Bohr modeli - Bohr model

Gelen atom fiziği , Bohr modeli veya Rutherford-Bohr modeli tarafından sunulan, Niels Bohr ve Ernest Rutherford 1913 yılında, elektronları-benzeri yapısıyla yörüngede çevrili küçük, yoğun çekirdekten oluşan bir sistemdir Güneş Sistemi'nin ama cazibe ile, yerçekimi yerine elektrostatik kuvvetler tarafından sağlanır . Sonra kübik modelin (1902), Thomson atom modeli (1904), Satürn modeli (1904), ve Rutherford modeli (1911) geldi Rutherford-Bohr modeli ya da sadece Bohr modeli Short (1913) için. 1911 Rutherford modeli üzerindeki iyileştirme, esas olarak yeni kuantum fiziksel yorumuyla ilgiliydi .

Modelin kilit başarısı , atomik hidrojenin spektral emisyon çizgileri için Rydberg formülünü açıklamada yatıyordu . Rydberg formülü deneysel olarak bilinmesine rağmen, Bohr modeli tanıtılana kadar teorik bir temel kazanmadı. Bohr modeli sadece Rydberg formülünün yapısının nedenlerini açıklamakla kalmadı, aynı zamanda formülün ampirik sonuçlarını oluşturan temel fiziksel sabitler için bir gerekçe sağladı.

Bohr modeli, değerlik kabuk atom modeline kıyasla hidrojen atomunun nispeten ilkel bir modelidir. Bir teori olarak , daha geniş ve çok daha doğru kuantum mekaniği kullanılarak hidrojen atomunun birinci dereceden bir yaklaşımı olarak türetilebilir ve bu nedenle eski bir bilimsel teori olarak kabul edilebilir . Bununla birlikte, basitliği ve seçilen sistemler için doğru sonuçları nedeniyle (uygulama için aşağıya bakınız), Bohr modeli hala daha doğru, ancak daha karmaşık olana geçmeden önce öğrencileri kuantum mekaniği veya enerji seviyesi diyagramlarıyla tanıştırmak için öğretilmektedir. değerlik kabuk atomu . İlgili bir model ilk olarak 1910'da Arthur Erich Haas tarafından önerildi, ancak reddedildi. Arasındaki dönemin kuantum teorisi kuantum Planck'ın keşfinden (1900) ve olgun bir kuantum mekaniği (1925) gelişiyle sık olarak adlandırılır eski kuantum teorisi .

Menşei

20. yüzyılın başlarında, Ernest Rutherford tarafından yapılan deneyler , atomların küçük, yoğun, pozitif yüklü bir çekirdeği çevreleyen dağınık bir negatif yüklü elektron bulutundan oluştuğunu ortaya koydu . Bu deneysel veriler göz önüne alındığında, Rutherford doğal olarak atomun gezegensel bir modelini , 1911'in Rutherford modelini düşündü . Bu, bir güneş çekirdeğinin yörüngesinde dönen elektronlara sahipti, ancak teknik bir zorluk içeriyordu: klasik mekanik yasaları (yani Larmor formülü ), elektronun yayınlayacak elektromanyetik radyasyon çekirdeği etrafında dönen ederken. Elektron enerji kaybedeceğinden, hızla içe doğru döner ve yaklaşık 16 pikosaniyelik bir zaman ölçeğinde çekirdeğe çöker . Bu atom modeli felakettir çünkü tüm atomların kararsız olduğunu tahmin eder. Ayrıca, elektron içe doğru spiraller çizerken, yörünge periyodunun kısalması nedeniyle emisyon hızla frekansta artacak ve sürekli spektrumlu elektromanyetik radyasyon ile sonuçlanacaktır. Bununla birlikte, 19. yüzyılın sonlarında elektrik boşalmalarıyla ilgili deneyler , atomların yalnızca belirli ayrı frekanslarda ışık (yani elektromanyetik radyasyon) yayacağını göstermiştir.

Bohr'un atomunun ana hatları, 1911'de Bohr'un akıl hocası Rutherford'un hazır bulunduğu ilk Solvay Konferansı'nın işlemleri sırasında geldi . Max Planck'ın dersi şu sözle sona erdi: "... moleküler bağa tabi olan atomlar veya elektronlar kuantum teorisinin yasalarına uyacaktır." Planck'ın dersinin tartışmasında Hendrik Lorentz , Arthur Erich Haas tarafından geliştirilen atom modeli etrafındaki tartışmanın büyük bir kısmı ile Thompson'ın modeline dayanan atomun bileşimi sorusunu gündeme getirdi . Lorentz, Planck sabitinin atomların boyutunu belirlemek için alınabileceğini veya Planck sabitini belirlemek için atomların boyutunun alınabileceğini açıkladı. Lorentz, “kürelerine giren elektronların sayısının onları terk edenlerin sayısına eşit olduğu durağan bir durum kurulacak” sonucuna varan radyasyonun emisyonu ve absorpsiyonu ile ilgili yorumlara yer verdi. Max Planck, atomlar arasındaki enerji farklılıklarını neyin düzenleyebileceği tartışmasında basitçe şöyle dedi: "Aracılar elektronlar olabilir." Tartışmalar, kuantum teorisinin atoma dahil edilmesi ihtiyacını ve bir atom teorisindeki zorlukları özetledi. Planck konuşmasında açıkça şunları söyledi: “Bir osilatörün [molekül veya atomun] denkleme uygun radyasyon sağlayabilmesi için, daha önce de söylediğimiz gibi, çalışma yasalarının içine girmesi gerekir. Temel bir noktada klasik Mekanik ile açıkça veya zımnen çelişen belirli bir fiziksel hipotez. Lorentz, Einstein'ın konuşmasının tartışmasını şu şekilde sonlandırdı: "Bu enerjinin katı olması gerektiği varsayımı , aşağıdaki formüle yol açar, burada bir tamsayıdır: ." Rutherford bu noktaları Bohr'a özetleyebilir ya da ona yargılamanın bir kopyasını verebilirdi. Daha sonra 1912'de Bohr, açısal momentumu h /2 π olarak niceleyen atom modelinin John William Nicholson teorisiyle karşılaştı . Niels Bohr , 1913 tarihli Bohr atom modeli makalesinde ondan alıntı yaptı. Daha sonra Bohr'a arkadaşı Hans Hansen, Balmer serisinin 1885'te Johann Balmer tarafından keşfedilen ve hidrojenin spektral çizgilerini yaratan deneysel bir denklem olan Balmer formülü kullanılarak hesaplandığını söyledi. Rydberg , spektral çizgiler için bir formül üzerinde çalışıyordu ve daha önce hidrojen için Balmer formülünü bulmuş ve 1888'de yeniden yazmıştı: ${\görüntüleme stili h\nu }$${\görüntüleme stili n}$${\displaystyle qv^{2}=nh\nu }$

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}=R_{\text{H}}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}} }-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\sağ),}$

nerede

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {vac}}}$bir dalga boyu elektromanyetik radyasyon salınır vakum ,

${\displaystyle R_{\metin{H}}}$hidrojen için Rydberg sabitidir , yaklaşık olarak1.096 775 83 × 10 ⁷  m ^-1 ,

${\görüntüleme stili n_{1}}$ bir spektral çizginin dalga sayısıdır ve

${\ Displaystyle n_{2}}$ sonraki spektral çizginin dalga sayısıdır.

