Otoregresif-hareketli ortalama modeli - Autoregressive–moving-average model

Olarak istatistiksel analizi zaman serisi , özyinelemeli-hareketli ortalama ( ARMA ) modelleri , bir bir tutumlu tanımını (zayıf), sabit stokastik süreç iki polinom, için bir bakımından ardışık bağlanım (AR) ve saniyede hareketli ortalama ( MA). Genel ARMA model 1951 tezde açıklanmıştır Peter Whittle , zaman serisi analizi Hipotez test ve 1970 Yılına kitapta popüler oldu George EP Box ve Gwilym Jenkins .

Bir X _t zaman serisi verisi verildiğinde , ARMA modeli bu serideki gelecekteki değerleri anlamak ve belki de tahmin etmek için bir araçtır. AR kısmı, değişkenin kendi gecikmeli (yani geçmiş) değerlerine göre regresyonunu içerir. MA kısmı, hata terimini geçmişte aynı anda ve çeşitli zamanlarda meydana gelen hata terimlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak modellemeyi içerir . Model genellikle ARMA( p , q ) modeli olarak adlandırılır; burada p , AR bölümünün sırasıdır ve q , MA bölümünün sırasıdır (aşağıda tanımlandığı gibi).

ARMA modelleri Box-Jenkins yöntemi kullanılarak tahmin edilebilir .

otoregresif model

Gösterimde AR ( p ) kararının kendiliğinden gerileyen modelle belirtir p . AR( p ) modeli yazılır

${\displaystyle X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{ti}+\varepsilon _{t}.\,}$

nerede olduğu parametreler , bir sabittir ve rastgele değişken olduğu beyaz gürültü . ${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{p}}$${\görüntüleme stili c}$${\displaystyle \varepsilon _{t}}$

Modelin durağan kalması için parametre değerleri üzerinde bazı kısıtlamalar gereklidir . Örneğin, AR(1) modelindeki süreçler durağan değildir. ${\displaystyle |\varphi _{1}|\geq 1}$

Hareketli ortalama modeli

Gösterimde MA ( q ) kararının hareketli ortalama modeline değinmektedir q :

${\displaystyle X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{ti}\,}$

burada θ ₁ , ..., θ _q modelin parametreleridir, μ (genellikle 0'a eşit olduğu varsayılır) beklentisidir ve , ,... yine beyaz gürültü hata terimleridir. ${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle \varepsilon _{t}}$${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$

ARMA modeli

ARMA( p , q ) gösterimi , p otoregresif terimleri ve q hareketli ortalama terimleri olan modeli ifade eder . Bu model AR( p ) ve MA( q ) modellerini içerir,

${\displaystyle X_{t}=c+\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{ti}+\sum _{i=1}^{q }\theta _{i}\varepsilon _{ti}.\,}$

Genel ARMA modeli, matematiksel analiz ( Laurent serileri ve Fourier analizi ) ve istatistiksel çıkarımı kullanan Peter Whittle'ın 1951 tezinde tanımlanmıştır . ARMA modelleri, onları seçmek ve tahmin etmek için yinelemeli ( Box-Jenkins ) bir yöntem açıklayan George EP Box ve Jenkins tarafından 1970 yılında yayınlanan bir kitapla popüler hale getirildi . Bu yöntem, düşük dereceli polinomlar (derece üç veya daha az) için kullanışlıydı.

ARMA modeli esasen beyaz gürültüye uygulanan ve üzerine bazı ek yorumlar yerleştirilen sonsuz bir dürtü yanıt filtresidir.

Hata terimleri hakkında not

Hata terimlerinin genellikle , sıfır ortalamalı bir normal dağılımdan örneklenen bağımsız, özdeş dağılımlı rastgele değişkenler (iid) olduğu varsayılır : ~ N(0,σ ² ) burada σ ² , varyanstır. Bu varsayımlar zayıflatılabilir ancak bunu yapmak modelin özelliklerini değiştirecektir. Özellikle, iid varsayımında yapılacak bir değişiklik oldukça temel bir fark yaratacaktır. ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$${\displaystyle \varepsilon _{t}}$

Gecikme operatörü açısından belirtim

Bazı metinlerde modeller gecikme operatörü L cinsinden belirtilecektir . Bu terimlerde AR( p ) modeli şu şekilde verilir:

${\displaystyle \varepsilon _{t}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\sağ)X_{t}=\varphi (L )X_{t}\,}$

polinomu nerede temsil eder ${\görüntüleme stili \varphi }$

${\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}.\,}$

MA( q ) modeli şu şekilde verilir:

${\displaystyle X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\sağ)\varepsilon _{t}=\theta (L )\varepsilon _{t},\,}$

burada θ polinomu temsil eder

${\displaystyle \theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,}$

Son olarak, birleşik ARMA( p , q ) modeli şu şekilde verilir:

