Adyabatik değişmez - Adiabatic invariant

Bir gazın entropisi gibi, değişiklikler yavaşça gerçekleştiğinde yaklaşık olarak sabit kalan fiziksel bir sistemin özelliğine adyabatik değişmez denir . Bununla, bir sistem iki uç nokta arasında değiştirilirse, uç noktalar arasındaki varyasyon süresi sonsuza artırıldığında, iki uç nokta arasındaki adyabatik bir değişmezin varyasyonunun sıfıra gittiği anlamına gelir.

Olarak termodinamik bir adiyabatik süreç ısı akışı olmadan meydana gelen bir değişiklik; yavaş veya hızlı olabilir. Tersinir bir adyabatik süreç, dengeye ulaşma süresine kıyasla yavaşça gerçekleşen adyabatik bir süreçtir. Tersinir adyabatik bir süreçte, sistem tüm aşamalarda dengede ve entropi sabittir. 20. yüzyılın ilk yarısında kuantum fiziğinde çalışan bilim adamları, tersine çevrilebilir adyabatik süreçler için ve daha sonra sistemin konfigürasyonunu adapte etmesine izin veren kademeli olarak değişen koşullar için "adyabatik" terimini kullandılar. Kuantum mekaniği tanımı, kuasistatik bir sürecin termodinamik kavramına daha yakındır ve termodinamikteki adyabatik süreçlerle doğrudan bir ilişkisi yoktur.

İçinde mekanik , adyabatik bir değişikliği yavaş deformasyondur Hamiltoniyenin , değişim fraksiyonel oranı enerji yörünge frekansından çok daha yavaştır. Faz uzayındaki farklı hareketlerin çevrelediği alan adyabatik değişmezlerdir .

Olarak kuantum mekaniği , adyabatik bir değişimi enerji özdurumların arasındaki frekans farkı çok daha yavaş bir hızda gerçekleşir, biridir. Bu durumda, sistemin enerji durumları geçiş yapmaz, böylece kuantum sayısı adyabatik bir değişmezdir.

Eski kuantum teorisi klasik adiyabatik değişmez bir sistemin kuantum sayısı eşitlenerek formüle edildi. Bu Bohr-Sommerfeld kuantizasyon kuralının şeklini belirledi : kuantum sayısı, klasik yörüngenin faz uzayındaki alandır.

Termodinamik

Termodinamikte adyabatik değişiklikler entropiyi artırmayanlardır. İlgili sistemin diğer karakteristik zaman ölçeklerine kıyasla yavaş oluşurlar ve yalnızca aynı sıcaklıktaki nesneler arasında ısı akışına izin verirler. İzole sistemler için, adyabatik bir değişiklik, ısının içeri veya dışarı akmasına izin vermez.

İdeal bir gazın adyabatik genişlemesi

İdeal gaza sahip bir kap anında genişlerse, gazın sıcaklığı hiç değişmez, çünkü moleküllerin hiçbiri yavaşlamaz. Moleküller kinetik enerjilerini korurlar, ancak şimdi gaz daha büyük bir hacim kaplar. Bununla birlikte, konteyner yavaş genişlerse, ideal gaz basıncı yasası herhangi bir zamanda geçerli olacak şekilde, gaz molekülleri, genişleyen duvarda çalıştıkları oranda enerji kaybederler. Yaptıkları işin miktarı, basınç çarpı duvar alanı çarpı dışa doğru yer değiştirme, yani basınç çarpı gaz hacmindeki değişimdir:

${\ displaystyle dW = PdV = {Nk_ {B} T \ over V} dV}$

Gaza ısı girmezse, gaz moleküllerindeki enerji aynı miktarda azalır. Tanım gereği, bir gaz, sıcaklığı hacmin değil, partikül başına iç enerjinin bir fonksiyonu olduğunda idealdir. Yani

${\ displaystyle dT = {1 \ NC_ {v}} dE} üzerinden$

Sabit hacimde özgül ısı nerede . Enerjideki değişim tamamen duvarda yapılan işten kaynaklandığında, sıcaklıktaki değişiklik şu şekilde verilir: ${\ displaystyle C_ {v}}$

${\ displaystyle NC_ {v} dT = -dW = - {N {k_ {B}} T \ over V} dV}$

Bu, değişmezi bulmak için entegre edilebilen sıcaklık ve hacim değişiklikleri arasında diferansiyel bir ilişki verir. Sabit , yalnızca bir birim dönüştürme faktörüdür ve bire eşit olarak ayarlanabilir: ${\ displaystyle k_ {B}}$

${\ displaystyle \, d (C_ {v} N \ log T) = - d (N \ log V)}$

Yani

${\ displaystyle \, C_ {v} N \ log T + N \ log V}$

entropi ile ilgili adyabatik bir değişmezdir

${\ displaystyle \, S = C_ {v} N \ log T + N \ log VN \ log N = N \ log (T ^ {C_ {v}} V / N)}$

Yani entropi adyabatik bir değişmezdir. N  log ( N gazı iki hacim entropi her biri entropileri toplamıdır öylesine) terimi, entropi katkı yapar.

