ikiye bölme - Bisection

DE doğrusu AB doğrusunu D noktasında ikiye böler, EF doğrusu AD doğrusunun C noktasındaki dik açıortayıdır ve EF doğrusu AED dik açısının iç açıortayıdır

İn geometrisi , ikiye bölme , iki eşit ya da içine bir şeyin bölümüdür uyumlu genellikle ile, parça hattı daha sonra denir açıortay . En sık düşünülen açıortay türleri, segment açıortay (belirli bir parçanın orta noktasından geçen bir çizgi ) ve açıortaydır (bir açının tepesinden geçen ve onu iki eşit açıya bölen bir çizgi ).

Olarak üç boyutlu uzayda , ikiye bölme, genellikle, bir düzlem tarafından yapılan olarak da adlandırılır açıortay veya ortadan ayırıcı düzlem .

Dikey çizgi segmenti açıortay

Tanım

Bir doğru parçasının dik açıortay

• Dikey bir çizgi parçası açıortay onun segmenti uygun bir çizgi, bir orta dik.

Bir doğru parçasının dik açıortay ayrıca her noktasının parçanın uç noktalarından eşit uzaklıkta olması özelliğine sahiptir : (D) . ${\ Displaystyle AB}$${\görüntüleme stili X}$
${\displaystyle \dörtlü |XA|=|XB|}$

Kanıt ve Pisagor teoremi aşağıdaki gibidir : ${\displaystyle |MA|=|MB|}$

${\displaystyle |XA|^{2}=|XM|^{2}+|MA|^{2}=|XM|^{2}+|MB|^{2}=|XB|^{2} \;.}$

Özellik (D) genellikle bir dik açıortayın inşası için kullanılır:

Düz kenar ve pusula ile inşaat

Düz kenar ve pusula ile inşaat

Klasik geometride, ikiye bölme, olasılığı eşit yarıçaplı ve farklı merkezlerde daireler çizme yeteneğine bağlı olan basit bir pusula ve cetvel yapısıdır :

Segment , merkezleri segmentin uç noktaları olan eşit yarıçaplı kesişen daireler çizilerek ikiye bölünür . İki dairenin kesişme noktaları tarafından belirlenen çizgi, parçanın dik açıortayıdır. Bisektörün yapımı, doğru parçasının orta noktası bilgisi olmadan yapıldığından , yapı, açıortay ve doğru parçasının kesişimi olarak belirlemek için kullanılır . ${\ Displaystyle AB}$${\displaystyle r>{\tfrac {1}{2}}|AB|}$
${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili M}$

Bir yapım Bu yapı, aslında kullanılan belli bir doğruya dik çizgi bir de verilen bir nokta : ise merkezi bir daire çizim çizgiyi kestiği şekilde iki noktada ve inşa edilmesi için dik bir bölümü ortadan ayırıcı bir tanesidir . ${\görüntüleme stili g}$ ${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili A,B}$${\ Displaystyle AB}$

denklemler

Eğer iki nokta pozisyonu vektörleri , daha sonra orta noktası ve vektör a, normal vektör dik çizgi parçası açıortay. Dolayısıyla vektör denklemi . Denklemin eklenmesi ve genişletilmesi vektör denklemine yol açar ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}$${\görüntüleme stili A,B}$${\displaystyle M:{\vec {m}}={\tfrac {{\vec {a}}+{\vec {b}}}{2}}}$${\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}}$${\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {m}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})=0}$${\displaystyle {\vec {m}}=\cdots }$

(V) ${\displaystyle \quad {\vec {x}}\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})={\tfrac {1}{2}}({\vec {a}} ^{2}-{\vec {b}}^{2}).}$

Biri ile denklemi koordinat biçiminde alır: ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2}),B=(b_{1},b_{2})}$

(C) ${\displaystyle \quad (a_{1}-b_{1})x+(a_{2}-b_{2})y={\tfrac {1}{2}}(a_{1}^{2}- b_{1}^{2}+a_{2}^{2}-b_{2}^{2})\;.}$