Not: - Burada, >${\ Displaystyle n_{2}}$${\görüntüleme stili n_{1}}$

Bundan sonra Bohr, "her şey açıklığa kavuştu" dedi.

Rutherford'un atomunun sorunlarının üstesinden gelmek için, 1913'te Niels Bohr , modelinin çoğunu özetleyen üç varsayım ortaya koydu:

1. Elektron, klasik elektromanyetizmanın önerdiğinin aksine, herhangi bir enerji yaymadan çekirdeğin etrafında belirli kararlı yörüngelerde dönebilir . Bu kararlı yörüngelere sabit yörüngeler denir ve çekirdekten belirli uzak mesafelerde elde edilir. Elektronun ayrık yörüngeler arasında başka bir yörüngesi olamaz.
2. Durağan yörüngeler, dönen elektronun açısal momentumunun indirgenmiş Planck sabitinin tamsayı katı olduğu mesafelerde elde edilir : burada n = 1, 2, 3, ... temel kuantum sayısı olarak adlandırılır ve ħ = h /2 π . n'nin en düşük değeri 1'dir; bu, Bohr yarıçapı olarak bilinen 0.0529 nm'lik mümkün olan en küçük yörünge yarıçapını verir . Bir elektron bu en düşük yörüngede olduğunda, protona bir daha yaklaşamaz. Açısal momentum kuantum kuralından yola çıkarak Bohr, hidrojen atomunun ve diğer hidrojen benzeri atomların ve iyonların izin verilen yörüngelerinin enerjilerini hesaplayabildi . Bu yörüngeler belirli enerjilerle ilişkilidir ve ayrıca enerji kabukları veya enerji seviyeleri olarak da adlandırılır . Bu yörüngelerde elektronun ivmesi radyasyon ve enerji kaybına neden olmaz. Bohr atom modeli, Planck'ın kuantum radyasyon teorisine dayanıyordu.${\displaystyle m_{\mathrm {e} }vr=n\hbar }$
3. Elektronlar ancak izin verilen bir yörüngeden diğerine atlayarak , Planck bağıntısına göre seviyelerin enerji farkıyla belirlenen ν frekansında elektromanyetik radyasyonu emerek veya yayarak enerji kazanabilir ve kaybedebilir : burada h Planck'ın sabitidir.${\displaystyle \Delta E=E_{2}-E_{1}=h\nu }$

Diğer noktalar şunlardır:

1. Einstein'ın fotoelektrik etki teorisi gibi , Bohr'un formülü de bir kuantum sıçraması sırasında ayrı bir miktarda enerji yayıldığını varsayar . Bununla birlikte, Einstein'ın aksine Bohr , elektromanyetik alanın klasik Maxwell teorisine bağlı kaldı. Elektromanyetik alanın kuantizasyonu, atomik enerji seviyelerinin ayrıklığı ile açıklandı; Bohr fotonların varlığına inanmıyordu .
2. Maxwell teorisine göre frekans ν klasik radyasyon dönme frekansına eşittir ν _çürümesi ile yörüngesindeki elektronun harmonik Bu frekansın katlarında. Bu sonuç, enerji seviyeleri arasındaki atlar için Bohr modeli elde edilir E _n ve e _{n - k} zaman k çok daha küçüktür n . Bu atlar sıklığını yeniden k yörüngesinin harmonik ıncı n . Yeterince büyük n değerleri için ( Rydberg durumları olarak adlandırılır ), emisyon işleminde yer alan iki yörünge neredeyse aynı dönüş frekansına sahiptir, böylece klasik yörünge frekansı belirsiz değildir. Ancak küçük n (veya büyük k ) için, radyasyon frekansının açık bir klasik yorumu yoktur. Bu , kuantum teorisinin klasik teoriyle sadece büyük kuantum sayıları sınırında uyuşmasını gerektiren yazışma ilkesinin doğuşuna işaret eder .
3. Bohr-Kramers-Slater teorisi (BKS kuramı) ihlal Bohr modeli, genişletmek için başarısız bir girişimdir enerjinin korunumu ve momentumun korunumu yasaları sadece ortalama tutan, atlar kuantum.

Bohr'un açısal momentumun ħ'nin tamsayı katı olduğu koşulu, daha sonra 1924'te de Broglie tarafından bir duran dalga koşulu olarak yeniden yorumlandı : elektron bir dalga ile tanımlanır ve tam sayıda dalga boyu elektronun yörüngesinin çevresine sığmalıdır:

${\displaystyle n\lambda =2\pi r.}$

De Broglie'nin hipotezine göre, elektron gibi madde parçacıkları dalgalar gibi davranır . De Broglie dalga boyu bir elektron sahiptir:

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{mv}}}$.

ki bu ima eder,

${\displaystyle {\frac {nh}{mv}}=2\pi r}$

veya

${\displaystyle {\frac {nh}{2\pi }}=mvr}$

yörüngedeki elektronun açısal momentumu nerede . Bu açısal momentum için yazarken , önceki denklem olur ${\görüntüleme stili mvr}$${\görüntüleme stili\el }$

${\displaystyle \ell ={\frac {nh}{2\pi }}}$

bu Bohr'un ikinci postülası.

Bohr 1/2 saat elektron yörünge açısal momentum tarif ederken Broglie dalga boyu de bir λ = h / p elektron ivme bölünmesiyle h tarif. Ancak 1913'te Bohr, herhangi bir dalga yorumu sağlamadan, yazışma ilkesine başvurarak kuralını haklı çıkardı. 1913'te elektron gibi madde parçacıklarının dalga davranışından şüphelenilmiyordu.