Moleküler bir yorumda, S , enerji E ( T ) ve hacim V ile tüm gaz durumlarının faz uzay hacminin logaritmasıdır .

Tek atomlu bir ideal gaz için bu, enerjiyi yazarak kolayca görülebilir,

${\ displaystyle E = {1 \ 2 milyondan fazla} \ toplam _ {k} p_ {k1} ^ {2} + p_ {k2} ^ {2} + p_ {k3} ^ {2}}$

Toplam enerji E ile gazın farklı iç hareketleri bir küreyi, yarıçaplı 3 N -boyutlu bir topun yüzeyini tanımlar . Kürenin hacmi ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {2mE}}}$

${\ displaystyle {2 \ pi ^ {3N / 2} (2mE) ^ {{3N-1} \ over 2}} \ {\ Gama (3N / 2)}}$ ,

burada bir Gamma fonksiyonu . ${\ displaystyle \ Gama}$

Her gaz molekülü hacmi içinde herhangi bir yerde olabilir çünkü V enerjisi, faz alanı hacim gaz sistemlerinde tarafından işgal e olan

${\ displaystyle {2 \ pi ^ {3N / 2} (2mE) ^ {{3N-1} \ over 2}} V ^ {N} \ {\ Gama (3N / 2)}}$ .

Bu yana , N gaz molekülleri ayırt edilemez, faz alanı hacim bölünür permütasyon sayısı K molekülü. ${\ displaystyle N! = \ Gama (N + 1)}$

Stirling'in gama işlevi için yaklaşımını kullanarak ve N büyük aldıktan sonra logaritmada kaybolan faktörleri göz ardı ederek ,

${\ displaystyle S = N {\ büyük (} 3/2 \ log (E) -3/2 \ log (3N / 2) + \ log (V) - \ log (N) {\ büyük)}}$

${\ displaystyle = N {\ büyük (} 3/2 \ log (\ scriptstyle {\ frac {2} {3}} \ displaystyle E / N) + \ log (V / N) {\ büyük)}}$

Tek atomlu bir gazın özgül ısısı 3/2 olduğundan, bu entropinin termodinamik formülüyle aynıdır.

Wien yasası - bir ışık kutusunun adyabatik genişlemesi

Kuantum mekaniğini göz ardı eden bir kutu radyasyon için, termal dengede klasik bir alanın enerjisi sonsuzdur , çünkü eşbölüşüm her alan modunun ortalama olarak eşit enerjiye sahip olmasını gerektirir ve sonsuz sayıda mod vardır. Bu fiziksel olarak saçma, çünkü tüm enerjinin zamanla yüksek frekanslı elektromanyetik dalgalara sızdığı anlamına geliyor.

Yine de kuantum mekaniği olmadan, yalnızca termodinamikten denge dağılımı hakkında söylenebilecek bazı şeyler var, çünkü farklı boyutlardaki kutuları ilişkilendiren bir adyabatik değişmezlik kavramı hala var.

Bir kutu yavaşça genişletildiğinde, duvardan geri dönen ışığın frekansı Doppler kaymasından hesaplanabilir . Duvar hareket etmiyorsa, ışık aynı frekansta geri döner. Duvar yavaş hareket ediyorsa, geri tepme frekansı yalnızca duvarın sabit olduğu çerçevede eşittir. Duvarın ışıktan uzaklaştığı çerçevede, içeri giren ışık, çıkan ışıktan Doppler kaydırma faktörü v / c'nin iki katı kadar mavidir .

${\ displaystyle \ Delta f = {2v \ c} f} üzerinden}$

Öte yandan, duvar uzaklaşırken ışıktaki enerji de azalır, çünkü ışık duvarda radyasyon basıncı ile çalışır. Işık yansıtıldığı için basınç, ışığın taşıdığı momentumun iki katına yani E / c'ye eşittir . Duvardaki basıncın etki hızı, hız ile çarpılarak bulunur:

${\ displaystyle \, \ Delta E = v {2E \ c üzerinden}}$

Bu, ışığın frekansındaki değişimin, radyasyon basıncının duvarda yaptığı işe eşit olduğu anlamına gelir. Yansıtılan ışık hem frekansta hem de enerjide aynı miktarda değişir:

${\ displaystyle {\ Delta f \ over f} = {\ Delta E \ over E}}$

Duvarı yavaşça hareket ettirmek termal dağılımı sabit tutması gerektiğinden, ışığın f frekansında E enerjisine sahip olma olasılığı yalnızca E / f'nin bir fonksiyonu olmalıdır .

