Basu teoremi - Basu's theorem
Gelen istatistik , Basu teoremi herhangi belirtiyor sınırlı s tam yeterli istatistik ise bağımsız herhangi birinin yardımcı istatistik . Bu bir 1955 sonucudur Debabrata Basu .
Genellikle ilk bir göstererek, iki istatistik bağımsız kanıtlamak için bir araç olarak istatistikte kullanılan yeterli tamamlanmıştır ve sonra diğer teoremine çekici, yardımcı olan. Bunun bir örneği, örnek ortalaması ve bir normal dağılım örnek varyansı yapılır bağımsız istatistikler, olduğunu göstermek için , Örnek , aşağıdaki bölümde. Bu özellik (örnek ortalama ve örnek varyans bağımsızlığı) Normal dağılımlar karakterize etmektedir.
içindekiler
Beyan
Let bir üzerinde dağılımların bir aile olmak ölçülebilir uzay ve gelen ölçülebilir haritalar bazı ölçülebilir uzaya . (Bu tür dönüşümler bir adlandırılır istatistik ). Eğer bir sınırlı s tam yeterli bir istatistik ve üzere yardımcı olan , daha sonra bağımsızdır .
Kanıt
Let ve olmak marjinal dağılımlar içinde ve sırasıyla.
Ifade tarafından öngörüntü kümesinin Haritanın altında . Herhangi ölçülebilir kümesi için elimizdeki
Dağıtım bağlı değildir NEDENİYLE yardımcı olduğunu. Aynı şekilde, bağlı değildir çünkü yeterlidir. bu nedenle
İntegrali (entegre iç fonksiyonu) bir fonksiyonudur Not olup . Bu nedenle, çünkü işlevi tamamlamak sınırlı s olduğu
için sıfırdır neredeyse tüm değerlerine ve dolayısıyla
Neredeyse herkes için . Bu nedenle, bağımsız .
Örnek
örnek bağımsızlığı ortalama ve bir normal dağılım örnek varyans bilinmektedir (varyans)
Let X 1 , X 2 , ..., X n olmak özdeş dağıtılmış, bağımsız , normal rasgele değişkenler ile ortalama μ ve varyansı σ 2 .
Daha sonra parametreye göre μ , bir o gösterebilir
hepsi bir tahmin etmek türetmek bilgilerdir - ortalama numune, tam yeterli bir istatistiktir ^ ı, ve daha fazla - ve
Numune varyans, bir yardımcı istatistik ise - dağıtım bağlı değildir u.
Bu nedenle, Basu teoremi gelen istatistik bağımsız olduğunu izler.
Bu bağımsızlık sonuç da kanıtlanmış edilebilir Cochran teoremi .
Ayrıca, bu özellik (örnek ortalaması ve normal dağılımın örnek varyansı bağımsız olduğunu) karakterize , normal dağılım - Başka dağıtımı bu özelliğine sahiptir.
notlar
Referanslar
- Basu, D. (1955). "Komple Yeterli İstatistiğin On İstatistik Bağımsız". Sankhyā . 15 (4): 377-380. JSTOR 25048259 . MR 0.074.745 . ZBL 0068.13401 .
- Mukhopadhyay, Nitis (2000). Olasılık ve İstatistik Çıkarım . İstatistikler: Ders Kitapları ve Monograflarda A Serisi. 162 . Florida: CRC Press ABD. ISBN 0-8247-0379-0 .
- Boos, Dennis D .; Oliver Jacqueline M. Hughes (Ağustos 1998). "Basu Teoremi Uygulamaları". Amerikan İstatistikçi . Boston: Amerikan İstatistiksel Derneği . 52 (3): 218-221. doi : 10,2307 / 2685927 . JSTOR 2685927 . MR 1.650.407 .
- Ghosh, Malayca (Ekim 2002). "Uygulamalar ile Basu Teoremi: içindeki kişisel İnceleme". Sankhyā: İstatistik Hint Dergisi, Seri A . 64 (3): 509-531. JSTOR 25051412 . MR 1.985.397 .