1925'te, Bohr'un kuantize yörüngelerde hareket eden elektron modelinin daha doğru bir elektron hareketi modeline genişletildiği yeni bir tür mekanik, kuantum mekaniği önerildi . Yeni teori Werner Heisenberg tarafından önerildi . Aynı teorinin bir başka biçimi olan dalga mekaniği, Avusturyalı fizikçi Erwin Schrödinger tarafından bağımsız olarak ve farklı akıl yürütmelerle keşfedildi . Schrödinger, de Broglie'nin madde dalgalarını kullandı, ancak pozitif nükleer yükün potansiyeli tarafından tuzağa düşürülerek hidrojen benzeri bir atomun çekirdeği etrafında hareket etmek zorunda kalan elektronları tanımlayan üç boyutlu bir dalga denkleminin dalga çözümlerini aradı .

Elektron enerji seviyeleri

Bohr modeli, yalnızca iki yüklü noktanın birbirinin yörüngesinde ışıktan çok daha düşük hızlarda döndüğü bir sistem için neredeyse kesin sonuçlar verir. Bu sadece hidrojen atomu , tek iyonize helyum ve çift iyonize lityum gibi tek elektronlu sistemleri değil, bir elektronun her şeyden uzak olduğu herhangi bir atomun pozitronyum ve Rydberg durumlarını içerir. Diğer varsayımlar eklenirse K-line X-ışını geçiş hesaplamaları için kullanılabilir (aşağıdaki Moseley yasasına bakınız). Yüksek enerji fiziğinde, ağır kuark mezonlarının kütlelerini hesaplamak için kullanılabilir .

Yörüngelerin hesaplanması iki varsayım gerektirir.

• Klasik mekanik

Elektron, elektrostatik çekim ile dairesel bir yörüngede tutulur. Merkezcil kuvvet eşittir Coulomb kuvveti .

${\displaystyle {m_{\mathrm {e}}v^{2} \over r}={Zk_{\mathrm {e}}e^{2} \over r^{2}}}$

burada m, _E , elektronun kütlesidir, e elektron yüküdür, k _{, e} bir Coulomb sabit ve Z'nin atom olan atom numarası . Burada çekirdeğin kütlesinin elektron kütlesinden çok daha büyük olduğu varsayılır (ki bu iyi bir varsayımdır). Bu denklem, elektronun herhangi bir yarıçaptaki hızını belirler:

${\displaystyle v={\sqrt {Zk_{\mathrm {e} }e^{2} \over m_{\mathrm {e} }r}}.}$

Ayrıca herhangi bir yarıçaptaki elektronun toplam enerjisini de belirler:

${\displaystyle E=-{1 \over 2}m_{\mathrm {e}}v^{2}}$

Toplam enerji negatiftir ve r ile ters orantılıdır . Bu, yörüngedeki elektronu protondan uzaklaştırmak için enerji gerektiği anlamına gelir. r'nin sonsuz değerleri için , enerji sıfırdır ve protondan sonsuz derecede uzakta hareketsiz bir elektrona karşılık gelir. Toplam enerji potansiyel enerjinin yarısıdır, aradaki fark elektronun kinetik enerjisidir. Bu aynı zamanda virial teorem tarafından dairesel olmayan yörüngeler için de geçerlidir .

• Bir kuantum kuralı

Açısal momentum L = m _e vr bir tamsayı katı olan H :

${\displaystyle m_{\mathrm {e} }vr=n\hbar }$

türetme

Bir atomdaki elektron T periyodunda bir yörüngede hareket ediyorsa , klasik olarak elektromanyetik radyasyon her yörünge periyodunda kendini tekrar edecektir. Elektromanyetik alanla bağlantı zayıfsa, böylece yörünge bir döngüde çok fazla bozulmaz, radyasyon her periyodu tekrar eden bir modelde yayılır, böylece Fourier dönüşümü yalnızca katları olan frekanslara sahip olur. 1/ T . Bu klasik radyasyon yasasıdır: yayılan frekanslar 1/ T'nin tam sayı katlarıdır .

Kuantum mekaniğinde, bu emisyon, 1/ T'nin tamsayı katlarından oluşan frekansların, ışığın niceliklerinde olmalıdır , böylece klasik mekanik, büyük kuantum sayılarında yaklaşık bir tanım olur. Bu, 1/ T periyodundaki klasik bir yörüngeye karşılık gelen enerji seviyesinin , enerjileri h / T kadar farklı olan yakın enerji seviyelerine sahip olması ve bu seviyenin yakınında eşit aralıklarla olması gerektiği anlamına gelir,

${\displaystyle \Delta E_{n}={h \over T(E_{n})}.}$

Bohr, enerji aralığı 1/ T'nin en iyi enerji durumunun periyoduyla mı , yoksa bir ortalamayla mı hesaplanması gerektiği konusunda endişeliydi - geriye dönüp bakıldığında, bu model yalnızca önde gelen yarı-klasik yaklaşımdır. ${\ Displaystyle E_{n}}$${\displaystyle E_{n+1}}$

Bohr dairesel yörüngeler olarak kabul edildi. Klasik olarak, bu yörüngeler fotonlar yayıldığında daha küçük dairelere bozunmalıdır. Dairesel yörüngeler arasındaki seviye aralığı, yazışma formülü ile hesaplanabilir. Bir Hidrojen atomu için, klasik yörüngeler, Kepler'in üçüncü yasası tarafından r ^3/2 olarak ölçeklenmek üzere belirlenen bir T periyoduna sahiptir . Enerji 1/ r olarak ölçeklenir , bu nedenle seviye aralığı formülü şu şekildedir:

${\displaystyle \Delta E\propto {1 \üzerinde r^{3 \üzerinde 2}}\propto E^{3 \üzerinde 2}.}$

Yörüngeden yörüngeye tekrar tekrar inerek enerji seviyelerini belirlemek mümkündür, ancak bir kısayol var.

Dairesel yörüngenin açısal momentumu L olarak ölçeklenir . Açısal momentum cinsinden enerji daha sonra ${\displaystyle {\sqrt {r}}}$

${\displaystyle E\propto {1 \r üzerinde}\propto {1 \L^ üzerinde{2}}}$.