Bu işlev yalnızca termodinamik akıl yürütmeyle belirlenemez ve Wien, yüksek frekansta geçerli olan formda tahmin etti. Yüksek frekans modlarında ortalama enerjinin Boltzmann benzeri bir faktör tarafından bastırıldığını varsaydı. Bu, eşbölümlü modda beklenen klasik enerji değil , yüksek frekanslı verilere uyan yeni ve gerekçesiz bir varsayımdır. ${\ displaystyle 1/2 \ beta}$

${\ displaystyle \, \ langle E_ {f} \ rangle = e ^ {- \ beta hf}}$

Beklenti değeri bir boşluktaki tüm modlara eklendiğinde, bu Wien'in dağılımıdır ve klasik bir foton gazındaki enerjinin termodinamik dağılımını tanımlar. Wien Yasası dolaylı olarak ışığın istatistiksel olarak aynı şekilde enerji ve frekansı değiştiren paketlerden oluştuğunu varsayar. Bir Wien gazının entropisi, N gücünün hacmi olarak ölçeklenir; burada N , paket sayısıdır. Bu, Einstein'ın ışığın, frekansla orantılı enerjiye sahip lokalize edilebilir parçacıklardan oluştuğunu önermesine yol açtı. Daha sonra Wien gazının entropisi, fotonların içinde bulunabileceği olası konumların sayısı olarak istatistiksel bir yorumlanabilir.

Klasik mekanik - eylem değişkenleri

Bir Hamiltoniyen'in zamanla yavaşça değiştiğini varsayalım, örneğin, değişen frekansa sahip tek boyutlu bir harmonik osilatör.

${\ displaystyle H_ {t} (p, x) = {p ^ {2} \ 2 milyondan fazla} + {m \ omega (t) ^ {2} x ^ {2} \ 2'den fazla} \,}$

Aksiyon J klasik yörünge faz uzayında yörüngesi içine alandır.

${\ displaystyle J = \ int _ {0} ^ {T} p (t) {dx \ dt üzerinden} dt \,}$

Yana J tam süre boyunca tamamlayıcı olan, sadece enerji bir fonksiyonudur. Hamiltoniyen zamanda sabit olduğunda ve J zaman içinde sabit olduğunda, kanonik olarak eşlenik değişken , sabit bir oranda zaman içinde artar. ${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle {d \ theta \ dt üzeri} = {\ kısmi H \ kısmi J} = H \, '(J) \,}$

Dolayısıyla sabit , yörünge boyunca zaman türevlerini J sabitine göre kısmi türevlere dönüştürmek için kullanılabilir . İçin entegrali Farklılaşan J göre J giderilen bir kimlik verir ${\ displaystyle H \ '}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle H \, ':}$

${\ displaystyle {dJ \ dJ üzerinde} = 1 = \ int _ {0} ^ {T} {\ bigg (} {\ kısmi p \ kısmi J} {dx \ dt üzerinde} + p {\ kısmi \ fazla \ kısmi J} {dx \ dt üzerinden} {\ bigg)} dt = H \, '\ int _ {0} ^ {T} {\ bigg (} {\ kısmi p \ üzerinden \ kısmi J} {\ kısmi x \ kısmi \ kısmi \ theta} - {\ kısmi p \ bölü \ kısmi \ theta} {\ kısmi x \ kısmi \ kısmi J} {\ bigg)} dt \,}$

İntegrali olan Poisson braket arasında x ve p . X ve p gibi iki kanonik olarak eşlenik büyüklüğün Poisson parantezi, herhangi bir kanonik koordinat sisteminde 1'e eşittir. Yani

${\ displaystyle 1 = H \, '\ int _ {0} ^ {T} \ {x, p \} \, dt = H \,' \, T \,}$

ve ters dönemdir. Değişken , J'nin tüm değerleri için her dönemde eşit miktarda artar - bu bir açı değişkenidir. ${\ displaystyle H \ '}$${\ displaystyle \ theta}$

J'nin adyabatik değişmezliği

Hamiltonian, yalnızca J'nin bir fonksiyonudur ve harmonik osilatörün basit durumunda.

