zincir karşıtı - Antichain

Gelen matematik , alanında sırası teori , bir antichain bir bir alt kümesidir kısmen sıralı dizi alt grubunda, herhangi iki ayrı elemanlar olduğu şekilde eşsiz .

Kısmen sıralı bir setteki en büyük zincir karşıtının boyutu, genişliği olarak bilinir . By Dilworth teoremi , bu da set bölümlenmiş edilebileceği içine zincirlerin minimum sayıda (toplam sipariş alt kümeleri) eşittir. İkili olarak, kısmen sıralı kümenin yüksekliği (en uzun zincirinin uzunluğu) , Mirsky teoremi ile kümenin bölünebileceği minimum zincir karşıtı sayısına eşittir .

Sonlu, kısmen sıralı bir kümedeki tüm zincir zincirlerinin ailesine birleştirme ve buluşma işlemleri verilebilir , bu da onları bir dağıtım kafesi haline getirir . Sonlu bir kümenin tüm alt kümelerinden oluşan, küme dahil edilerek sıralanan kısmen sıralı sistem için, antizincirlere Sperner aileleri denir ve bunların kafesleri, Dedekind sayısı kadar elemana sahip serbest dağıtımlı bir kafestir . Daha genel olarak, sonlu kısmen sıralı bir kümenin zincir zincirlerinin sayısını saymak #P-tamamlanmıştır .

Tanımlar

Izin kısmen sıralı küme olsun. İki eleman ve kısmen sıralı bir kümenin, eğer iki eleman karşılaştırılabilir değilse , karşılaştırılamaz olarak adlandırılır; yani ve hiçbiri karşılaştırılamaz

Bir zincir, her eleman çiftinin karşılaştırılabilir olduğu bir alt kümedir ; olduğunu, bir tamamen sipariş . An antichain a, alt küme ve farklı elemanların her bir çifti, eşsiz olduğu; olduğu, herhangi iki farklı elemanlar arasında bir düzen bir ilişki vardır (Bununla birlikte, bazı yazarlar terimini "antichain" kullanımı kuvvetli antichain , herhangi bir unsuru olduğu şekilde bir alt poşet antichain arasında daha küçük iki ayrı elemanlar. )

Yükseklik ve genişlik

Bir maksimal antichain bir olmayan bir antichain olan uygun bir alt kümesi başka antichain arasında. Bir maksimum antichain her antichain gibi büyük, en az önem düzeyi olan bir antichain olup. Genişliği , kısmen sıralı bir setin maksimum antichain kardinalitesi olup. Herhangi bir zincir karşıtı, herhangi bir zinciri en fazla bir elemanda kesebilir, bu nedenle, bir sıranın öğelerini zincirlere ayırabilirsek, o zaman sıranın genişliği en fazla olmalıdır (eğer zincirin öğelerinden daha fazlası varsa , güvercin deliği ilkesine göre , orada aynı zincire ait 2 elemanı olacaktır, çelişki). Dilworth teoremi , bu sınıra her zaman ulaşılabileceğini belirtir: her zaman bir zincir karşıtı ve elementlerin zincirlere bölünmesi vardır, öyle ki zincir sayısı, zincir zincirindeki elementlerin sayısına eşittir, bu nedenle genişliğe de eşit olmalıdır. Benzer şekilde, kısmi bir düzenin yüksekliği , bir zincirin maksimum kardinalitesi olarak tanımlanabilir. Mirsky'nin teoremi , herhangi bir sonlu yükseklik kısmi düzeninde, yüksekliğin, düzenin bölünebileceği en küçük zincir karşıtı sayısına eşit olduğunu belirtir.

Sperner aileleri

Bir -element kümesinin alt kümelerinin dahil edilme sıralamasındaki bir zincir karşıtı , bir Sperner ailesi olarak bilinir . Farklı Sperner ailelerinin sayısı Dedekind sayılarıyla sayılır , ilk birkaçı sayılardır.

2, 3, 6, 20, 168, 7581, 7.828.354, 2414682040998, 56130437228687557907788 (dizi A000372 olarak OEIS ).

Boş kümenin bile güç kümesinde iki zincir karşıtı vardır: biri tek bir küme içerir (boş kümenin kendisi) ve diğeri küme içermez.

Operasyonlara katılın ve tanışın

Herhangi bir zincir karşıtı , daha düşük bir kümeye karşılık gelir

Sonlu bir kısmi düzende (veya daha genel olarak artan zincir koşulunu sağlayan kısmi bir düzende ), tüm alt kümeler bu forma sahiptir. Herhangi iki alt kümenin birleşimi başka bir alt kümedir ve birleştirme işlemi bu şekilde zincirleme zincirler üzerinde bir birleştirme işlemine karşılık gelir :
Benzer şekilde, alt kümelerin kesişimine karşılık gelen zincirleme zincirler üzerinde bir buluşma işlemi tanımlayabiliriz :
Bir kümenin sonlu alt kümelerinin tüm sonlu anti-zincirleri üzerindeki birleştirme ve buluşma işlemleri, bir
dağıtım kafesini tanımlar ; Birkhoff'un dağıtım kafesleri için temsil teoremi tarafından üretilen serbest dağıtım kafesi , her sonlu dağıtım kafesinin, bir sonlu kısmi düzen veya eşdeğer olarak kısmi düzenin alt kümelerinde birleşme ve kesişme işlemleri olarak .

hesaplama karmaşıklığı

Maksimum bir zincir karşıtı (ve boyutu, belirli bir kısmen sıralı kümenin genişliği) polinom zamanında bulunabilir . Belirli bir kısmen sıralı kümedeki zincir zincirlerinin sayısını saymak #P-tamamlandı .

Referanslar

Dış bağlantılar