Bohr ile, L' nin nicelenmiş değerlerinin eşit aralıklı olduğunu varsayarsak, komşu enerjiler arasındaki boşluk,

${\displaystyle \Delta E\propto {1 \over (L+\hbar )^{2}}-{1 \over L^{2}}\yaklaşık -{2\hbar \overL^{3}}\propto -E^{3 \üzerinde 2}.}$

Bu, eşit aralıklı açısal momentum için istendiği gibidir. Biri sabitleri takip ederse, boşluk ħ olur , bu nedenle açısal momentum ħ tamsayı katı olmalıdır ,

${\displaystyle L={nh \over 2\pi }=n\hbar ~.}$

Bohr modeline bu şekilde ulaştı.

İfadeyi hız için değiştirmek , n cinsinden r için bir denklem verir :

${\displaystyle m_{\text{e}}{\sqrt {\dfrac {k_{\text{e}}Ze^{2}}{m_{\text{e}}r}}}r=n\hbar }$

böylece herhangi bir n'de izin verilen yörünge yarıçapı :

${\displaystyle r_{n}={n^{2}\hbar ^{2} \over Zk_{\mathrm {e} }e^{2}m_{\mathrm {e} }}}$

Hidrojen atomundaki ( Z = 1 ) mümkün olan en küçük r değerine Bohr yarıçapı denir ve şuna eşittir:

${\displaystyle r_{1}={\hbar ^{2} \over k_{\mathrm {e} }e^{2}m_{\mathrm {e} }}\yaklaşık 5.29\times 10^{-11} \mathrm {m} }$

Enerjisi , n herhangi bir atom için inci düzeyde yarıçap ve kuantum sayısı tarafından belirlenir:

${\displaystyle E=-{Zk_{\mathrm {e} }e^{2} \over 2r_{n}}=-{Z^{2}(k_{\mathrm {e} }e^{2}) ^{2}m_{\mathrm {e} } \over 2\hbar ^{2}n^{2}}\yaklaşık {-13.6Z^{2} \n^{2}}\mathrm {eV} }$

Hidrojenin en düşük enerji seviyesindeki ( n = 1 ) bir elektron, bu nedenle, çekirdekten sonsuz uzaklıkta hareketsiz bir elektrondan yaklaşık 13.6  eV daha az enerjiye sahiptir. Bir sonraki enerji seviyesi ( n = 2 ) -3.4 eV'dir. Üçüncüsü ( n = 3) -1,51 eV'dir ve bu böyle devam eder. n'nin daha büyük değerleri için , bunlar aynı zamanda, atomun geri kalanı etrafında geniş bir dairesel yörüngede bir elektronu olan oldukça uyarılmış bir atomun bağlanma enerjileridir. Hidrojen formülü aynı zamanda Wallis ürünü ile de örtüşmektedir .

Enerji formül doğal sabitler kombinasyonu Rydberg enerji (adlandırılır R _e ):

${\displaystyle R_{\mathrm {E} }={(k_{\mathrm {e} }e^{2})^{2}m_{\mathrm {e} } \over 2\hbar ^{2}} }$

Bu ifade, daha doğal birimler oluşturan kombinasyonlarda yorumlanarak açıklığa kavuşturulur :

${\displaystyle \,m_{\mathrm {e} }c^{2}}$olan geri kalan kütle, enerji elektron (511 keV) arasında

${\displaystyle \,{k_{\mathrm {e} }e^{2} \over \hbar c}=\alpha \yaklaşık {1 \137 üzerinde}}$bir ince yapı sabiti

${\displaystyle \,R_{\mathrm {E} }={1 \over 2}(m_{\mathrm {e} }c^{2})\alpha ^{2}}$

Bu türetme, çekirdeğin bir elektron tarafından yörüngede olduğu varsayımıyla yapıldığından, çekirdeğin q = Ze yüküne sahip olmasına izin vererek bu sonucu genelleştirebiliriz , burada Z atom numarasıdır. Bu şimdi bize, gerçek enerji seviyelerinin kabaca bir büyüklük mertebesi yaklaşımı olarak hizmet edebilen hidrojenik (hidrojen benzeri) atomlar için enerji seviyelerini verecektir. Yani Z protonlu çekirdekler için enerji seviyeleri (kabaca yaklaşık olarak):

${\displaystyle E_{n}=-{Z^{2}R_{\mathrm {E} } \üzerinde n^{2}}}$

Gerçek enerji seviyeleri, birden fazla elektron için analitik olarak çözülemez (bkz. n- cisim problemi ), çünkü elektronlar sadece çekirdekten etkilenmekle kalmaz, aynı zamanda Coulomb Kuvveti aracılığıyla birbirleriyle etkileşirler .

Zaman , Z = 1 / α ( Z ≈ 137 ), hareket yüksek göreli hale gelir ve Z, ² iptal a ² de R ; yörünge enerjisi, dinlenme enerjisiyle karşılaştırılabilir olmaya başlar. Yeterince büyük çekirdekler, kararlı olsalardı, vakumdan bağlı bir elektron yaratarak ve pozitronu sonsuza fırlatarak yüklerini azaltırlardı. Bu, maksimum nükleer yükü öngören elektromanyetik yük taramasının teorik olgusudur. Bu tür pozitronların emisyonu, ağır iyonların çarpışmalarında geçici süper ağır çekirdekler oluşturmak için gözlemlenmiştir.

Bohr formülü , elektronun kütlesi yerine her durumda indirgenmiş elektron ve proton kütlesini uygun şekilde kullanır ,

${\displaystyle m_{\text{red}}={\frac {m_{\mathrm {e} }m_{\mathrm {p} }}{m_{\mathrm {e} }+m_{\mathrm {p} }}}=m_{\mathrm {e}}~{\frac {1}{1+m_{\mathrm {e} }/m_{\mathrm {p} }}}~.}$

Bununla birlikte, protonun kütlesinin çok daha büyük olması nedeniyle, bu sayılar hemen hemen aynıdır, elektron kütlesinin yaklaşık 1836.1 katıdır, böylece sistemdeki indirgenmiş kütle, elektronun kütlesinin 1836.1/( sabiti ile çarpımıdır. 1+1836.1) = 0.99946. Bu gerçek, Rutherford'u Bohr'un modelinin önemine ikna etmede tarihsel olarak önemliydi, çünkü tek başına iyonize helyum için spektrumlardaki çizgilerin frekanslarının hidrojeninkilerden tam olarak 4 değil, daha çok 4 kat farklı olduğu gerçeğini açıkladı. Deneysel orana tam olarak 4'ten çok daha yakın olan hidrojen ve helyum sistemleri için azaltılmış kütle oranının çarpımı.