${\ displaystyle \, H = \ omega J \,}$

Zaman , H herhangi bir zaman bağımlılığı vardır, J sabittir. Zaman , H , yavaş yavaş bir zaman içinde farklılaşmaktadır, değişim oranı J hesaplanabilmektedir için ayrılmaz yeniden ifade J

${\ displaystyle J = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} p {\ kısmi x \ bölü \ kısmi \ theta} d \ theta \,}$

Bu miktarın zaman türevi şu şekildedir:

${\ displaystyle {dJ \ over dt} = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ bigg (} {dp \ over dt} {\ kısmi x \ over \ kısmi \ theta} + p {d \ over dt} {\ parsiyel x \ over \ partial \ theta} {\ bigg)} d \ theta \,}$

Zaman türevlerini teta türevleriyle değiştirmek , genellik kaybı olmadan kullanmak ve ayarlamak ( eylemin ortaya çıkan zaman türevinde küresel bir çarpım sabiti olmak), getiri sağlar ${\ displaystyle d \ theta = \ omega dt \,}$${\ displaystyle \ omega: = 1 \,}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle {dJ \ dt üzeri} = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ bigg (} {\ kısmi p \ kısmi \ teta} {\ kısmi x \ üzeri \ kısmi \ teta} + p {\ bölüm \ kısmi \ kısmi \ theta} {\ kısmi x \ kısmi \ theta} {\ bigg)} d \ theta \,}$

Bu nedenle uzun koordinatları olarak J , bir süre boyunca kayda değer ölçüde değişmez, bu ifade, sıfır vermek için parçalar ile entegre edilebilir. Bu, yavaş varyasyonlar için, yörünge tarafından çevrelenen alanda en düşük dereceden değişiklik olmadığı anlamına gelir. Bu adyabatik değişmezlik teoremidir - eylem değişkenleri adyabatik değişmezlerdir. ${\ displaystyle \ theta}$

Harmonik bir osilatör için, E enerjisindeki bir yörüngenin faz uzayındaki alan, sabit enerji elipsin alanıdır,

${\ displaystyle E = {p ^ {2} \ 2 milyondan fazla} + {m \ omega ^ {2} x ^ {2} \ 2'den fazla} \,}$

X , bu elips -radius olan süre, s elipsin -radius olup . Çarpma, alan . Dolayısıyla, bir sarkaç yavaşça içeri çekilirse, böylece frekans değişir, enerji orantılı bir miktarda değişir. ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {2E / \ omega ^ {2} m}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {2mE}}}$${\ displaystyle 2 \ pi E / \ omega}$

Eski kuantum teorisi

Planck, Wien'in yasasının, radyasyon için klasik eş bölümleme yasası ile enterpolasyon yaparak, çok düşük olanlara bile tüm frekanslara genişletilebileceğini belirledikten sonra, fizikçiler diğer sistemlerin kuantum davranışını anlamak istediler.

Planck radyasyon yasası, alan osilatörlerinin hareketini frekansla orantılı enerji birimleri cinsinden niceledi:

${\ displaystyle E = hf = \ hbar \ omega \,}$

Kuantum, yalnızca adyabatik değişmezlik yoluyla enerjiye / frekansa bağlı olabilir ve kutuları uçtan uca yerleştirirken enerjinin ilave olması gerektiğinden, seviyeler eşit aralıklarla yerleştirilmelidir.

Einstein, ardından Debye, bir katıdaki ses modlarını nicemlenmiş osilatörler olarak dikkate alarak kuantum mekaniğinin alanını genişletti . Bu model, klasik eşbölümde öngörüldüğü gibi sabit kalmak yerine neden katıların özgül ısısının düşük sıcaklıklarda sıfıra yaklaştığını açıkladı . ${\ displaystyle 3k_ {B}}$

At Solvay konferansı , diğer hareketleri kuantize sorusu büyüdü ve Lorentz olarak bilinen bir problemi işaret Rayleigh-Lorentz sarkaç . İpleri çok yavaş kısaltılan bir kuantum sarkacı düşünürseniz, sarkacın kuantum sayısı değişemez çünkü hiçbir noktada durumlar arasında bir geçişe neden olacak kadar yüksek bir frekans yoktur. Ancak sarkacın frekansı, sicim kısaldığında değişir, bu nedenle kuantum durumları enerjiyi değiştirir.

Einstein, yavaş çekme için sarkacın frekansının ve enerjisinin her ikisinin de değiştiğini, ancak oranın sabit kaldığını söyledi. Bu, Wien'in duvarın yavaş hareketi altında yansıyan dalgaların enerji / frekans oranının sabit olduğu gözlemine benzer. Sonuç, nicelleştirilecek miktarların adyabatik değişmezler olması gerektiğiydi.

