Alef numarası - Aleph number

Aleph-nought, aleph-sıfır veya aleph-null, en küçük sonsuz kardinal sayı

Gelen matematik , özellikle de grubu teori , aleph numaraları bir olan sekansı temsil etmek için kullanılan numaralar önem düzeyi arasında (ya da boyutta) sonsuz kümeler edilebilir iyi sıralı . Matematikçi Georg Cantor tarafından tanıtıldılar ve onları belirtmek için kullandığı sembol olan İbranice aleph ( ) harfinden sonra adlandırıldılar .

Kardinalitesi doğal sayı olduğu (okuma Aleph sıfır ya da aleph sıfır terimi aleph boş bazen kullanılmaktadır), bir sonraki daha büyük bir önem düzeyi , iyi orderable grubu Aleph biri daha sonra vb. Bu şekilde devam ederek, aşağıda açıklandığı gibi her sıra numarası için bir ana sayı tanımlamak mümkündür .

Kavram ve gösterim, kardinalite kavramını tanımlayan ve sonsuz kümelerin farklı kardinalitelere sahip olabileceğini fark eden Georg Cantor'a aittir .

Aleph numaraları farklı sonsuz ( ) sonsuz yaygın bir uç olarak ya tanımlanmış ise bu alephs, kümelerin boyutları ölçmek yaygın olarak, cebir bulunan sınır arasında gerçek sayı hattı bir uygulanan ( fonksiyon ya da dizisi bu " sonsuza ıraksar " veya "sınırsız artar") veya genişletilmiş gerçek sayı çizgisinin bir uç noktası olarak .

aleph-nought

(aleph-nought, ayrıca aleph-sıfır veya aleph-null) tüm doğal sayılar kümesinin kardinalitesidir ve sonsuz bir kardinaldir . Tüm sonlu kümesi ordinals denilen, ya ( küçük Yunan harfi omega ) kardinalite sahiptir kümesi önem düzeyi olan varsa ve onu yalnızca sayılabilir sonsuz olduğunu, bir olduğunu, bijection (bire-bir yazışma) arasında o ve doğal sayılar. Bu tür kümelere örnekler

Bu sonsuz sıra sayıları: ve sayılabilir sonsuz kümeler arasındadır. Örneğin, tüm pozitif tek tam sayıların ardından tüm pozitif çift tam sayıların dizisi ( or ·2 sıralılığı ile )

pozitif tamsayılar kümesinin (önemliliği ile ) bir sıralamasıdır .

Eğer sayılabilir seçim aksiyomu (daha zayıf bir sürümü Seçim aksiyomu ) geçerliyse başka sonsuz kardinal daha küçüktür.

aleph-bir

Tüm sayılabilir kümesinin kardinalitesi olan sıra sayıları denilen ya da bazen bu bir yani, kendisi tüm sayılabilir olanlardan daha bir sıra sayısı büyüktür sayılamaz küme . Bu nedenle, farklı bir tanımı (ZF, ima Zermelo-Fraenkel grubu teorisi olmayan bir asılsayı arasında olduğu Seçim aksiyomu) ve varsa seçilen aksiyomu kullanılır, ayrıca ispat edilebilir kardinal numaralarının sınıfı olduğu tamamen sipariş böylece, ve ikinci en küçük sonsuz kardinal numarasıdır. Seçim aksiyomunu kullanarak, herhangi bir sayılabilir alt kümesinin bir üst sınırına sahip olduğu kümenin en kullanışlı özelliklerinden biri gösterilebilir (Bu, sayılabilir sayıda sayılabilir kümenin birleşiminin kendisinin sayılabilir olduğu gerçeğinden kaynaklanır - seçim aksiyomu en yaygın uygulamalar.) Bu gerçek durum benzerdir doğal sayılar her sonlu kümesi de doğal bir sayıdır maksimum vardır ve sonlu birlikleri sonlu kümelerin sonlu bulunmaktadır.

kulağa biraz egzotik gelse de aslında kullanışlı bir kavramdır. Örnek bir uygulama sayılabilir işlemlere göre "kapanış"tır; örneğin, rastgele bir alt kümeler koleksiyonu tarafından oluşturulan σ-cebirini açıkça tanımlamaya çalışmak (bkz. örneğin Borel hiyerarşisi ). Bu, cebirdeki ( vektör uzayları , gruplar , vb.) "nesil"in en açık tanımlarından daha zordur çünkü bu durumlarda sadece sonlu işlemlere (toplamlar, çarpımlar ve benzerleri) göre kapatmamız gerekir. Süreç, her sayılabilir sıra için, tüm olası sayılabilir birleşimleri ve tümleyicileri "içine atarak" bir kümeyi transfinit tümevarım yoluyla tanımlamayı ve tüm bunların birleşimini hepsinin üzerine almayı içerir.

süreklilik hipotezi

Kardinalite kümesinin gerçek sayılar ( sürekliliğinin kardinalitesi ) 'dir Bu tespit edilemeyen ZFC ( Zermelo-Fraenkel küme teorisinin artar Seçim aksiyomu ) nerede bu sayı aleph numarası hiyerarşisinde tam uyuyor, ama ZFC izler süreklilik hipotezi, CH , özdeşliğe eşdeğerdir