Pozitronyum için formül aynı zamanda indirgenmiş kütleyi de kullanır, ancak bu durumda, tam olarak 2'ye bölünen elektron kütlesidir. kütle ve her biri kinetik enerjinin sadece dörtte birine sahiptir. Toplam kinetik enerji, ağır bir çekirdeğin etrafında hareket eden tek bir elektronun sahip olacağı enerjinin yarısıdır.

${\displaystyle E_{n}={R_{\mathrm {E} } \over2n^{2}}~~~~~~}$ (pozitronyum)

Rydberg formülü

Bohr'un formülünden önce ampirik olarak bilinen Rydberg formülü, Bohr'un teorisinde yörünge enerji seviyeleri arasındaki geçişlerin veya kuantum sıçramalarının enerjilerini tarif ettiği görülüyor . Bohr'un formülü, zaten bilinen ve ölçülen Rydberg sabitinin sayısal değerini verir , ancak elektronun yükü ve Planck sabiti de dahil olmak üzere daha temel doğa sabitleri cinsinden .

Elektron orijinal enerji seviyesinden daha yüksek bir seviyeye geçtiğinde, orijinal konumuna gelene kadar her seviyede geri atlar, bu da bir fotonun yayılmasına neden olur. Hidrojenin farklı enerji seviyeleri için elde edilen formül kullanılarak, bir hidrojen atomunun yayabileceği ışığın dalga boyları belirlenebilir.

Bir hidrojen atomu tarafından yayılan bir fotonun enerjisi, iki hidrojen enerji seviyesinin farkıyla verilir:

${\displaystyle E=E_{i}-E_{f}=R_{\mathrm {E} }\left({\frac {1}{n_{f}^{2}}}-{\frac {1} {n_{i}^{2}}}\sağ)\,}$

burada n _f son enerji seviyesidir ve n _i ilk enerji seviyesidir.

Bir fotonun enerjisi olduğundan

${\displaystyle E={\frac {hc}{\lambda }},\,}$

verilen fotonun dalga boyu ile verilir

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R\left({\frac {1}{n_{f}^{2}}}-{\frac {1}{n_{i}^{ 2}}}\sağ).\,}$

Bu bilinen Rydberg formül ve Rydberg sabit R olan R _E / hc veya R, _E / 2 π içinde doğal birim . Bu formül on dokuzuncu yüzyılda spektroskopi çalışan bilim adamları tarafından biliniyordu , ancak Bohr'a kadar bu formun teorik bir açıklaması veya R'nin değeri için teorik bir tahmin yoktu . Aslında, Bohr'un Rydberg sabitini türetmesi ve aynı zamanda Bohr'un formülünün Lyman ( n _f =1), Balmer ( n _f =2) ve Paschen'in ( n _f =3) deneysel olarak gözlemlenen spektral çizgileriyle eş zamanlı uyumu. serisi ve henüz gözlemlenmemiş diğer çizgilerin başarılı teorik tahmini, modelinin hemen kabul edilmesinin bir nedeniydi.

Birden fazla elektronlu atomu uygulamak için, Rydberg formülü değiştirilmesi yolu ile modifiye edilebilir Z ile Z  -  b ya da N ile n  -  b B nedeniyle, iç kabuk ve diğer elektron bir tarama etkisi gösteren sabit değer (bkz elektron kabuğu ve aşağıdaki "Atomun Kabuk Modeli"nin sonraki tartışması). Bu, Bohr modelini sunmadan önce ampirik olarak kuruldu.

Kabuk modeli (daha ağır atomlar)

Bohr, daha ağır atomlar için yaklaşık bir model vermek üzere hidrojen modelini genişletti. Bu, bilinen birçok atomik özelliği ilk kez yeniden üreten fiziksel bir resim verdi.

Daha ağır atomların çekirdeğinde daha fazla proton ve yükü iptal etmek için daha fazla elektron bulunur. Bohr'un fikri, her ayrı yörüngenin yalnızca belirli sayıda elektron tutabileceğiydi. Bu yörünge dolduktan sonra, bir sonraki seviyenin kullanılması gerekecekti. Bu, atoma her kabuğun bir Bohr yörüngesine karşılık geldiği bir kabuk yapısı verir .

Bu model, hidrojen modelinden bile daha yaklaşıktır, çünkü her bir kabuktaki elektronları etkileşmemiş olarak ele alır. Ancak elektronların itmeleri, eleme fenomeni tarafından bir şekilde hesaba katılır . Dış yörüngelerdeki elektronlar sadece çekirdeğin yörüngesinde değil, aynı zamanda iç elektronların etrafında da hareket ederler, böylece hissettikleri etkin Z yükü, iç yörüngedeki elektronların sayısı kadar azalır.

Örneğin, lityum atomunun en düşük 1s yörüngesinde iki elektronu vardır ve bu yörüngeler Z  = 2'dedir. Her biri, nükleer yükü  kabaca 1 birim azaltan, Z = 3'ün nükleer yükünü , diğerinin tarama etkisini görür. . Bu, en içteki elektronların Bohr yarıçapının yaklaşık 1/2'sinde yörüngede olduğu anlamına gelir. Lityumdaki en dıştaki elektron, iki iç elektron nükleer yükü 2 kadar azalttığından, kabaca Bohr yarıçapında yörüngededir. Bu dış elektron, çekirdekten yaklaşık bir Bohr yarıçapında olmalıdır. Elektronlar birbirini güçlü bir şekilde ittiğinden, etkin yük tanımı çok yaklaşıktır; efektif yük Z genellikle bir tam sayı olarak ortaya çıkmaz. Ancak Moseley yasası deneysel olarak en içteki elektron çiftini araştırır ve yaklaşık olarak Z  − 1'lik bir nükleer yük gördüklerini gösterirken , en dıştaki kabukta yalnızca bir elektron bulunan bir atom veya iyondaki en dıştaki elektron, etkin Z yüküne sahip bir çekirdeğin yörüngesinde döner.  −  k burada k , iç kabuklardaki toplam elektron sayısıdır.

Kabuk modeli, 19. yüzyılın sonlarında elementlerin periyodik tablosunda kodlanan atomların gizemli özelliklerinin birçoğunu niteliksel olarak açıklayabildi . Bir özellik, yaklaşık olarak gazların viskozitesi ve saf kristal katıların yoğunluğu ölçülerek belirlenebilen atomların boyutuydu. Atomlar, periyodik tabloda sağa doğru küçülme ve tablonun bir sonraki satırında çok daha büyük olma eğilimindedir. Tablonun sağındaki atomlar elektron kazanma eğilimindeyken, solundaki atomlar onları kaybetme eğilimindedir. Tablonun son sütunundaki her element kimyasal olarak inerttir ( soy gaz ).

