Argüman ilkesi - Argument principle

Basit kontur C (siyah), f'nin (mavi) sıfırları ve f'nin (kırmızı) kutupları . Burada biz var ${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} {f '(z) \ f (z)} \ üzerinden \, dz = 4-5. \,}$

Olarak karmaşık analiz , bağımsız değişken prensibi (veya Cauchy argümanı prensibi ) sayısı arasındaki farkı ile ilgilidir sıfırlar ve kutuplar a meromorfik fonksiyonu a kontur integrali fonksiyonunun bir logaritmik türevi .

Spesifik olarak, eğer f ( z ) bazı kapalı kontur C'nin içinde ve üzerinde meromorfik bir fonksiyonsa ve f'nin C üzerinde sıfır veya kutupları yoksa , o zaman

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} {f '(z) \ f (z)} \ üzerinden \, dz = ZP}$

burada Z ve P , sırasıyla, C konturu içindeki f ( z ) sıfırlarının ve kutuplarının sayısını gösterir ; her sıfır ve kutup , sırasıyla, çokluğunun ve sırasının gösterdiği kadar sayılır . Teoremin bu ifadesi, C konturunun basit olduğunu, yani kendi kendine kesişimsiz olduğunu ve saat yönünün tersine yönlendirildiğini varsayar .

Daha genel olarak, varsayalım f ( Z ), bir de bir meromorfik fonksiyonudur açık grubu içinde Q kompleks düzlemde ve Cı tüm sıfır ve kutuplarını önler Q kapalı bir eğridir f ve bir kısaltılabilir Q içinde bir noktaya kadar. Her bir z ∈ Ω noktası için , n ( C , z ) , C'nin z etrafındaki sarma sayısı olsun . Sonra

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} {\ frac {f '(z)} {f (z)}} \, dz = \ toplam _ {a} n (C, a) - \ toplamı _ {b} n (C, b) \,}$

İlk toplamıdır tümü sıfır üzerinde olduğu bir bir f onların çokluklar ile sayılır ve ikinci toplamı direkleri bitti b ait f onların emirleri saydı.

Kontur integralinin yorumlanması

Kontür integral 2π olarak yorumlanabilir ı kez yolu sarılması sayısı f ( Cı- ikamesi ile, başlangıç noktasında) w = f ( Z ) ${\ displaystyle \ oint _ {C} {\ frac {f '(z)} {f (z)}} \, dz}$

${\ displaystyle \ oint _ {C} {\ frac {f '(z)} {f (z)}} \, dz = \ oint _ {f (C)} {\ frac {1} {w}} \ , dw}$

O O dir, i kere toplam değişiklik bağımsız değişken bölgesinin f ( z gibi) z çevresinde hareket C teoremi adı açıklayan; bu takip eder

${\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ log (f (z)) = {\ frac {f '(z)} {f (z)}}}$

ve argümanlar ve logaritmalar arasındaki ilişki.

Argüman ilkesinin kanıtı

Let Z _{, Z} bir sıfır f . F ( z ) = ( z  -  z _Z ) ^k g ( z ) yazabiliriz burada k sıfırın çokluğu ve böylece g ( z _Z ) ≠ 0.

${\ displaystyle f '(z) = k (z-z_ {Z}) ^ {k-1} g (z) + (z-z_ {Z}) ^ {k} g' (z) \, \! }$

ve

${\ displaystyle {f '(z) \ over f (z)} = {k \ over z-z_ {Z}} + {g' (z) \ over g (z)}.}$

Yana g ( Z _{, Z} ) ≠ 0, bu şu g' ( Z ) / g ( Z ) hiçbir sonsuza gider z _Z , ve bu yüzden, analitik bir Z _Z ifade etmektedir, tortu, bir f ' ( z ) / f ( z en) z _Z bir  k .

Z _P , f'nin bir kutbu olsun . F ( z ) = ( z  -  z _P ) ^{- m} h ( z ) yazabiliriz burada m , kutbun mertebesidir ve h ( z _P ) ≠ 0. Sonra,

${\ Displaystyle f '(z) = - m (z-z_ {P}) ^ {- m-1} h (z) + (z-z_ {P}) ^ {- m} h' (z) \ , \ !.}$

ve

${\ displaystyle {f '(z) \ fazla f (z)} = {- m \ z-z_ üzerinde {P}} + {h' (z) \ h (z)}} üzerinde$

yukarıdaki gibi benzer. Bunu , h ( z _P ) since 0 olduğundan h ′ ( z ) / h ( z ) 'nin z _P'de tekilliği olmadığı ve dolayısıyla z _P'de analitik olduğu sonucu çıkar . Biz artık madde bulmak f ( ' Z ) / f ( z en) z _P - olduğu m .

Bu bir araya getiren, her biri yaklaşık sıfır z _Z çokluğu arasında k ve f için basit bir kutup oluşturur f ( ' Z ) / f ( Z Tortu olmak üzere) k ve her kutup z _P emri m arasında f için basit bir kutup oluşturur f ′ ( Z ) / f ( z ) bakiye - m . (Burada, basit bir kutupla birinci dereceden bir kutbu kastediyoruz.) Ek olarak, f ′ ( z ) / f ( z ) 'nin başka hiçbir kutbu olmadığı ve dolayısıyla başka kalıntıları olmadığı gösterilebilir.