Veya açıkça:
(E) , nerede , , ve . ${\displaystyle \dörtlü y=m(x-x_{0})+y_{0}}$
${\displaystyle \;m=-{\tfrac {b_{1}-a_{1}}{b_{2}-a_{2}}}}$${\displaystyle \;x_{0}={\tfrac {1}{2}}(a_{1}+b_{1})\;}$${\displaystyle \;y_{0}={\tfrac {1}{2}}(a_{2}+b_{2})\;}$

Uygulamalar

Çeşitli geometrik problemleri çözmek için dik doğru parçası açıortayları kullanıldı:

1. Thales çemberinin merkezinin inşası ,
2. Bir üçgenin Excircle merkezinin oluşturulması ,
3. Voronoi diyagramı sınırları, bu tür doğruların veya düzlemlerin bölümlerinden oluşur.

açıortay düzlemi

Uzayda dik doğru parçası bisektörleri

• Dikey bir çizgi parçası açıortay a, düzlem olarak segmenti uygun, orta dik.

Vektör denklemi, kelimenin tam anlamıyla düzlem durumundakiyle aynıdır:

(V) ${\displaystyle \quad {\vec {x}}\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})={\tfrac {1}{2}}({\vec {a}} ^{2}-{\vec {b}}^{2}).}$

Biri ile denklemi koordinat biçiminde alır: ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2},a_{3}),B=(b_{1},b_{2},b_{3})}$

(C3) ${\displaystyle \quad (a_{1}-b_{1})x+(a_{2}-b_{2})y+(a_{3}-b_{3})z={\tfrac {1}{2 }}(a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+a_{2}^{2}-b_{2}^{2}+a_{3}^{2}-b_{ 3}^{2})\;.}$

Özellik (D) (yukarıya bakın) uzayda da tam anlamıyla doğrudur:
(D) Bir doğru parçasının dik açıortay düzlemi herhangi bir nokta için şu özelliğe sahiptir: . ${\ Displaystyle AB}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \;|XA|=|XB|}$

açıortay

Bir pergel ve cetvel kullanarak bir açının ikiye bölünmesi

Bir açı açıortay ile İki açıda açısını böler eşit tedbirler. Bir açının sadece bir bisektörü vardır. Bir açıortayın her noktası, açının kenarlarından eşit uzaklıktadır.

İç veya iç açıortay bir açı çizgisi olan yarım hat veya hat segmenti bu bölme iki eşit açılarda az 180 ° 'lik bir açı. Dış ya da dış açıortay bölme satır olan tamamlayıcı açı (180 ° eksi orijinal açının), iki eşit açılarda, orijinal açısı ve diğer tarafın uzantısı şeklinde bir tarafı ile temsil edilmektedir.

Bir açıyı pergel ve cetvelle ikiye bölmek için , merkezi tepe noktası olan bir daire çizilir. Daire açıyla iki noktada buluşur: her bacakta bir tane. Bu noktaların her birini merkez olarak kullanarak aynı boyutta iki daire çizin. Dairelerin kesişimi (iki nokta), açıortay olan bir çizgiyi belirler.

Bu yapının doğruluğunun kanıtı, problemin simetrisine dayanarak oldukça sezgiseldir. Açının triseksiyon (üç eşit parçaya bölünmesi) (bu, ilk olarak kanıtlanmıştır pusula ve tek başına cetvel ile elde edilemez Pierre Wantzel ).