Kabuk modelinde bu fenomen, kabuk doldurma ile açıklanmaktadır. Ardışık atomlar küçülür, çünkü aynı büyüklükteki yörüngeleri yörünge dolana kadar doldururlar, bu noktada tablodaki bir sonraki atomun gevşek bir şekilde bağlı bir dış elektronu vardır ve bu da onun genişlemesine neden olur. İlk Bohr yörüngesi iki elektrona sahip olduğunda doldurulur, bu da helyumun neden eylemsiz olduğunu açıklar. İkinci yörünge sekiz elektrona izin verir ve dolduğunda atom neondur, yine eylemsizdir. Üçüncü orbital yine sekiz içerir, ancak daha doğru Sommerfeld işleminde (modern kuantum mekaniğinde yeniden üretilir) fazladan "d" elektronları vardır. Üçüncü yörünge fazladan 10 d elektron tutabilir, ancak bu konumlar bir sonraki seviyeden birkaç yörünge daha doldurulana kadar doldurulmaz (n=3 d yörüngelerin doldurulması 10 geçiş elemanı üretir ). Düzensiz doldurma paterni, Bohr veya Sommerfeld modellerinde dikkate alınmayan ve modern tedavide bile hesaplanması zor olan elektronlar arasındaki etkileşimlerin bir etkisidir.

Moseley yasası ve hesaplaması (K-alfa X-ışını emisyon çizgileri)

Niels Bohr 1962'de, "Görüyorsunuz, aslında Rutherford işi ciddiye alınmadı. Bugün anlayamıyoruz, ama hiç ciddiye alınmadı. Bundan hiçbir yerde bahsedilmedi. Büyük değişiklik Moseley'den geldi."

1913'te Henry Moseley , elektron bombardımanı altındaki atomlar tarafından yayılan en güçlü X-ışını çizgisi (daha sonra K-alfa çizgisi olarak bilinir ) ile atom numaraları Z arasında ampirik bir ilişki buldu . Moseley'in ampirik formülünün Rydberg ve Bohr'un formülünden türetilebilir olduğu bulundu (Moseley aslında modeller açısından sadece Ernest Rutherford ve Antonius Van den Broek'ten bahsediyor ). [1] Bu X-ışını çizgisinin kuantum sayıları 1 ve 2 olan enerji seviyeleri arasındaki bir geçişten geldiğine dair iki ek varsayım ve [2] , hidrojenden daha ağır atomlar için formülde kullanıldığında atom numarası Z'nin şu şekilde olması gerektiğidir. 1 azaltılarak ( Z  − 1) ^{2'ye düşürüldü} .

Moseley, Bohr'a yazdı, sonuçları hakkında şaşırdı, ama Bohr yardım edemedi. O zaman, varsayılan en içteki "K" elektron kabuğunun, sonucu düzgün bir şekilde açıklayacak olan iki değil, en az dört elektrona sahip olması gerektiğini düşündü. Moseley, teorik bir açıklama yapmadan sonuçlarını yayınladı.

Daha sonra insanlar, etkinin sadece 2 elektron içeren bir iç kabuk ile yük taramasından kaynaklandığını fark ettiler. Deneyde, atomdaki en içteki elektronlardan biri nakavt edilir ve en düşük Bohr yörüngesinde tek bir kalan elektron içeren bir boşluk bırakılır. Bu boşluk daha sonra n=2 olan bir sonraki yörüngeden gelen bir elektron tarafından doldurulur. Ancak n=2 elektronlar  , nükleer yükü + Z'yi taramak için en düşük Bohr yörüngesinde tek bir elektron kaldığında, çekirdeğin yükü için uygun değer olan Z − 1 etkin yükünü görür ve bunu − kadar düşürür. 1 (elektronun negatif yükünün nükleer pozitif yükü taramasından dolayı). İkinci kabuktan birinciye düşen bir elektronun kazandığı enerji, Moseley'in K-alfa çizgileri için yasasını verir,

${\displaystyle E=h\nu =E_{i}-E_{f}=R_{\mathrm {E} }(Z-1)^{2}\left({\frac {1}{1^{2 }}}-{\frac {1}{2^{2}}}\sağ)\,}$

veya

${\displaystyle f=\nu =R_{\mathrm {v} }\left({\frac {3}{4}}\sağ)(Z-1)^{2}=(2.46\times 10^{15 }\operatöradı {Hz} )(Z-1)^{2}.}$

Burada R _v = R _E / h , 3.28 x 10 ¹⁵ Hz'e eşit frekans cinsinden Rydberg sabitidir . 11 ile 31 arasındaki Z değerleri için bu son ilişki, X-ışını frekansının atom numarasına karşı karekökünün basit (doğrusal) bir çiziminde Moseley tarafından ampirik olarak türetilmiştir (ancak, gümüş için, Z = 47, deneysel olarak elde edilmiştir. tarama terimi 0.4 ile değiştirilmelidir). Kısıtlı geçerliliğine rağmen, Moseley yasası sadece atom numarasının nesnel anlamını kurmakla kalmadı, aynı zamanda Bohr'un belirttiği gibi, atomun Rutherford/Van den Broek/Bohr nükleer modelinin geçerliliğini kurmak için Rydberg türevinden daha fazlasını yaptı. Atom numarası (periyodik tablodaki yer) tüm nükleer yük birimlerini temsil eder.

K-alfa Moseley zaman çizgisi hemen (yazılır yakın çizgiler bir çift olduğu bilinen Ka ₁ ve Ka ₂ olarak) Siegbahn gösterimi .

eksiklikler

Bohr modeli , temel durum yörünge açısal momentumu için yanlış bir L = ħ değeri verir : Gerçek temel durumda açısal momentumun deneyden sıfır olduğu bilinmektedir. Zihinsel resimler bu ölçek seviyelerinde bir şekilde başarısız olsa da, yörüngesel momentumu olmayan en düşük modern "yörüngede" bulunan bir elektronun, çekirdeğin "etrafında" hiç dönmediği, sadece bir yörüngede sıkıca onun etrafında döndüğü düşünülebilir. sıfır alanlı elips (bu, çekirdeğe çarpmadan veya etkileşime girmeden "ileri geri" olarak resmedilebilir). Bu sadece Sommerfeld'inki gibi daha sofistike yarı-klasik bir tedavide yeniden üretilir. Yine de, en karmaşık yarı-klasik model bile, en düşük enerji durumunun küresel olarak simetrik olduğu gerçeğini açıklamakta başarısız oluyor – belirli bir yönü göstermiyor.

