir $bir$ , $b$ ve $c$ ile her biri çarparak en az ortak katı kendi arasında denominators .

Pell denklemi

Brahmagupta , Öklid algoritmasını kullanarak $Nx 2 + 1 = y 2$ ( Pell denklemi olarak adlandırılır ) gibi ikinci dereceden Diophant denklemlerinin belirli örneklerine çözümler üretmek için bir tekrarlama bağıntısı vermeye devam etti . Öklid algoritması, sayıları giderek daha küçük parçalara ayırdığı için "pulverizer" olarak biliniyordu.

Karelerin doğası:
18.64. Belirli bir karenin karekökünün bir çarpanla iki katı ve isteğe bağlı bir [sayı] ile artırılıp azaltılarak [indir]. İlk [çiftin] çarpımı, çarpanla son [çiftin] çarpımı ile çarpılır ve en son hesaplanır.
18.65. Yıldırım ürünlerinin toplamı birincidir. Katkı maddesi, katkı maddelerinin ürününe eşittir. Toplama veya çıkarma ile bölünen iki karekök, toplam rupadır .

Çözümünün anahtarı kimlikti,

(x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2 }+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}

Diophantus tarafından keşfedilen bir kimliğin genelleştirilmiş halidir ,

(x_{1}^{2}-y_{1}^{2})(x_{2}^{2}-y_{2}^{2})=(x_{1}x_{2 }+y_{1}y_{2})^{2}-(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.

Kimliğini ve if $(x 1, y 1)$ ve $(x 2, y 2) 'nin$ sırasıyla $x 2 - Ny 2 = k 1$ ve $x 2 - Ny 2 = k 2$ denklemlerinin çözümleri olduğu gerçeğini kullanarak , o zaman $(x 1 x 2 + Ny 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1)$ için bir çözüm $x 2 - Ny 2 = k 1 k 2$ , o denklemlerin bir dizi Pell denkleme entegre çözüm bulmak mümkün formun $x 2 - Ny 2 = k i$ . Brahmagupta, çözümünü $N'nin$ tüm olası değerleri için düzgün bir şekilde uygulayamadı , bunun yerine yalnızca $x 2 - Ny 2 = k'nin$ $k$ = ±1, ±2 veya ±4 için bir tamsayı çözümüne sahip olduğunu gösterebildi. $x 2 - Ny 2 = 1'in$ bir çözümü var. Genel Pell denkleminin çözümü için beklemek zorunda kalacak Bhaskara II de c. 1150 CE .

Geometri

Brahmagupta'nın formülü

Referans için diyagram

Geometride Brahmagupta en ünlü sonuç onun olduğu formül için döngüsel dörtgenler . Herhangi bir döngüsel dörtgenin kenar uzunlukları göz önüne alındığında, Brahmagupta şeklin alanı için yaklaşık ve kesin bir formül verdi,

12.21. Yaklaşık alan, bir üçgenin ve bir dörtgenin kenarlarının ve karşılıklı kenarlarının toplamının yarısının ürünüdür. Doğru [alan], dörtgenin [her] kenarı tarafından azaltılan kenarların toplamlarının yarısının çarpımından elde edilen kareköktür.

Döngüsel bir dörtgenin $p$ , $q$ , $r$ ve $s$ uzunlukları verildiğinde , yaklaşık alan $p + r / 2 \cdot q + s / 2$ iken, $t = p + q + r + s / 2$ , tam alan

\sqrt (t - p)(t - q)(t - r)(t - s)

.

Brahmagupta bu dörtgenlerin döngüsel olduğunu açıkça belirtmese de, kurallarından durumun böyle olduğu anlaşılmaktadır. Heron formülü bu formülün özel bir halidir ve kenarlardan birinin sıfıra eşitlenmesiyle türetilebilir.

üçgenler

Brahmagupta, çalışmalarının önemli bir bölümünü geometriye adadı. Bir teorem, bir üçgenin tabanının yüksekliğine göre bölündüğü iki parçanın uzunluklarını verir:

12.22. Kenarların kareleri arasındaki farkın tabana bölünmesiyle taban azaldı ve arttı; ikiye bölündüklerinde gerçek segmentlerdir. Dik [rakım], segmentinin karesi tarafından küçültülmüş bir kenarın karesinin kareköküdür.