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\sağ)X_{t}=\left(1+\sum _{i= 1}^{q}\theta _{i}L^{i}\sağ)\varepsilon _{t}\,,}$

veya daha kısaca,

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}\,}$

veya

${\displaystyle {\frac {\varphi (L)}{\theta (L)}}X_{t}=\varepsilon _{t}\,.}$

alternatif gösterim

Box , Jenkins ve Reinsel dahil olmak üzere bazı yazarlar, otoregresyon katsayıları için farklı bir kural kullanır. Bu, gecikme operatörünü içeren tüm polinomların baştan sona benzer bir biçimde görünmesini sağlar. Böylece ARMA modeli şu şekilde yazılacaktır:

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}L^{i}\sağ)X_{t}=\left(1+\sum _{i= 1}^{q}\theta _{i}L^{i}\sağ)\varepsilon _{t}\,.}$

Üstelik gelen toplamları başlayan ve ayar ve o zaman daha zarif formülasyon elde edersiniz: ${\görüntüleme stili i=0}$${\displaystyle \phi _{0}=-1}$${\görüntüleme stili \teta _{0}=1}$${\displaystyle -\sum _{i=0}^{p}\phi _{i}L^{i}\;X_{t}=\sum _{i=0}^{q}\theta _{ i}L^{i}\;\varepsilon _{t}\,.}$

Montaj modelleri

p ve q seçimi

* Değerlerinin bulunması p ve q ARMA (içinde p , q ), model çizilerek kolaylaştırılabilir PACF bir tahmini için p ve benzer şekilde kullanılarak oto-korelasyon fonksiyonları bir tahmini için q . Genişletilmiş otokorelasyon fonksiyonları (EACF), p ve q'yu aynı anda belirlemek için kullanılabilir. İlk p ve q seçimi ile donatılmış bir modelin artıkları için aynı fonksiyonlar göz önüne alınarak daha fazla bilgi toplanabilir .

Brockwell & Davis, p ve q bulmak için Akaike bilgi kriterinin (AIC) kullanılmasını önerir . Sıra belirleme için bir başka olası seçenek de BIC kriteridir.

Tahmin katsayıları

Genel olarak ARMA modelleri, p ve q seçildikten sonra , hata terimini en aza indiren parametrelerin değerlerini bulmak için en küçük kareler regresyonu ile donatılabilir . Verilere kabul edilebilir bir uyum sağlayan en küçük p ve q değerlerini bulmak genellikle iyi bir uygulama olarak kabul edilir . Saf bir AR modeli için, bir uyum sağlamak için Yule-Walker denklemleri kullanılabilir.

İstatistik paketlerindeki uygulamalar

• İçinde R , Arima (standart paket içinde fonksiyon istatistikler ) belgelenmiştir Zaman Serilerinin ARİMA Modelleme . Uzatma paketleri, ilgili ve genişletilmiş işlevsellik içerir, örneğin, tseries paketi, "ARMA Modellerini Zaman Serilerine Sığdır" bölümünde belgelenen bir arma işlevi içerir ; fracdiff paketi içeren fracdiff () parçalı bütünleşik ARMA süreçleri için; ve tahmin paketi , cimri bir p,q kümesini seçmek için auto.arima içerir . Zaman Serilerindeki CRAN görev görünümü , bunların çoğuna bağlantılar içerir.
• Mathematica , ARMA dahil olmak üzere eksiksiz bir zaman serisi fonksiyonları kütüphanesine sahiptir.
• MATLAB , AR, ARX (otoregresif eksojen) ve ARMAX modellerini tahmin etmek için arma ve ar gibi işlevleri içerir . Daha fazla bilgi için bkz. Sistem Tanımlama Araç Kutusu ve Ekonometrik Araç Kutusu .
• Julia'nın arma.jl gibi bir ARMA modeliyle uyum sağlayan bazı topluluk odaklı paketleri vardır .
• İstatistik Modelleri Python modülü, ARMA dahil olmak üzere zaman serisi analizi için birçok model ve fonksiyon içerir. Eskiden Scikit-learn'in bir parçası olan bu, artık tek başına ve Pandalarla iyi bir şekilde bütünleşiyor . Daha fazla ayrıntı için buraya bakın .
• PyFlux , Bayesian ARIMAX modelleri dahil olmak üzere Python tabanlı bir ARIMAX modeli uygulamasına sahiptir.
• IMSL Sayısal Kitaplıkları , C, Java, C# .NET ve Fortran gibi standart programlama dillerinde uygulanan ARMA ve ARIMA prosedürlerini içeren sayısal analiz işlevselliği kitaplıklarıdır.
• gretl ayrıca ARMA modelini de tahmin edebilir, burada bahsedildiği yere bakın .
• GNU Octave , ek paket octave-forge'daki işlevleri kullanarak AR modellerini tahmin edebilir .
• Stata , ARMA ve ARIMA modellerini tahmin edebilen fonksiyon arima içerir . Daha fazla ayrıntı için buraya bakın .
• SuanShu , tek değişkenli/çok değişkenli ARMA, ARIMA, ARMAX, vb. modellerin nesne yönelimli bir yaklaşımla uygulandığı kapsamlı istatistik paketleri de dahil olmak üzere sayısal yöntemlerden oluşan bir Java kitaplığıdır. Bu uygulamalar "SuanShu, bir Java sayısal ve istatistiksel kitaplığı" içinde belgelenmiştir .
• SAS , ARIMA modellerini tahmin eden ETS adlı bir ekonometrik pakete sahiptir. Daha fazla ayrıntı için buraya bakın .