Bununla birlikte, faz uzayındaki modern tam kuantum işleminde , yarı-klasik sonucun uygun deformasyonu (dikkatli tam uzama), açısal momentum değerini doğru etkin olana ayarlar. Sonuç olarak, fiziksel temel durum ifadesi, küresel simetriye karşılık gelen, kaybolan kuantum açısal momentum ifadesinin bir kayması yoluyla elde edilir.

Modern kuantum mekaniğinde, hidrojendeki elektron , çekirdeğin yakınında yoğunlaşan küresel bir olasılık bulutudur . Hidrojende olasılık-azalma hız sabiti, Bohr yarıçapının tersine eşittir, ancak Bohr sıfır alanlı elipslerle değil de dairesel yörüngelerle çalıştığından, bu iki sayının tam olarak aynı olması gerçeği bir "tesadüf" olarak kabul edilir. (Ancak, atomun yarı-klasik ve tam kuantum mekaniksel işlemi arasında bu tür birçok rastlantısal anlaşma bulunur; bunlar hidrojen atomundaki özdeş enerji seviyelerini ve relativistik Bohr-Sommerfeld modelinden kaynaklanan bir ince yapı sabitinin türetilmesini içerir. (aşağıya bakınız) ve tam modern kuantum mekaniğinde tamamen farklı bir konsepte eşit olan).

Bohr modeli ayrıca aşağıdakileri açıklamakta güçlük çekiyor veya başka türlü açıklayamıyor:

• Daha büyük atomların spektrumlarının çoğu. En iyi ihtimalle, iki ek geçici varsayım yapılırsa , daha büyük atomlar için K-alfa ve bazı L-alfa X-ışını emisyon spektrumları hakkında tahminlerde bulunabilir. Tek bir dış kabuk elektronlu atomlar ( lityum grubundaki atomlar) için emisyon spektrumları da yaklaşık olarak tahmin edilebilir. Ayrıca, birçok atom için ampirik elektron-nükleer tarama faktörleri biliniyorsa, Ritz-Rydberg kombinasyon ilkeleri yoluyla, farklı elementlerin benzer atomlarındaki bilgilerden birçok başka spektral çizgi çıkarılabilir (bkz. Rydberg formülü ). Bütün bu teknikler esasen Bohr'un atomun Newtoncu enerji-potansiyel resmini kullanır.
• spektral çizgilerin göreli yoğunlukları; Her ne kadar bazı basit durumlarda, Bohr'un formülü veya onun modifikasyonları makul tahminler sağlayabildi (örneğin, Kramers tarafından Stark etkisi için yapılan hesaplamalar ).
• Elektron spininden kaynaklanan komplikasyonların yanı sıra çeşitli göreli ve süptil etkilerden kaynaklandığı bilinen spektral çizgilerde ince yapı ve aşırı ince yapının varlığı .
• Zeeman etkisi - dışsal spektral çizgiler değişiklikler manyetik alanlar ; bunlar ayrıca elektron dönüşü ve yörüngesel manyetik alanlarla etkileşime giren daha karmaşık kuantum ilkelerinden kaynaklanmaktadır.
• Model ayrıca, elektronların aynı anda ölçülemeyen iki şey olan bilinen yörüngelere ve konumlara sahip olduğunu düşündüğü için belirsizlik ilkesini de ihlal ediyor .
• Bazı atomların spektrumlarında çiftler ve üçlüler çok yakın çizgi çiftleri olarak görünür. Bohr'un modeli, bazı enerji seviyelerinin neden birbirine çok yakın olması gerektiğini söyleyemez.
• Çok elektronlu atomlar, model tarafından tahmin edilen enerji seviyelerine sahip değildir. (Nötr) helyum için çalışmaz.

İyileştirmeler

Bohr modelinde, en önemlisi, elektronların Bohr modelinin dairesel yörüngeleri yerine bir çekirdeğin etrafındaki eliptik yörüngelerde hareket ettiğini öne süren Sommerfeld veya Bohr-Sommerfeld modelleri olmak üzere çeşitli geliştirmeler önerildi . Bu model, Bohr modelinin nicelenmiş açısal momentum koşulunu ek bir radyal nicemleme koşulu olan Wilson – Sommerfeld nicemleme koşuluyla destekledi.

${\displaystyle \int _{0}^{T}p_{r}\,dq_{r}=nh\,}$

burada p _r radyal momentumdur , radyal konum olan q koordinatına kanonik olarak eşleniktir ve T bir tam yörünge periyodudur. Yekparedir aksiyon ait aksiyon açı koordinatları . Karşılık ilkesi tarafından önerilen bu koşul, kuantum sayıları adyabatik değişmezler olduğundan, mümkün olan tek koşuldur .

Bohr-Sommerfeld modeli temelde tutarsızdı ve birçok paradoksa yol açtı. Manyetik kuantum sayısı için yörünge düzleminin eğimi ölçülen xy -plane ve bu sadece birkaç ayrık değerler alabilir. Bu, bir atomun herhangi bir kısıtlama olmaksızın bu şekilde ve koordinatlara göre döndürülebileceği açık gerçeğiyle çelişiyordu. Sommerfeld kuantizasyonu farklı kanonik koordinatlarda gerçekleştirilebilir ve bazen farklı cevaplar verir. Radyasyon düzeltmelerinin dahil edilmesi zordu, çünkü radyasyonun kaçmasına izin verildiğinde zor olan birleşik bir radyasyon/atom sistemi için hareket açısı koordinatlarını bulmayı gerektiriyordu. Bütün teori, integrallenemeyen hareketlere kadar uzanmıyordu, bu da birçok sistemin prensipte bile ele alınamayacağı anlamına geliyordu. Sonunda, modelin yerini ilk kez 1925'te Wolfgang Pauli tarafından Heisenberg'in matris mekaniği kullanılarak verilen hidrojen atomunun modern kuantum mekaniksel işlemi aldı . Hidrojen atomunun mevcut resim dayanır atomik yörüngelerin arasında dalga mekaniği Erwin Schrödinger 1926'da geliştirildi.