Böylece iki parçanın uzunlukları $1 / 2 (b \pm c 2 - bir 2 / B)$ .

Ayrıca rasyonel üçgenler hakkında bir teorem verir . Rasyonel kenarları $a$ , $b$ , $c$ ve rasyonel alanı olan bir üçgen şu şekildedir:

a={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{v}}+v\sağ),\ \ b={\frac {1}{2 }}\left({\frac {u^{2}}{w}}+w\sağ),\ \ c={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2 }}{v}}-v+{\frac {u^{2}}{w}}-w\sağ)

bazı rasyonel sayılar için $u$ , $v$ ve $w$ .

Brahmagupta teoremi

Brahmagupta teoremi AF = FD olduğunu belirtir .

Brahmagupta devam ediyor,

12.23. Eşit olmayan bir dörtgenin kenarlarının ve karşılıklı kenarlarının iki ürününün toplamının karekökü köşegendir. Köşegenin karesi, tabanın ve tepenin toplamının yarısının karesiyle küçültülür; karekök dikeydir [rakımlar].

Dolayısıyla, "eşit olmayan" bir döngüsel dörtgende (yani ikizkenar yamuk ), her köşegenin uzunluğu $\sqrt pr + qs'dir$ .

Bir ikizkenar yamuk ve bir skalen dörtgeninin çevre uzunlukları ve bir skalen döngüsel dörtgende köşegenlerin uzunlukları gibi geometrik şekillerin uzunlukları ve alanları için formüller vermeye devam ediyor. Bu, Brahmagupta'nın ünlü teoremine götürür ,

12.30–31. [Döngüsel bir dörtgen] içinde kenarları eşit olmayan iki üçgen görüntülendiğinde, iki köşegen iki tabandır. Bunların iki segmenti ayrı ayrı köşegenlerin kesişme noktasında [oluşturulan] üst ve alt segmentlerdir. İki köşegenin iki [alt segmenti] bir üçgende iki kenardır; taban [dörtgenin tabanı üçgenin tabanıdır]. Dikey, [merkez] dikeyin alt kısmıdır; [merkez] dikmenin üst kısmı, [orta dikmenin] alt kısmı tarafından azaltılan [kenarlar] diklerinin toplamının yarısıdır.

Pi

40. ayette $π$ değerlerini verir ,

12.40. Yarıçapın [her birinin] 3 ile çarpılmasının çapı ve karesi [sırasıyla] pratik çevre ve [bir dairenin] alanıdır. Doğru [değerler], bu ikisinin karelerinin on ile çarpımından elde edilen kareköklerdir.

Brahmagupta bir "pratik" değeri olarak 3 kullanır Böylece $tt$ , ve bir "doğru" değeri olarak $tt$ % 1'den daha az bir hata ile,. ${\sqrt {10}}\yaklaşık 3.1622\ldots$

Ölçümler ve yapılar

40. ayetten önceki bazı ayetlerde Brahmagupta, keyfi yanları olan çeşitli figürlerin yapılarını verir. Esasen ikizkenar üçgenler, skalen üçgenler, dikdörtgenler, ikizkenar yamuklar, üç eşit kenarlı ikizkenar yamuklar ve bir skalen döngüsel dörtgen üretmek için dik üçgenleri manipüle etti.

Pi değerini verdikten sonra, hacim ve yüzey alanları (veya katılardan kazılmış boş alanlar) bulma gibi düzlem şekillerin ve katıların geometrisi ile ilgilenir. Dikdörtgen prizmaların, piramitlerin ve kare piramidin kesiklerinin hacmini bulur. Ayrıca bir dizi çukurun ortalama derinliğini bulur. Bir piramidin kesikli hacmi için, "pragmatik" değeri, derinlik çarpı üst ve alt yüzlerin kenarlarının ortalamasının karesi olarak verir ve "yüzeysel" hacmi, derinlik çarpı ortalamaları olarak verir. alan.

Trigonometri

sinüs tablosu

Brāhmasphuṭasiddhānta adlı eserinin Gezegensel Gerçek Boylamlar başlıklı 2. Bölümünde , Brahmagupta bir sinüs tablosu sunar:

2.2–5. Sinüsler: Atalar, ikizler; Büyükayı, ikizler, Vedalar; tanrılar, ateşler, altı; tatlar, zarlar, tanrılar; ay, beş, gökyüzü, ay; ay, oklar, güneşler [...]