Uygulamalar

ARMA, bir sistem kendi davranışının yanı sıra bir dizi gözlemlenmemiş şokun (MA veya hareketli ortalama kısmı) bir fonksiyonu olduğunda uygundur. Örneğin, hisse senedi fiyatları, piyasa katılımcıları nedeniyle teknik eğilim ve ortalamaya dönüş etkileri sergilemenin yanı sıra temel bilgiler tarafından şok edilebilir .

genellemeler

X _t'nin geçmiş değerlere bağımlılığı ve ε _t hata terimlerinin aksi belirtilmedikçe doğrusal olduğu varsayılır. Bağımlılık doğrusal değilse, model özellikle doğrusal olmayan hareketli ortalama (NMA), doğrusal olmayan otoregresif (NAR) veya doğrusal olmayan otoregresif-hareketli ortalama (NARMA) modeli olarak adlandırılır.

Otoregresif-hareketli-ortalama modelleri başka yollarla genelleştirilebilir. Ayrıca bkz. otoregresif koşullu değişen varyans (ARCH) modelleri ve otoregresif entegre hareketli ortalama (ARIMA) modelleri. Birden fazla zaman serisi yerleştirilecekse, bir vektör ARIMA (veya VARIMA) modeli takılabilir. Söz konusu zaman serisi uzun bellek sergiliyorsa, o zaman kesirli ARIMA (FARIMA, bazen ARFIMA olarak adlandırılır) modellemesi uygun olabilir: bkz. Otoregresif kesirli olarak entegre hareketli ortalama . Verilerin mevsimsel etkiler içerdiği düşünülüyorsa, bir SARIMA (mevsimsel ARIMA) veya periyodik bir ARMA modeli ile modellenebilir.

Başka bir genelleme, çok ölçekli otoregresif (MAR) modelidir. Bir MAR modeli, bir ağacın düğümleri tarafından indekslenirken, standart (ayrık zamanlı) bir otoregresif model, tamsayılar tarafından indekslenir.

ARMA modelinin tek değişkenli bir model olduğuna dikkat edin . Çok değişkenli durum için uzantılar, vektör otomatik regresyon (VAR) ve Vektör Otoregresyon Hareketli Ortalama (VARMA)'dır.

Dışsal girdi modelli otoregresif-hareketli ortalama modeli (ARMAX modeli)

ARMAX( p , q , b ) gösterimi , p otoregresif terimler, q hareketli ortalama terimler ve b dışsal girdi terimleri içeren modeli ifade eder . Bu model AR( p ) ve MA( q ) modellerini ve bilinen ve harici bir zaman serisinin son b terimlerinin doğrusal bir kombinasyonunu içerir . Şunlar tarafından verilir: ${\görüntüleme stili d_{t}}$

${\displaystyle X_{t}=\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{ti}+\sum _{i=1}^{q} \theta _{i}\varepsilon _{ti}+\sum _{i=1}^{b}\eta _{i}d_{ti}.\,}$

nerede olduğu parametreler eksojen girdi . ${\displaystyle \eta _{1},\ldots,\eta _{b}}$${\görüntüleme stili d_{t}}$

Dışsal değişkenlere sahip modellerin bazı doğrusal olmayan varyantları tanımlanmıştır: örneğin bkz. Doğrusal olmayan otoregresif dışsal model .

İstatistiksel paketler, "dışsal" (yani bağımsız) değişkenlerin kullanımı yoluyla ARMAX modelini uygular. Bu paketlerin çıktısı yorumlanırken dikkatli olunmalıdır, çünkü tahmin edilen parametreler genellikle (örneğin, R ve gretl'de ) regresyona atıfta bulunur:

${\displaystyle X_{t}-m_{t}=\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}(X_{ti}-m_{ti})+ \sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{ti}.\,}$

burada m _t tüm dışsal (veya bağımsız) değişkenleri içerir:

${\displaystyle m_{t}=c+\sum _{i=0}^{b}\eta _{i}d_{ti}.\,}$

Ayrıca bakınız

• Otoregresif entegre hareketli ortalama (ARIMA)
• üstel yumuşatma
• Doğrusal tahmine dayalı kodlama
• Tahmine dayalı analitik
• Sonsuz dürtü yanıtı
• Sonlu dürtü yanıtı

Referanslar

daha fazla okuma

• Mills, Terence C. (1990). Ekonomistler için Zaman Serisi Teknikleri . Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 0521343399.
• Percival, Donald B.; Walden, Andrew T. (1993). Fiziksel Uygulamalar için Spektral Analiz . Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 052135532X.
• Frank, C.; Zakoïan, J.-M. (2005), "Bağımsız yeniliklere sahip doğrusal zaman serisi modelleri için son sonuçlar", Duchesne, P.; Remillard, B. (eds.), Karmaşık Veri Problemleri için İstatistiksel Modelleme ve Analiz , Springer, s. 241–265, CiteSeerX  10.1.1.721.1754.