Ancak bu, Bohr-Sommerfeld modelinin başarılarının olmadığı anlamına gelmez. Bohr-Sommerfeld modeline dayalı hesaplamalar, bir dizi daha karmaşık atomik spektral etkiyi doğru bir şekilde açıklayabildi. Örneğin, birinci dereceden bozulmalara kadar , Bohr modeli ve kuantum mekaniği, Stark etkisindeki spektral çizgi bölünmesi için aynı tahminleri yapar. Bununla birlikte, daha yüksek dereceli bozulmalarda, Bohr modeli ve kuantum mekaniği farklıdır ve yüksek alan kuvvetleri altında Stark etkisinin ölçümleri, Bohr modeline göre kuantum mekaniğinin doğruluğunu doğrulamaya yardımcı oldu. Bu farkın arkasındaki hakim teori, elektronların enerji durumuna göre değişen elektron yörüngelerinin şekillerinde yatmaktadır.

Bohr-Sommerfeld niceleme koşulları, modern matematikte sorulara yol açar. Tutarlı yarı-klasik niceleme koşulu, nicemlenebilen simplektik manifold türleri üzerinde topolojik sınırlamalar getiren faz uzayı üzerinde belirli bir yapı tipi gerektirir. Özellikle, simplektik şekilde olmalıdır kavis şekli a bağlantısının a Hermitesel hattı demetinin bir denir prequantization .

Bohr ayrıca 1922'de belirli sayıda elektronun (örneğin 2, 8 ve 18) kararlı " kapalı kabuklara " karşılık geldiğini varsayarak modelini güncelledi .

Kimyasal bağın modeli

Niels Bohr bir atom modeli ve bir kimyasal bağ modeli önerdi . İki atomlu bir molekül modeline göre , molekülün atomlarının elektronları, düzlemi molekülün eksenine dik ve atom çekirdeğinden eşit uzaklıkta olan dönen bir halka oluşturur. Dinamik denge, moleküler sisteminin elektron halka düzleminin çekirdekleri karşılıklı itme güçlerine çekirdeklerinin çekim güçleri arasındaki kuvvetlerin dengesi yoluyla elde edilir. Kimyasal bağın Bohr modeli, Coulomb itmesini hesaba kattı - halkadaki elektronlar birbirinden maksimum uzaklıkta.

Ayrıca bakınız

1913 bilimde Balmer Sabiti Franck Hertz Deneyi Bohr modeli için erken destek sağladı.

Serbest düşüş atom modeli Atıl çift etkisi yeterli Bohr modeli ile açıklanmaktadır. Kuantum mekaniğine giriş Schrödinger denklemi için teorik ve deneysel doğrulama

Referanslar

Dipnotlar

Birincil kaynaklar

• Niels Bohr (1913). "Atomların ve Moleküllerin Yapısı Üzerine, Bölüm I" (PDF) . Felsefe Dergisi . 26 (151): 1-24. Bibcode : 1913PMag...26....1B . doi : 10.1080/14786441308634955 .
• Niels Bohr (1913). "Atomların ve Moleküllerin Yapısı Üzerine, Sadece Tek Bir Çekirdek İçeren Kısım II Sistemler" (PDF) . Felsefe Dergisi . 26 (153): 476-502. Bibcode : 1913PMag...26..476B . doi : 10.1080/14786441308634993 .
• Niels Bohr (1913). "Atomların ve Moleküllerin Yapısı Üzerine, Bölüm III, birkaç çekirdek içeren Sistemler" . Felsefe Dergisi . 26 : 857-875. Bibcode : 1913PMag...26..857B . doi : 10.1080/14786441308635031 .
• Niels Bohr (1914). "Helyum ve hidrojen spektrumları" . Doğa . 92 (2295): 231–232. Bibcode : 1913Natur..92..231B . doi : 10.1038/092231d0 . S2CID  11988018 .
• Niels Bohr (1921). "Atomik Yapı" . Doğa . 107 (2682): 104-107. Bibcode : 1921Natur.107..104B . doi : 10.1038/107104a0 . S2CID  4035652 .
• A. Einstein (1917). "Zum Quantensatz von Sommerfeld ve Epstein". Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft . 19 : 82-92.The Collected Papers of Albert Einstein , A. Engel çevirmeni, (1997) Princeton University Press, Princeton'da yeniden basılmıştır . 6 s. 434. (Bohr-Sommerfeld niceleme koşullarının zarif bir yeniden formüle edilmesinin yanı sıra, integrallenemeyen (kaotik) dinamik sistemlerin nicemlenmesine ilişkin önemli bir içgörü sağlar.)

daha fazla okuma

• Linus Carl Pauling (1970). "Bölüm 5-1". Genel Kimya (3. baskı). San Francisco: WH Freeman & Co.
  • Yeniden basım: Linus Pauling (1988). Genel Kimya . New York: Dover Yayınları. ISBN'si 0-486-65622-5.
• George Gamow (1985). "Bölüm 2". Fiziği Sarsan Otuz Yıl . Dover Yayınları.
• Walter J. Lehmann (1972). "Bölüm 18". Atomik ve Moleküler Yapı: kavramlarımızın gelişimi . John Wiley ve Oğulları. ISBN'si 0-471-52440-9.
• Paul Tipler ve Ralph Llewellyn (2002). Modern Fizik (4. baskı). WH Freeman. ISBN'si 0-7167-4345-0.
• Klaus Hentschel : Elektronenbahnen, Quantensprünge und Spektren, içinde: Charlotte Bigg & Jochen Hennig (ed.) Atombilder. Ikonografien des Atoms in Wissenschaft und Öffentlichkeit des 20. Jahrhunderts, Göttingen: Wallstein-Verlag 2009, s. 51–61
• Steven ve Susan Zumdahl (2010). "Bölüm 7.4". Kimya (8. baskı). Brooks/Cole. ISBN'si 978-0-495-82992-8.
• Helge Kragh (2011). "Bohr atom teorisine kavramsal itirazlar - elektronların "özgür iradesi" var mı? Avrupa Fiziksel Dergisi H . 36 (3): 327–352. Bibcode : 2011EPJH...36..327K . doi : 10.1140/epjh/e2011-20031-x . S2CID  120859582 .

Dış bağlantılar

• Bohr'un atom modelinde duran dalgalar Bohr'un atom modunda duran dalgaların nicemleme durumunu sezgisel olarak açıklamak için etkileşimli bir simülasyon