Bir açının iç ve dış açıortayları birbirine diktir . Açı, cebirsel olarak verilen iki çizgiden oluşuyorsa ve daha sonra iç ve dış açıortaylar iki denklemle verilir. ${\displaystyle l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0}$${\displaystyle l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0,}$

${\displaystyle {\frac {l_{1}x+m_{1}y+n_{1}}{\sqrt {l_{1}^{2}+m_{1}^{2}}}}=\ öğleden sonra {\frac {l_{2}x+m_{2}y+n_{2}}{\sqrt {l_{2}^{2}+m_{2}^{2}}}}.}$

Üçgen

Eşzamanlılıklar ve eşdoğrusallıklar

Bir iç açıortay üçgen olan eşzamanlı olarak adlandırılan bir noktada incenter yandaki diyagramda görüldüğü gibi, üçgenin.

İki dış açının açıortayı ile diğer iç açının açıortayları eşzamanlıdır.

Üç kesişme noktaları, ters bir dış açı açıortay her uzun yan vardır kolineer (birbirleriyle aynı hat üzerinde düşme).

İkisi bir iç açıortay ile karşı kenar arasında ve üçüncüsü diğer dış açıortay ile uzatılmış karşı kenar arasında olmak üzere üç kesişme noktası eşdoğrusaldır.

açıortay teoremi

Bu şemada, BD:DC = AB:AC.

Açıortay teoremi, bir üçgenin kenarının zıt açıyı ikiye bölen bir çizgiyle bölündüğü iki parçanın göreli uzunluklarıyla ilgilidir . Göreceli uzunluklarını üçgenin diğer iki tarafının göreli uzunluklarına eşitler.

uzunluklar

Bir üçgenin kenar uzunlukları ise , yarım çevre ve A, karşı tarafın açıları ise , o zaman A açısının iç açıortayının uzunluğu ${\görüntüleme stili a,b,c}$${\görüntüleme stili s=(a+b+c)/2,}$${\görüntüleme stili bir}$

${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {bcs(sa)}}}{b+c}},}$

veya trigonometrik terimlerle,

${\displaystyle {\frac {2bc}{b+c}}\cos {\frac {A}{2}}.}$

ABC üçgeninde A açısının iç açıortayının uzunluğu varsa ve bu açıortay A'nın karşısındaki kenarı m ve n uzunluklu parçalara bölerse , ${\görüntüleme stili t_{a}}$

${\displaystyle t_{a}^{2}+mn=bc}$

burada b ve c , B ve C köşelerinin karşısındaki kenar uzunluklarıdır; ve A'nın karşısındaki kenar b : c oranında bölünür .

A, B ve C açılarının iç açıortaylarının uzunlukları ve , o zaman ${\görüntüleme stili t_{a},t_{b},}$${\görüntüleme stili t_{c}}$

${\displaystyle {\frac {(b+c)^{2}}{bc}}t_{a}^{2}+{\frac {(c+a)^{2}}{ca}}t_{ b}^{2}+{\frac {(a+b)^{2}}{ab}}t_{c}^{2}=(a+b+c)^{2}.}$

Hiçbir iki uyumlu olmayan üçgen, aynı üç iç açıortay uzunluğunu paylaşmaz.

tamsayı üçgenler

Orada var rasyonel açı açıortay ile üçgen tamsayı .

dörtgen

Bir dışbükey dörtgenin iç açıortayları, ya döngüsel bir dörtgen oluşturur (yani, bitişik açıortayların dört kesişme noktası konsikliktir ) ya da eşzamanlıdırlar . İkinci durumda, dörtgen teğetsel bir dörtgendir .

Eşkenar dörtgen

Bir eşkenar dörtgenin her köşegeni zıt açıları ikiye böler.

Teğet olmayan dörtgen

Bir bölgesinin dış merkezli eski teğet dörtgen altı açısı bisectors kesiştiği yer alır. Bunlar, iki zıt köşe açısında iç açıortaylar, diğer iki köşe açısında dış açıortaylar (tamamlayıcı açıortaylar) ve karşı kenarların uzantılarının kesiştiği yerde oluşan açılarda dış açıortaylardır .

Parabol

Teğet a parabol herhangi bir noktada odak noktası ve noktadan hat ve birleştirme hattı arasındaki açıyı ikiye bölen dikey doğrultman için.

