olasılık gösterimde Büyük O - Big O in probability notation

Olasılık olarak sipariş gösterimde kullanılan olasılık teorisi ve istatistiksel teori doğrudan paralel Büyük O gösterimde standarttır matematik . Nerede büyük O gösterimi dizileri veya sıradan sayı kümelerinin yakınsaması ile fırsatlar, olasılık gösterimde sırası ile ilgilenen rastgele değişkenlerin setlerinin yakınlaşma , yakınsama anlamında olduğu olasılık yakınlaşma .

Tanımlar

Küçük Ç: olasılıkta yakınsama

Rastgele değişkenler bir dizi için X, _n ve sabitler karşılık gelen bir dizi , bir _N (her ikisi tarafından dizine n ayrık olması gerekli değildir), hangi, gösterim

${\ Displaystyle X_ {n} = o_ {s} (a_ {n})}$

değerler grubu anlamına gelir X _n / a _n olarak olasılık sıfıra indiği görülmektedir n, uygun bir sınıra. Aynı şekilde, X, _n = O _p ( bir _n ) şu şekilde yazılabilir X _n / a _n  = o _p (1), X _{, n} = O _p (1) gibi tanımlanmıştır,

${\ Displaystyle \ lim _ {n \} P infty \ olarak (| X_ {n} | \ geq \ varepsilon) = 0},$

Her pozitif £ değerinin için.

Büyük O: stokastik sınırlılık

notasyonu,

${\ Displaystyle X_ {n} = O '{s} (a_ {n})},$

değerler grubu anlamına gelir X _n / a _n, stokastik sınırlanmaktadır. Yani, herhangi bir £ değerinin> 0 için, olduğu bir sonlu M> 0 ve sonlu bir N> 0 sağlanmış olur,

${\ Displaystyle P (| X_ {n} / a_ {n} |> E). <\ Varepsilon, \ \ n forall'dır> K}$

İki tanımlarının karşılaştırılması

tanımı arasındaki fark göze çarpar. tek limit tanımını kullanıyorsa, bir alır:

• Büyük O _p (1):$X_ {n} | | \ geq \ ö _ {\ varepsilon {\ displaystyle \ forall'dır \ varepsilon \ dört \ K _ {\ varepsilon} \ ö _ {\ varepsilon} \ dört {\ metni {örneğin}} P (var }) \ leq \ varepsilon \ dört \ n forall'dır> N _ {\ varepsilon}}$
• Küçük o _p (1):${\ Displaystyle \, \ ö \ dört \ N var \ varepsilon forall'dır _ {\ varepsilon, \ ö} \ dört {\ metni {örneğin}} P (| X_ {n} | \ geq \ ö) \ leq \ varepsilon \ dörtlü \ n forall'dır> N _ {\ varepsilon, \ ö}}$

Fark, ö yatmaktadır: stokastik sınırlılık için, bu eşitsizlik karşılamak için bir (Rastgele büyük bir) ö var olduğunu yeterli ve δ (dolayısıyla δ £ değerinin bağımlı bırakılır _ε ). Diğer taraftan, yakınlaşma için, deyim sadece biri için korumalıdır, ancak herhangi (keyfi küçük) ö için. Bir anlamda, bu dizi numune boyutu arttıkça daha küçük alır bir bağlı olan, sınırlı olması gerektiği anlamına gelir.

Bu dizi, O ise düşündürmektedir _p (1), daha sonra O, _P (1), örneğin, olasılıkta yakınsama stokastik sınırlılık ifade eder. Ama tersi tutmaz.

Örnek

Eğer her bir elemanı daha sonra, sonlu varyans sahip olduğu bir stokastik sekansı şekildedir ${\ Displaystyle (X_ {n})}$

${\ Displaystyle X_ {n} -E (X_ {n}) = O '{s} ({\ sqrt {\ operatorname {var} (X_ {n})}})}$

(Teoremi 14,4-1 Bishop ve arkadaşları bakınız).

Eğer, dahası, bir sekans için boş dizisidir gerçek sayıların ardından tarafından olasılık sıfıra indiği görülmektedir Chebyshev eşitsizliği böylece, ${\ Displaystyle a_ {n} ^ {- 2} \ operatorname {var} (X_ {n}) = \ operatorname {var} (a_ {n} ^ {1 -} X_ {n})}$${\ Displaystyle (a_ {n})}$${\ Displaystyle a_ {n} ^ {1 -} (X_ {n} -E (X_ {n}))}$

${\ Displaystyle X_ {n} -E (X_ {n}) = o_ {s} (a_ {n})}$.

Referanslar