Burada Brahmagupta, Sanskritçe incelemelerdeki sayısal verilerde yaygın olduğu gibi, yer değeri rakamlarının basamaklarını temsil etmek için nesnelerin adlarını kullanır. Atalar, Hint kozmolojisinde 14 Atayı ("Manu") veya 14'ü temsil eder, "ikizler" 2 anlamına gelir, "Ursa Major" Büyükayı veya 7'nin yedi yıldızını temsil eder, "Vedalar" 4 Veda veya 4'ü ifade eder, zar geleneksel kalıbın kenar sayısı veya 6, vb. Bu bilgi sinüs, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 2459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159 listesine çevrilebilir. , 3207, 3263 3242, ve 3270, yarıçap 3270 olmak üzere (bu sayılar temsil için ). $3270\sin {\frac {\pi n}{48}}$ ${\görüntüleme stili n=1,\noktalar,24}$

enterpolasyon formülü

665'te Brahmagupta , sinüs fonksiyonunun yeni değerlerini önceden çizelgelenmiş diğer değerlerden enterpolasyon yapmak için ikinci dereceden Newton-Stirling enterpolasyon formülünün özel bir durumunu tasarladı ve kullandı . Formül, değeri $a$ $-$ $h$ , $a$ ve $a$ $+$ $h'de$ zaten biliniyorsa, argümanının $a$ $+$ $xh$ değerinde ( $h$ $> 0$ ve $-1 \leq$ $x$ $\leq 1 ile$ ) bir $f$ fonksiyonunun değeri için bir tahmin verir. .

Tahmin için formül:

f(a+xh)\yaklaşık f(a)+x{\frac {\Delta f(a)+\Delta f(ah)}{2}}+x^{2}{\frac {\ Delta ^{2}f(ah)}{2}}.

burada $Δ$ birinci dereceden ileri fark operatörüdür , yani

\Delta f(a)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f(a+h)-f(a).

Astronomi

Brahmagupta, rakip astronomların çalışmalarına büyük bir eleştiri yöneltti ve onun Brāhmasphuṭasiddhānta'sı Hintli matematikçiler arasındaki en eski ayrılıklardan birini sergiliyor. Bölünme öncelikle matematiğin kendisinden ziyade matematiğin fiziksel dünyaya uygulanmasıyla ilgiliydi. Brahmagupta'nın durumunda, anlaşmazlıklar büyük ölçüde astronomik parametreler ve teorilerin seçiminden kaynaklandı. Rakip teorilerin eleştirileri ilk on astronomik bölüm boyunca ortaya çıkar ve on birinci bölüm tamamen bu teorilerin eleştirisine ayrılmıştır, ancak on ikinci ve on sekizinci bölümlerde hiçbir eleştiri görünmemektedir.

Brahmagupta'nın astronomiye yaptığı önemli katkılardan bazıları, gök cisimlerinin zaman içindeki konumlarını ( ephemerides ), yükselişlerini ve batmalarını, bağlaçlarını ve güneş ve ay tutulmalarını hesaplamak için kullandığı yöntemlerdir .

Ay Hilali başlıklı Brāhmasphuṭasiddhānta'nın yedinci bölümünde Brahmagupta, Ay'ın Dünya'dan Güneş'ten daha uzak olduğu fikrini çürütür . Bunu Ay'ın Güneş tarafından aydınlatılmasını açıklayarak yapar.

1. Ay güneşin üzerinde olsaydı, ayın boylam hesabından büyüyüp küçülme vb. güç nasıl üretilirdi? Yakın yarı her zaman parlak olurdu.

2. Güneşte duran bir çömleğin güneş tarafından görülen yarısı parlak, görünmeyen yarısı nasıl karanlıksa, güneşin altındaki ayın [aydınlanması] da öyledir.

3. Parlaklık güneş yönünde artar. Parlak bir [yani ağda] yarım ayın sonunda, yakın yarısı aydınlık ve uzak yarısı karanlıktır. Dolayısıyla, [hilalin] boynuzlarının yüksekliği hesaptan türetilebilir. [...]