Bu argüman, Sommerfeld tarafından genel bir teoriye genişletildi: rastgele bir mekanik sistemin kuantum sayısı adyabatik eylem değişkeni tarafından verilir. Harmonik osilatördeki eylem değişkeni bir tam sayı olduğundan, genel koşul şudur:

${\ displaystyle \ int pdq = nh \,}$

Bu durum, atomik sistemlerin nitel davranışını tahmin edebilen eski kuantum teorisinin temeliydi. Teori, klasik ve kuantum kavramlarını karıştırdığı için küçük kuantum sayıları için doğru değildir. Ancak yeni kuantum teorisine giden yolun yarısında faydalı bir adımdı .

Plazma fiziği

Olarak plazma fizik yüklü parçacık hareketinin üç adyabatik değişmezler vardır.

İlk adyabatik değişmez, μ

Manyetik momenti dönüşlü bir parçacığın,

${\ displaystyle \ mu = {\ frac {mv _ {\ perp} ^ {2}} {2B}}}$

bir genişlemedeki tüm mertebelere hareketin bir sabitidir , burada partikülün yaşadığı herhangi bir değişikliğin oranıdır, örneğin çarpışmalardan veya manyetik alandaki zamansal veya uzamsal varyasyonlardan dolayı. Sonuç olarak, jirofrekansa yaklaşan oranlardaki değişiklikler için bile manyetik moment neredeyse sabit kalır. Μ sabit olduğunda, dikey parçacık enerjisi B ile orantılıdır , bu nedenle parçacıklar B'yi artırarak ısıtılabilir , ancak bu 'tek atış' bir anlaşmadır çünkü alan sonsuza kadar artırılamaz. Manyetik aynalarda ve manyetik şişelerde uygulama bulur . ${\ displaystyle \ omega / \ omega _ {c}}$${\ displaystyle \ omega}$

Manyetik momentin değişmez olmadığı bazı önemli durumlar vardır :

• Manyetik pompalama: Çarpışma frekansı pompa frekansından büyükse, μ artık korunmaz. Özellikle çarpışmalar, dikey enerjinin bir kısmını paralel enerjiye aktararak net ısıtmaya izin verir.
• Cyclotron ısıtma: Eğer B , siklotron frekansında salınım yapmaktadır, adyabatik değişmezliği koşulu ihlal ve ısıtma meydana gelmesi mümkündür. Özellikle, indüklenen elektrik alanı bazı parçacıklarla aynı fazda döner ve onları sürekli olarak hızlandırır.
• Manyetik tepecikler: Bir zirvenin merkezindeki manyetik alan kaybolur, bu nedenle siklotron frekansı otomatik olarak herhangi bir değişiklik oranından daha küçüktür . Dolayısıyla, manyetik moment korunmaz ve parçacıklar nispeten kolay bir şekilde kayıp konisine dağılır .

İkinci adyabatik değişmez, J

Uzunlamasına değişmez bir sıkışıp bir parçacığın manyetik ayna ,

${\ displaystyle J = \ int _ {a} ^ {b} p _ {\ paralel} ds}$

integralin iki dönüm noktası arasında olduğu yerde, aynı zamanda adyabatik bir değişmezdir. Bu, örneğin, manyetosferde Dünya'nın etrafında hareket eden bir parçacığın her zaman aynı kuvvet çizgisine geri dönmesini garanti eder . Adyabatik durum, manyetik bir aynanın uzunluğunun sıçrama frekansında salınarak net ısınmaya neden olduğu geçiş zamanı manyetik pompalamada ihlal edilir .

Üçüncü adyabatik değişmez, ${\ displaystyle \ Phi}$

Bir sürüklenme yüzeyi tarafından çevrelenen toplam manyetik akı , sistemin ekseni etrafında sürüklenen aynada hapsolmuş parçacıkların periyodik hareketiyle ilişkili üçüncü adyabatik değişmezdir. Bu sürüklenme hareketi nispeten yavaş olduğundan , pratik uygulamalarda genellikle korunmaz. ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi}$

Referanslar

• Yourgrau, Wolfgang; Stanley Mandelstam (1979). Dinamikte Varyasyonel Prensipler ve Kuantum Teorisi . New York: Dover. ISBN   978-0-486-63773-0 . §10
• Pauli, Wolfgang (1973). Charles P. Enz (ed.). Pauli Fizik Üzerine Dersler . 4 . Cambridge, Mass: MIT Press. ISBN   978-0-262-66035-8 . s. 85–89

Dış bağlantılar

• ikinci adyabatik değişmez ile ilgili ders notları
• üçüncü adyabatik değişmez üzerine ders notları