Ampère kuvvet yasası - Ampère's force law

Hakkında makaleler
Elektromanyetizma
Elektrik Manyetizma Tarih Ders kitapları
Elektrostatik Elektrik şarjı Coulomb yasası Kondüktör Yük yoğunluğu Geçirgenlik Elektrik çift kutuplu moment Elektrik alanı Elektrik potansiyeli Elektrik akısı  / potansiyel enerji Elektrostatik deşarj Gauss yasası İndüksiyon Yalıtkan Polarizasyon yoğunluğu Statik elektrik Triboelektrik
Manyetostatik Ampère yasası Biot-Savart yasası Gauss'un manyetizma yasası Manyetik alan Manyetik akı Manyetik dipol moment Manyetik geçirgenlik Manyetik skaler potansiyel Mıknatıslanma Manyetomotor kuvvet Manyetostatik potansiyel Sağ el kuralı
Elektrodinamik Lorentz kuvvet yasası Elektromanyetik indüksiyon Faraday yasası Lenz yasası Deplasman akımı Manyetik vektör potansiyeli Maxwell denklemleri Elektromanyetik alan Elektromanyetik nabız Elektromanyetik radyasyon Maxwell tensörü Poynting vektör Liénard-Wiechert potansiyeli Jefimenko denklemleri Eddy akımı Londra denklemleri Elektromanyetik alanın matematiksel açıklamaları
Elektrik ağı Alternatif akım Kapasite Doğru akım Elektrik akımı Elektroliz Mevcut yoğunluk Joule ısıtma Elektrik hareket gücü İç direnç İndüktans Ohm kanunu Paralel devre Direnç Rezonans boşlukları Seri devre Voltaj Dalga kılavuzları
Kovaryant formülasyon Elektromanyetik tensör ( stres-enerji tensörü ) Dört akım Elektromanyetik dört potansiyel
Bilim insanları Amper Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Henry Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Şarkıcı Tesla Volta Weber
v t e

Akım taşıyan iki tel birbirini manyetik olarak çeker: Alttaki tel, B ₁ manyetik alanını oluşturan I ₁ akımına sahiptir . En üstteki tel B ₁ manyetik alanı boyunca bir I ₂ akımı taşır , bu nedenle ( Lorentz kuvveti ile ) tel bir F ₁₂ kuvvetine maruz kalır . (Üstteki telin manyetik bir alan oluşturduğu ve bu da alttaki tel üzerinde bir kuvvetle sonuçlanan eşzamanlı işlem gösterilmemiştir.)

Gelen magnetostatik , iki akım taşıyıcı kablolar (Aşağıdaki ilk şekle bakınız) arasındaki çekim veya itme kuvveti genellikle denir Ampere kanunu . Bu kuvvetin fiziksel kaynağı, Biot-Savart yasasına göre her bir telin bir manyetik alan oluşturması ve bunun sonucunda diğer telin Lorentz kuvvet yasasına göre manyetik bir kuvvet yaşamasıdır .

Denklem

Özel durum: İki düz paralel tel

(Mayıs 2019, 20 öncesi) tanımı ördekler Ampere yasasının-en çok bilinen ve en basit örnek amper , SI iki düz paralel iletkenler arasında birim uzunluk başına manyetik kuvvet olduğu akım birimi, durumları

${\ displaystyle {\ frac {F_ {m}} {L}} = 2k _ {\ rm {A}} {\ frac {I_ {1} I_ {2}} {r}}}$ ,

burada manyetik kuvvet sabittir Biot-Savart hakları , (daha uzun daha kısa sonsuz uzun göreceli olarak yaklaşık olarak değerlendirilir) daha kısa birim uzunluk başına ya da tel üzerinde toplam kuvvet, iki ucu arasındaki mesafedir, ve , olan doğru akımlar tellerin taşıdığı. ${\ displaystyle k _ {\ rm {A}}}$${\ displaystyle F_ {m} / L}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle I_ {2}}$

Bu, eğer bir tel diğerinden yeterince uzunsa, sonsuz uzunlukta olarak yaklaştırılabilmesi için ve teller arasındaki mesafe uzunluklarına kıyasla küçükse (böylece bir sonsuz tel yaklaşımı geçerliyse) iyi bir yaklaşımdır, ancak çaplarına kıyasla daha büyüktür (böylece sonsuz ince çizgiler olarak da tahmin edilebilirler). Değeri, seçilen birimler sistemine bağlıdır ve değeri akım biriminin ne kadar büyük olacağına karar verir. In SI sisteminde, ${\ displaystyle k _ {\ rm {A}}}$${\ displaystyle k _ {\ rm {A}}}$