Ay'ın Dünya'ya Güneş'ten daha yakın olması nedeniyle, Ay'ın aydınlatılan kısmının derecesinin Güneş ve Ay'ın göreli konumlarına bağlı olduğunu ve bunun ikisi arasındaki açının boyutundan hesaplanabileceğini açıklıyor. bedenler.

Gezegenlerin boylamlarını, günlük dönüşü, ay ve güneş tutulmalarını, yükselmeleri ve ayarları, ayın hilalini ve gezegenlerin birleşimlerini araştıran daha fazla çalışma, Khandakhadyaka adlı incelemesinde tartışılmaktadır .

Ayrıca bakınız

Alıntılar ve dipnotlar

Referanslar

Avari, Burjor (2013), Güney Asya'da İslam Medeniyeti: Hint Yarımadası'nda Müslüman Gücü ve Varlığının Tarihi , Routledge, ISBN 978-0-415-58061-8
Bose, DM; Şen, SN; Subbarayappa, BV (1971), Hindistan'da Kısa Bir Bilim Tarihi , Yeni Delhi: Hindistan Ulusal Bilim Akademisi, s. 95-97, 8 Aralık 2015 tarihinde orijinalinden arşivlendi
Bhattacharyya, RK (2011), "Brahmagupta: Eski Hint Matematikçisi", BS Yadav'da; Man Mohan (ed.), Antik Hint Sıçrayışları Matematiğe Doğru , Springer Science & Business Media, s. 185-192, ISBN 978-0-8176-4695-0
Boyer, Carl B. (1991), A History of Mathematics , John Wiley & Sons, Inc, ISBN 0-471-54397-7
Cooke, Roger (1997), Matematik Tarihi: Kısa Bir Kurs , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-18082-3
Gupta, Radha Charan (2008), "Brahmagupta" , Selin, Helaine (ed.), Batı Dışı Kültürlerde Bilim, Teknoloji ve Tıp Tarihi Ansiklopedisi , Springer, s. 162-163, ISBN 978-1-4020-4559-2
Joseph, George G. (2000), Tavus Kuşunun Arması , Princeton University Press, ISBN 0-691-00659-8
O'Leary, De Lacy (2001) [ilk yayın 1948], Yunan Bilimi Araplara Nasıl Geçti (2. baskı), Goodword Books, ISBN 8187570245
Plofker, Kim (2007), "Hindistan'da Matematik" , içinde Victor Katz (ed.), Mısır, Mezopotamya, Çin, Hindistan ve İslam'ın Matematiği: Bir Kaynak Kitabı , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11485-9
Stillwell, John (2004), Matematik ve Tarihi (İkinci baskı), Springer Science + Business Media Inc., ISBN 0-387-95336-1
Hokey, Thomas, ed. (2007), "Brahmagupta", Biographical Encyclopedia of Astronomers , Springer Science & Business Media, s. 165, ISBN 978-0387304007

daha fazla okuma

Seturo Ikeyama (2003). Brāhmasphuṭasiddhānta Pṛthūdhaka ait Şerhi ile Brahmagupta arasında eleştirel İngiliz çeviri ve notlar ile düzenlenebilir . INSA.
David Pingree. Sanskritçe Kesin Bilimler Sayımı (CESS) . Amerikan Felsefe Derneği. A4, s. 254.
Shashi S. Sharma. Antik Hindistan'ın Matematik ve Gökbilimcileri . Pitambar Yayıncılık. ISBN'si 9788120914216.
O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Brahmagupta" , MacTutor Matematik Tarihi arşivi , St Andrews Üniversitesi

Dış bağlantılar

Brahmagupta'nın Brahma-shuta-siddhanta'sı Ram Swarup Sharma tarafından düzenlendi, Hindistan Astronomi ve Sanskrit Araştırmaları Enstitüsü, 1966. İngilizce giriş, Sanskritçe metin, Sanskritçe ve Hintçe yorumlar (PDF)
Aritmetik ve ölçülü cebir , Brahmegupta ve Bháscara Sanscrit'inden İnternet Arşivi'nde Henry Thomas Colebrooke tarafından çevrilmiştir . [1]

Languages

In other projects