Agoh-Giuga varsayımı - Agoh–Giuga conjecture

Gelen sayılar teorisi Agoh-Giuga varsayım üzerine Bernoulli sayıları B _k önermeleri bu p bir olduğunu asal sayı ve ancak eğer

${\ displaystyle pB_ {p-1} \ equiv -1 {\ pmod {p}}.}$

Takashi Agoh ve Giuseppe Giuga'nın adını almıştır .

Eşdeğer formülasyon

Yukarıda belirtildiği gibi varsayım Takashi Agoh (1990) 'dan kaynaklanmaktadır; eşdeğer formülasyon nedeniyle Giuseppe Giuga 1950, bu sonuca göre, s asal ancak ve ancak

${\ displaystyle 1 ^ {p-1} + 2 ^ {p-1} + \ cdots + (p-1) ^ {p-1} \ eşdeğeri -1 {\ pmod {p}}}$

olarak da yazılabilir

${\ displaystyle \ toplam _ {i = 1} ^ {p-1} i ^ {p-1} \ eşdeğeri -1 {\ pmod {p}}.}$

İkinci denkliğin tutulması için p'nin asal olması yeterli olduğunu göstermek önemsizdir , çünkü eğer p asalsa , Fermat'ın küçük teoremi şunu belirtir:

${\ displaystyle a ^ {p-1} \ eşdeğeri 1 {\ pmod {p}}}$

için , ve denklik takip eder, çünkü ${\ displaystyle a = 1,2, \ noktalar, p-1}$${\ displaystyle p-1 \ equiv -1 {\ pmod {p}}.}$

Durum

Daha tam sayı eğer kanıtlanamamıştır çünkü deyim hala bir varsayımdır n (, yani asal değildir n olan kompozit ), sonra formül tutmaz. Bu gösterilmiştir ki, bir bileşik sayı n formülüne dayanır, ancak ve ancak bu iki ise, Carmichael sayısı ve Giuga sayısı ve böyle bir numara varsa, o en az 13.800 basamak (Borwein, Borwein, Borwein 1996 Girgensohn sahip olduğu ). Laerte SORINI, nihayet 2001 eserinde olası counterexample bir sayı olması gerektiğini göstermiştir n 10'dan fazla ^36.067 kendi spekülasyonlarına Giuga tarafından belirtilen gösteri tekniği için Bedocchi önerdiği sınır temsil eder.

Wilson teoremi ile ilişki

Agoh-Giuga varsayımı , doğruluğu kanıtlanmış olan Wilson teoremine benzerlik gösterir . Wilson teoremi, bir p sayısının asal olduğunu belirtir, ancak ve ancak

${\ displaystyle (p-1)! \ eşdeğeri -1 {\ pmod {p}},}$

olarak da yazılabilir

${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {p-1} i \ eşdeğeri -1 {\ pmod {p}}.}$

Garip bir asal p için elimizde

${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {p-1} i ^ {p-1} \ eşdeğeri (-1) ^ {p-1} \ eşdeğeri 1 {\ pmod {p}}}$

ve p = 2 için elimizde

${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {p-1} i ^ {p-1} \ equiv (-1) ^ {p-1} \ equiv 1 {\ pmod {p}}.}$

Öyleyse, Wilson teoremi ile birleştirilen Agoh-Giuga varsayımının gerçeği şunu verecektir: bir p sayısı ancak ve ancak asaldır

${\ displaystyle \ toplam _ {i = 1} ^ {p-1} i ^ {p-1} \ eşdeğeri -1 {\ pmod {p}}}$

ve

${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {p-1} i ^ {p-1} \ eşdeğeri 1 {\ pmod {p}}.}$

Referanslar

• Giuga, Giuseppe (1951). "Karatteristika dei numeri primi varsayımsal bir proprietà". Ist.Lombardo Sci. Lett., Rend., Cl. Sci. Mat. Natur. (italyanca). 83 : 511–518. ISSN   0375-9164 . Zbl   0045.01801 .
• Agoh, Takashi (1995). "Giuga'nın varsayımına göre". Manuscripta Mathematica . 87 (4): 501–510. doi : 10.1007 / bf02570490 . Zbl   0845.11004 .
• Borwein, D .; Borwein, JM ; Borwein, PB ; Girgensohn, R. (1996). "Giuga's Conjecture on Primality" (PDF) . American Mathematical Monthly . 103 (1): 40–50. CiteSeerX   10.1.1.586.1424 . doi : 10.2307 / 2975213 . JSTOR   2975213 . Zbl   0860.11003 . 2005-05-31 tarihinde orjinalinden (PDF) arşivlendi . Erişim tarihi: 2005-05-29 .
• Sorini, Laerte (2001). "Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga". Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, DESP, Università di Urbino Carlo Bo (İtalyanca). 68 . ISSN   1720-9668 .