${\ displaystyle k _ {\ rm {A}} \ {\ overset {\ underet {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} }$

ile manyetik sabit , tanımlanmış olarak SI birimleri cinsinden ${\ displaystyle \ mu _ {0}}$

${\ displaystyle \ mu _ {0} \ {\ overset {\ underet {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ 4 \ pi \ times 10 ^ {- 7}}$ N / A ² .

Böylece vakumda,

1 m aralıklı ve her biri 1 A akım taşıyan  iki paralel iletken arasındaki metre uzunluğundaki kuvvet tam olarak

${\ displaystyle \ displaystyle 2 \ times 10 ^ {- 7}}$ N / m .

Genel dava

Rasgele geometriler için manyetik kuvvetin genel formülasyonu, yinelenen çizgi integrallerine dayanır ve aşağıda gösterildiği gibi Biot-Savart yasasını ve Lorentz kuvvetini tek bir denklemde birleştirir .

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {L_ {1}} \ int _ {L_ {2}} {\ frac {I_ {1} d {\ vec {\ ell}} _ {1} \ \ mathbf {\ times} \ (I_ {2} d {\ vec {\ ell}} _ {2} \ \ mathbf {\ times} \ {\ hat {\ mathbf {r}}} _ {21})} {| r | ^ {2}}}}$ ,

nerede

• ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12}}$ Tel 2 nedeniyle tel 1 tarafından hissedilen toplam manyetik kuvvettir (genellikle newton cinsinden ölçülür ),
• ${\ displaystyle I_ {1}}$ ve sırasıyla 1 ve 2 numaralı tellerden geçen akımlardır (genellikle amper cinsinden ölçülür ), ${\ displaystyle I_ {2}}$
• Çift hatlı entegrasyon, tel 2'nin her bir elemanının manyetik alanı nedeniyle tel 1'in her bir elemanı üzerindeki kuvveti toplar,
• ${\ displaystyle d {\ vec {\ ell}} _ {1}}$ ve sırasıyla tel 1 ve tel 2 ile ilişkili sonsuz küçük vektörlerdir (genellikle metre cinsinden ölçülür ); detaylı bir tanım için çizgi integraline bakınız , ${\ displaystyle d {\ vec {\ ell}} _ {2}}$
• Vektör , tel 2 üzerindeki diferansiyel elemandan tel 1 üzerindeki diferansiyel elemana doğru işaret eden birim vektördür ve | r | bu unsurları ayıran mesafedir, ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} _ {21}}$
• Çarpım × bir vektör çapraz çarpımıdır ,
• İşareti yöne göre değişir (örneğin, geleneksel akım yönünü gösteriyorsa , o zaman ). ${\ displaystyle I_ {n}}$${\ displaystyle d {\ vec {\ ell}} _ {n}}$${\ displaystyle d {\ vec {\ ell}} _ {1}}$${\ displaystyle I_ {1}> 0}$

Bir malzeme ortamında teller arasındaki kuvveti belirlemek için, manyetik sabit , ortamın gerçek geçirgenliği ile değiştirilir .

İki ayrı kapalı kablo durumunda, yasa vektör üçlü çarpımı genişleterek ve Stokes teoremini uygulayarak aşağıdaki eşdeğer şekilde yeniden yazılabilir :

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12} = - {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {L_ {1}} \ int _ {L_ {2} } {\ frac {(I_ {1} d {\ vec {\ ell}} _ {1} \ \ mathbf {\ cdot} \ I_ {2} d {\ vec {\ ell}} _ {2}) \ {\ hat {\ mathbf {r}}} _ {21}} {| r | ^ {2}}}.}$

Bu formda, Newton'un 3. yasasına göre tel 2 nedeniyle tel 1 üzerindeki kuvvetin tel 2 üzerindeki kuvvete eşit ve zıt olduğu hemen açıktır .