Bir çokgenin kenarlarının açıortayları

Üçgen

medyanlar

Bir üçgenin üç medyanının her biri, bir tepe noktasından ve karşı tarafın orta noktasından geçen bir doğru parçasıdır , bu yüzden o tarafı ikiye böler (genel olarak dik olmasa da). Üç medyan , düzgün yoğunluğa sahipse kütle merkezi olan üçgenin ağırlık merkezi olarak adlandırılan bir noktada birbirini keser ; böylece bir üçgenin merkezinden geçen herhangi bir çizgi ve köşelerinden biri karşı tarafı ikiye böler. Merkez noktası, herhangi bir kenarın orta noktasına, karşı köşeye göre iki kat daha yakındır.

dik açıortaylar

Bir üçgenin bir kenarının iç dik açıortay, o kenarı dik olarak ikiye bölen doğrunun, tamamen üçgenin üzerine ve içine düşen doğru parçasıdır. Bir üçgen üç tarafı üç dikey bisectors kesişen circumcenter (üç köşe vasıtasıyla çemberin merkezi). Böylece, bir üçgenin çevre merkezinden geçen ve bir kenara dik olan herhangi bir çizgi, o tarafı ikiye böler.

Dar bir üçgende çevre merkezi , en kısa iki kenarın iç dik açıortaylarını eşit oranlarda böler. Geniş bir üçgende , en kısa iki kenarın dik açıortayları (karşıt üçgen kenarlarının ötesine, çevre merkezine doğru uzatılır), kesişen üçgen kenarlarına eşit oranlarda bölünür.

Herhangi bir üçgen için dahili dik bisectors tarafından verilir ve kenarları olduğu ve alandır${\displaystyle p_{a}={\tfrac {2aT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$ ${\displaystyle p_{b}={\tfrac {2bT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$${\displaystyle p_{c}={\tfrac {2cT}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},}$${\displaystyle a\geq b\geq c}$${\görüntüleme stili T.}$

dörtgen

Bir dışbükey dörtgenin iki bimedyanı , karşı tarafların orta noktalarını birleştiren, dolayısıyla her biri iki tarafı ikiye bölen doğru parçalarıdır. İki bimedyan ve köşegenlerin orta noktalarını birleştiren doğru parçası, "köşe merkezi" adı verilen bir noktada eşzamanlıdır ve hepsi bu nokta tarafından ikiye bölünür.

Bir dışbükey dörtgenin dört "maltitude", karşı tarafın orta noktasından geçen bir kenara dik açılardır, dolayısıyla ikinci tarafı ikiye böler. Dörtgen döngüsel ise (bir daire içine yazılmıştır), bu maltitude'lar "antimerkez" olarak adlandırılan ortak bir noktada (hepsi bir araya geldiğinde) eşzamanlıdır .

Brahmagupta teoremi , döngüsel bir dörtgen ortodiyagonal ise (yani, dik köşegenlere sahipse ), köşegenlerin kesişme noktasından bir tarafa dik olanın her zaman karşı tarafı ikiye böldüğünü belirtir .

Dik açıortay yapı bir dörtgenin iki dik bisectors bir dörtgen oluşturur.

Alan bisektörleri ve çevre bisektörleri

Üçgen

Bir üçgenin alanını ikiye bölen sonsuz sayıda doğru vardır . Üçü olan medyan (zıt köşeleri ile tarafın orta noktalarını bağlamak) üçgenin ve bunlar eşzamanlı üçgenin de ağırlık merkezi ; gerçekten de, merkez noktasından geçen tek alan açıortaylardır. Diğer üç alan açıortay üçgenin kenarlarına paraleldir; bunların her biri diğer iki kenarı orantıları ile parçalara ayıracak şekilde keser . Bu altı çizgi aynı anda üç tanedir: üç medyanın eşzamanlı olmasına ek olarak, herhangi bir medyan iki yan paralel alan açıortayıyla eşzamanlıdır. ${\displaystyle {\sqrt {2}}+1:1}$