Tarafından Tortu teoremi yaklaşık entegrali sahip C 2 ürünüdür πi ve artık toplamı. Birlikte, her sıfır z _Z için k 'nin toplamı, sıfırların çokluklarını sayan sıfırların sayısıdır ve aynı şekilde kutuplar için de sonucumuz var.

Uygulamalar ve sonuçlar

Argüman ilkesi, bir bilgisayarda meromorfik fonksiyonların sıfırlarını veya kutuplarını verimli bir şekilde bulmak için kullanılabilir. Yuvarlama hatalarında bile, ifade bir tam sayıya yakın sonuçlar verir; C farklı konturlar için bu tam sayıları belirleyerek sıfırların ve kutupların konumu hakkında bilgi elde edilebilir. Riemann hipotezinin sayısal testleri , kritik çizgiyle kesişen bir dikdörtgenin içindeki Riemann fonksiyonunun sıfır sayısı için bir üst sınır elde etmek için bu tekniği kullanır . ${\ displaystyle {1 \ 2'den fazla \ pi i} \ oint _ {C} {f '(z) \ f (z)} \ üzerinden \, dz}$${\ displaystyle \ xi (ler)}$

Rouché teoreminin kanıtı argüman ilkesini kullanır.

Geribildirim kontrol teorisi üzerine modern kitaplar, Nyquist istikrar kriterinin teorik temeli olarak hizmet etmek için sıklıkla argüman ilkesini kullanır .

Argüman ilkesinin daha genel formülasyonunun bir sonucu, aynı hipotez altında, eğer g , Ω 'de bir analitik fonksiyon ise, o zaman

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} g (z) {\ frac {f '(z)} {f (z)}} \, dz = \ toplam _ {a} n (C, a) g (a) - \ toplam _ {b} n (C, b) g (b).}$

Örneğin, f basit bir C konturu içinde sıfır z ₁ , ..., z _p ve g ( z ) = z ^k olan bir polinom ise , o zaman

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} z ^ {k} {\ frac {f '(z)} {f (z)}} \, dz = z_ { 1} ^ {k} + z_ {2} ^ {k} + \ cdots + z_ {p} ^ {k},}$

bir güç toplamı simetrik polinom köklerinin f .

Diğer bir sonuç, karmaşık integrali hesaplarsak:

${\ displaystyle \ oint _ {C} f (z) {g '(z) \ g (z)} üzerinde \, dz}$

uygun bir g ve f seçimi için Abel-Plana formülüne sahibiz :

${\ displaystyle \ toplamı _ {n = 0} ^ {\ infty} f (n) - \ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) \, dx = f (0) / 2 + i \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {f (it) -f (-it)} {e ^ {2 \ pi t} -1}} \, dt \,}$

ayrık bir toplam ile integrali arasındaki ilişkiyi ifade eder.

Genelleştirilmiş argüman ilkesi

Argüman ilkesinin acil bir genellemesi var. G'nin bölgede analitik olduğunu varsayalım . Sonra ${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} {f '(z) \ üzerinden f (z)} g (z) \, dz = \ toplamı _ {a} g (a) n (C, a) - \ toplam _ {b} g (b) n (C, b) \,}$

Birinci toplama sıfırlarla yeniden olduğu bir bölgesinin f kendi çokluklar ile sayıldı ve ikinci toplamı kutuplarda yine b arasında f emirlerine sayılır.

Tarih

Frank Smithies'in kitabına göre ( Cauchy and the Creation of Complex Function Theory , Cambridge University Press, 1997, s. 177), Augustin-Louis Cauchy 27 Kasım 1831'de kendi kendine empoze ettiği sürgün sırasında yukarıdakine benzer bir teoremi sundu. Fransa'dan uzakta Torino'da (o zamanlar Piedmont-Sardinya Krallığı'nın başkenti). Ancak bu kitaba göre kutuplardan değil, sadece sıfırlardan bahsedildi. Cauchy'nin bu teoremi ancak yıllar sonra 1874'te elle yazılmış bir biçimde yayınlandı ve bu nedenle okunması oldukça zor. Cauchy, ölümünden iki yıl önce 1855'te hem sıfırlar hem de kutuplar üzerine bir tartışma içeren bir makale yayınladı.

Ayrıca bakınız

• Logaritmik türev
• Nyquist kararlılık kriteri

Referanslar

• Rudin, Walter (1986). Gerçek ve Karmaşık Analiz (Uluslararası Saf ve Uygulamalı Matematik Serileri) . McGraw-Hill. ISBN   978-0-07-054234-1 .
• Ahlfors, Lars (1979). Karmaşık analiz: tek bir karmaşık değişkenin analitik fonksiyonlar teorisine giriş . McGraw-Hill. ISBN   978-0-07-000657-7 .
• Churchill, Ruel Vance; Kahverengi, James Ward (1989). Karmaşık Değişkenler ve Uygulamalar . McGraw-Hill. ISBN   978-0-07-010905-6 .
• Backlund, R.-J. (1914) Sur les zéros de la fonction zeta (s) de Riemann, CR Acad. Sci. Paris 158, 1979–1982.

Dış bağlantılar

• "Argüman, ilke" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]