Tarihsel arka plan

Orijinal Ampere deneyinin şeması

Genel olarak verilen Ampere kuvvet yasasının biçimi Maxwell tarafından türetilmiştir ve Ampère ve Gauss'un orijinal deneyleriyle tutarlı birkaç ifadeden biridir . Bitişik diyagramda gösterildiği gibi, iki doğrusal akım I ve I 'arasındaki kuvvetin x bileşeni, 1825'te Ampère ve 1833'te Gauss tarafından şu şekilde verilmiştir:

${\ displaystyle dF_ {x} = kII'ds '\ int ds {\ frac {\ cos (xds) \ cos (rds') - \ cos (rx) \ cos (dsds ')} {r ^ {2}} }.}$

Ampère'nin ardından, Wilhelm Weber , Rudolf Clausius , James Clerk Maxwell , Bernhard Riemann , Hermann Grassmann ve Walther Ritz dahil olmak üzere bir dizi bilim adamı, kuvvetin temel bir ifadesini bulmak için bu ifadeyi geliştirdi. Farklılaştırma yoluyla şu gösterilebilir:

${\ displaystyle {\ frac {\ cos (xds) \ cos (rds ')} {r ^ {2}}} = - \ cos (rx) {\ frac {(\ cos \ epsilon -3 \ cos \ phi \ cos \ phi ')} {r ^ {2}}}}$ .

ve ayrıca kimlik:

${\ displaystyle {\ frac {\ cos (rx) \ cos (dsds ')} {r ^ {2}}} = {\ frac {\ cos (rx) \ cos \ epsilon} {r ^ {2}}} }$ .

Bu ifadelerle Ampère'nin kuvvet yasası şu şekilde ifade edilebilir:

${\ displaystyle dF_ {x} = kII'ds '\ int ds' \ cos (rx) {\ frac {2 \ cos \ epsilon -3 \ cos \ phi \ cos \ phi '} {r ^ {2}}} }$ .

Kimlikleri kullanmak:

${\ displaystyle {\ frac {\ kısmi r} {\ kısmi s}} = \ cos \ phi, {\ frac {\ kısmi r} {\ kısmi s '}} = - \ cos \ phi'}$ .

ve

${\ displaystyle {\ frac {\ kısmi ^ {2} r} {\ kısmi s \ kısmi s '}} = {\ frac {- \ cos \ epsilon + \ cos \ phi \ cos \ phi'} {r}} }$ .

Ampère'nin sonuçları şu şekilde ifade edilebilir:

${\ displaystyle d ^ {2} F = {\ frac {kII'dsds '} {r ^ {2}}} \ sol ({\ frac {\ kısmi r} {\ kısmi s}} {\ frac {\ kısmi r} {\ kısmi s '}} - 2r {\ frac {\ kısmi ^ {2} r} {\ kısmi s \ kısmi s'}} \ sağ)}$ .

Maxwell'in belirttiği gibi, bu ifadeye Q (r) fonksiyonunun türevleri olan ve entegre edildiğinde birbirlerini iptal eden terimler eklenebilir. Böylece Maxwell, ds 'eyleminden kaynaklanan ds üzerindeki kuvvet için "deneysel gerçeklerle tutarlı en genel biçimi" verdi:

${\ displaystyle d ^ {2} F_ {x} = kII'dsds '{\ frac {1} {r ^ {2}}} \ sol [\ sol (\ sol ({\ frac {\ kısmi r} {\ kısmi s}} {\ frac {\ kısmi r} {\ kısmi s '}} - 2r {\ frac {\ kısmi ^ {2} r} {\ kısmi s \ kısmi s'}} \ sağ) + r {\ frac {\ kısmi ^ {2} Q} {\ kısmi s \ kısmi s '}} \ sağ) \ cos (rx) + {\ frac {\ kısmi Q} {\ kısmi s'}} \ cos (xds) - {\ frac {\ kısmi Q} {\ kısmi s}} \ cos (xds ') \ sağ]}$ .

Maxwell'e göre Q, "aktif akımın kapalı bir devre oluşturduğu deneylerden bir tür varsayım olmaksızın belirlenemeyen" r'nin bir fonksiyonudur. Q (r) fonksiyonunun şu şekilde olması:

${\ displaystyle Q = - {\ frac {(1 + k)} {2r}}}$

Ds'nin ds'ye uyguladığı kuvvet için genel ifadeyi elde ederiz:

${\ displaystyle \ mathbf {d ^ {2} F} = - {\ frac {kII '} {2r ^ {2}}} \ sol [(3-k) {\ hat {\ mathbf {r_ {1}} }} (\ mathbf {dsds '}) -3 (1-k) {\ hat {\ mathbf {r_ {1}}}} (\ mathbf {{\ hat {r_ {1}}} ds}) (\ mathbf {{\ hat {r_ {1}}} ds '}) - (1 + k) \ mathbf {ds} (\ mathbf {{\ hat {r_ {1}}} ds'}) - (1 + k ) \ mathbf {d's} (\ mathbf {{\ hat {r_ {1}}} ds}) \ sağ]}$ .