Zarf alanı bisectors sonsuzluk a, deltoid (iç noktaları Dışbükey olmayan resim yapma geniş deltoid dış bükey olan doğrular ile birleştirilen üç köşede bir şekil olarak tarif). Deltoidin köşeleri medyanların orta noktalarındadır; deltoid içindeki tüm noktalar üç farklı alan açıortayı üzerindeyken, bunun dışındaki tüm noktalar sadece bir alan üzerindedir. [1] deltoid kenarları arasında yay olan hiperbolik olan asimptotik üçgenin uzun kenarlarına. Alan açıortaylarının zarf alanının üçgenin alanına oranı tüm üçgenler için değişmezdir ve yani 0.019860'a eşittir ... veya %2'den azdır. ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\log _{e}(2)-{\tfrac {1}{2}},}$

Bir satır bir üçgenin ayıran bir çizgi parçasının olan çevre üçgenin üç taraftan bir orta noktasında bir bitiş noktası vardır. Üç balta hemfikir (aracılığıyla tüm geçiş) de Spieker dairenin merkezi olup, incircle ait medyal üçgen . Kesiciler açıortaylara paraleldir.

Bir üçgenin ayırıcısı , üçgenin üç köşesinden birinde bir bitiş noktasına sahip olan ve çevresini ikiye bölen bir doğru parçasıdır. Üç bölücü , üçgenin Nagel noktasında hemfikirdir .

Her iki üçgenin alanı ve yarısında çemberi böler bir üçgenin içinden herhangi bir satır üçgenin incenter (onun merkezi geçer incircle ). Herhangi bir üçgen için bunlardan bir, iki veya üç tane vardır. Merkezden geçen bir çizgi, ancak ve ancak diğerini de ikiye bölüyorsa, alan veya çevreden birini ikiye böler.

Paralelkenar

Bir paralelkenarın orta noktasından geçen herhangi bir doğru , alanı ve çevreyi ikiye böler.

Daire ve elips

Bir dairenin veya başka bir elipsin tüm alan açıortayları ve çevre açıortayları merkezden geçer ve merkezden geçen tüm kirişler alanı ve çevreyi ikiye böler. Bir daire halinde olduklarını çapları çemberin.

köşegen açıortayı

Paralelkenar

Diyagonallere paralelkenarın birbirini ikiye bölmek.

dörtgen

Bir dörtgenin köşegenlerini birleştiren bir doğru parçası her iki köşegeni de ikiye bölüyorsa, bu doğru parçasının kendisi ( Newton Doğrusu ) tepe merkezi tarafından ikiye bölünür .

Hacim bisektörleri

Bir tetrahedronun karşılıklı iki kenarını belirli bir oranda bölen bir düzlem, tetrahedronun hacmini de aynı oranda böler. Bu nedenle, bir tetrahedronun bir bimedyanını (karşıt kenarların orta noktalarının birleştiricisi) içeren herhangi bir düzlem, tetrahedronun hacmini ikiye böler.

Referanslar

Dış bağlantılar

• AçıOrtay de kesme-düğüm
• Açı Bisektör tanımı. Etkileşimli uygulama ile Matematik Açık Referansı
• Çizgi Bisektör tanımı. Etkileşimli uygulama ile Matematik Açık Referansı
• Dikey Çizgi Bisektörü. Etkileşimli uygulama ile
• Bir açıyı ikiye bölme ve bir çizgiyi ikiye bölme için animasyonlu talimatlar Pusula ve cetvel kullanma
• Weisstein, Eric W. "Çizgi Bisektörü" . Matematik Dünyası .

Bu makale , Creative Commons Atıf/Benzer Paylaşım Lisansı altında lisanslanan PlanetMath üzerindeki Angle bisector'dan alınan materyalleri içermektedir .