S 'etrafında integral almak k'yi ortadan kaldırır ve Ampère ve Gauss tarafından verilen orijinal ifade elde edilir. Bu nedenle, orijinal Ampère deneyleri söz konusu olduğunda, k'nin değerinin hiçbir önemi yoktur. Ampère k = -1 aldı; Gauss, Grassmann ve Clausius gibi k = + 1 aldı, ancak Clausius S bileşenini atladı. Eterli olmayan elektron teorilerinde Weber k = -1 ve Riemann k = + 1 aldı. Ritz, teorisinde belirsiz bıraktı. K = -1 alırsak, Ampère ifadesini elde ederiz:

${\ displaystyle \ mathbf {d ^ {2} F} = - {\ frac {kII '} {r ^ {3}}} \ sol [2 \ mathbf {r} (\ mathbf {dsds'}) -3 \ mathbf {r} (\ mathbf {rds}) (\ mathbf {rds '}) \ sağ]}$

K = + 1 alırsak, elde ederiz

${\ displaystyle \ mathbf {d ^ {2} F} = - {\ frac {kII '} {r ^ {3}}} \ sol [\ mathbf {r} (\ mathbf {dsds'}) - \ mathbf { ds (rds ')} - \ mathbf {ds' (rds)} \ sağ]}$

Üçlü çapraz çarpım için vektör kimliğini kullanarak, bu sonucu şu şekilde ifade edebiliriz:

${\ displaystyle \ mathbf {d ^ {2} F} = {\ frac {kII '} {r ^ {3}}} \ sol [\ sol (\ mathbf {ds} \ times \ mathbf {ds'} \ times \ mathbf {r} \ sağ) + \ mathbf {ds '(rds)} \ sağ]}$

Ds 'etrafına entegre edildiğinde ikinci terim sıfırdır ve bu nedenle Maxwell tarafından verilen Ampère kuvvet yasasının biçimini buluruz:

${\ displaystyle \ mathbf {F} = kII '\ int \ int {\ frac {\ mathbf {ds} \ times (\ mathbf {ds'} \ times \ mathbf {r})} {| r | ^ {3} }}}$

Paralel düz tel durumunun genel formülden türetilmesi

Genel formülden başlayın:

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {L_ {1}} \ int _ {L_ {2}} {\ frac {I_ {1} d {\ vec {\ ell}} _ {1} \ \ mathbf {\ times} \ (I_ {2} d {\ vec {\ ell}} _ {2} \ \ mathbf {\ times} \ {\ hat {\ mathbf {r}}} _ {21})} {| r | ^ {2}}}}$ ,

2. telin x ekseni boyunca olduğunu ve tel 1'in x eksenine paralel olarak y = D, z = 0'da olduğunu varsayalım. Izin vermek sırasıyla tel 1 ve tel 2 diferansiyel elemanının x koordinatı. Diğer bir deyişle, telin (1) diferansiyel elemanı, telin (2) diferansiyel elemanı da yer almaktadır . Çizgi integrallerinin özelliklerine göre ve . Ayrıca, ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$${\ displaystyle (x_ {1}, D, 0)}$${\ displaystyle (x_ {2}, 0,0)}$${\ displaystyle d {\ vec {\ ell}} _ {1} = (dx_ {1}, 0,0)}$${\ displaystyle d {\ vec {\ ell}} _ {2} = (dx_ {2}, 0,0)}$

${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} _ {21} = {\ frac {1} {\ sqrt {(x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + D ^ {2} }}} (x_ {1} -x_ {2}, D, 0)}$

ve

${\ displaystyle | r | = {\ sqrt {(x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + D ^ {2}}}}$

Bu nedenle, integral

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12} = {\ frac {\ mu _ {0} I_ {1} I_ {2}} {4 \ pi}} \ int _ {L_ {1}} \ int _ {L_ {2}} {\ frac {(dx_ {1}, 0,0) \ \ mathbf {\ times} \ \ left [(dx_ {2}, 0,0) \ \ mathbf {\ times} \ (x_ {1} -x_ {2}, D, 0) \ sağ]} {| (x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + D ^ {2} | ^ {3/2} }}}$ .

Çapraz ürünü değerlendirme:

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12} = {\ frac {\ mu _ {0} I_ {1} I_ {2}} {4 \ pi}} \ int _ {L_ {1}} \ int _ {L_ {2}} dx_ {1} dx_ {2} {\ frac {(0, -D, 0)} {| (x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + D ^ { 2} | ^ {3/2}}}}$ .

Sonra, entegre gelen için : ${\ displaystyle x_ {2}}$${\ displaystyle - \ infty}$${\ displaystyle + \ infty}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12} = {\ frac {\ mu _ {0} I_ {1} I_ {2}} {4 \ pi}} {\ frac {2} {D}} (0, -1,0) \ int _ {L_ {1}} dx_ {1}}$ .

Tel 1 de sonsuzsa, integral uzaklaşır, çünkü iki sonsuz paralel tel arasındaki toplam çekici kuvvet sonsuzdur. Aslında, gerçekten bilmek istediğimiz şey, telin 1 birim uzunluğu başına çekici kuvvetidir . Bu nedenle, tel 1'in büyük ama sınırlı bir uzunluğa sahip olduğunu varsayalım . O zaman tel 1 tarafından hissedilen kuvvet vektörü: ${\ displaystyle L_ {1}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12} = {\ frac {\ mu _ {0} I_ {1} I_ {2}} {4 \ pi}} {\ frac {2} {D}} (0, -1,0) L_ {1}}$ .

Beklendiği gibi, telin hissettiği kuvvet uzunluğu ile orantılıdır. Birim uzunluk başına kuvvet:

${\ displaystyle {\ frac {{\ vec {F}} _ {12}} {L_ {1}}} = {\ frac {\ mu _ {0} I_ {1} I_ {2}} {2 \ pi D}} (0, -1,0)}$ .

Kuvvetin yönü, beklendiği gibi akımlar paralel ise tel 1'in tel 2'ye doğru çekildiğini temsil eden y ekseni boyuncadır. Birim uzunluk başına kuvvetin büyüklüğü yukarıda gösterilen ifade ile uyuşmaktadır . ${\ displaystyle {\ frac {F_ {m}} {L}}}$

Ampère kuvvet yasasının dikkate değer türevleri

Kronolojik olarak sıralı:

• Ampère'nin orijinal 1823 türevi:
  • Assis, André Koch Torres; Chaib, JPM C; Ampère, André-Marie (2015). Ampère'nin elektrodinamiği: Ampère kuvvetinin mevcut unsurlar arasındaki anlamının ve evriminin analizi, başyapıtının tam bir çevirisi ile birlikte: Deneyimden benzersiz bir şekilde çıkarılan elektrodinamik fenomenler teorisi (PDF) . Montreal: Apeiron. ISBN   978-1-987980-03-5 .
• Maxwell'in 1873 türevi:
  • Elektrik ve Manyetizma Üzerine İnceleme cilt. 2, bölüm 4, ch. 2 (§§502–527)
• Pierre Duhem'in 1892 türevi:
  • Duhem, Pierre Maurice Marie (9 Eylül 2018). Ampère Kuvvet Yasası: Modern Bir Giriş . Alan Aversa (çev.). doi : 10.13140 / RG.2.2.31100.03206 / 1 . Erişim tarihi: 3 Temmuz 2019 . ( EPUB )
    • çevirisi: Leçons sur l'électricité et le magnétisme cilt. 3, 14. kitap eki, s. 309-332 (Fransızca)
• Alfred O'Rahilly'nin 1938 türevi:
  • Elektromanyetik Teori: Temellerin Eleştirel Bir İncelemesi cilt. 1, s. 102 –104 (sonraki sayfalara da bakınız)

Ayrıca bakınız

• Amper
• Manyetik sabit
• Lorentz kuvveti
• Ampère'nin dolaşım yasası
• Boş alan

Referanslar ve notlar

Dış bağlantılar

• Ampère kuvvet yasası Kuvvet vektörlerinin hareketli grafiğini içerir.