CH, kardinalitesi tamsayılar ve gerçek sayılar arasında kesinlikle olan bir küme olmadığını belirtir. CH bağımsız ZFC : ne kanıtlanmış ne de bu belit sistemi içinde çürütülmüştü edilebilir (koşuluyla ZFC olan tutarlı ). CH'nin ZFC ile tutarlı olduğu 1940'ta Kurt Gödel tarafından , onun olumsuzlamasının bir ZFC teoremi olmadığını gösterdiğinde gösterildi . ZFC'den bağımsız olduğu , 1963'te Paul Cohen tarafından , tersine, CH'nin kendisinin bir ZFC teoremi olmadığını gösterdiğinde (o zamanlar yeni olan) zorlama yöntemiyle gösterildi .

alef-omega

aleph-omega

burada en küçük sonsuz sıra ω ile gösterilir . Yani, kardinal sayı , en küçük üst sınırdır .

Zermelo-Fraenkel küme teorisinde tüm gerçek sayılar kümesinin kardinalitesine eşit olmadığı gösterilebilen ilk sayılamayan kardinal sayıdır ; herhangi bir pozitif tamsayı için n tutarlı bir şekilde varsayabiliriz ve dahası istediğimiz kadar büyük olduğunu varsaymak mümkündür . Yalnızca, onu, ondan sınırsız bir işlev olduğu anlamına gelen , eş sonlu belirli özel kardinallere ayarlamaktan kaçınmaya zorlanıyoruz ( Easton teoremine bakınız ).

Genel α için Aleph-α

Tanımlamak için keyfi sıra numarası için tanımlamamız gerekir halefi kardinal operasyonu herhangi kardinal sayı atar, sonraki daha büyük iyi sıralı kardinal (eğer seçim aksiyomu tutan, bu bir sonraki daha büyük kardinal olduğu).

Daha sonra aleph sayılarını aşağıdaki gibi tanımlayabiliriz:

ve λ için sonsuz limitli bir sıra ,

α-th sonsuz ilk sıra yazılır . Kardinalitesi ZFC'de yazılmıştır , aleph işlevi sıra sayılarından sonsuz kardinallere bir alıntıdır.

Omega sabit noktaları

Sahip olduğumuz herhangi bir sıra α için

Birçok durumda daha sıkı büyüktür a'dan . Örneğin, herhangi bir ardıl sıra α için bu geçerlidir. Ancak, normal fonksiyonlar için sabit nokta lemması nedeniyle, omega fonksiyonunun sabit noktaları olan bazı limit ordinalleri vardır . Bunlardan ilki dizinin limitidir.

Zayıf erişilemeyen herhangi bir kardinal de aleph fonksiyonunun sabit bir noktasıdır. Bu, ZFC'de aşağıdaki gibi gösterilebilir. Diyelim ki zayıf erişilemeyen bir kardinal. Eğer bir vardı halefi sıra , daha sonra bir olurdu halefi kardinal ve dolayısıyla zayıf ulaşılmaz değil. Eğer bir edildi sınır sıra az sonra onun cofinality (ve dolayısıyla bir cofinality ) az olacağını ve bu yüzden zayıf ulaşılmaz değil dolayısıyla düzenli ve olmayacaktır. Böylece ve sonuç olarak, bu da onu sabit bir nokta yapar.

Seçim aksiyomunun rolü

Herhangi bir sonsuz sıra sayısının kardinalitesi bir aleph sayısıdır. Her aleph, bazı sıraların kardinalitesidir. Bunların en küçüğü, ilk sıra sayısıdır . Olan önem düzeyi olan bir aleph olan herhangi bir grubu equinumerous bir sıralı olan ve bu nedenle bir de-sipariş edilebilir .

Her sonlu küme iyi sıralanabilir, ancak kardinalitesi olarak bir alefe sahip değildir.

Her sonsuz kümenin kardinalitesinin bir aleph sayısı olduğu varsayımı, her kümenin iyi sıralanmasının varlığına ZF üzerinden eşdeğerdir, bu da seçim aksiyomuna eşdeğerdir . Seçim aksiyomunu içeren ZFC küme teorisi, her sonsuz kümenin kardinalitesi olarak bir aleph numarasına sahip olduğunu (yani ilk sıra sayısıyla eşit olduğunu) ima eder ve bu nedenle alef sayılarının ilk sıra sayıları, herkes için bir temsilci sınıfı olarak hizmet eder. olası sonsuz kardinal sayılar.

ZF'de kardinalite, seçim aksiyomu olmadan çalışıldığında, her sonsuz kümenin kardinalitesi olarak bir aleph numarasına sahip olduğunu kanıtlamak artık mümkün değildir; kardinalitesi bir aleph sayısı olan kümeler tam olarak iyi sıralanabilen sonsuz kümelerdir. Scott'ın hilesi yöntemi , bazen ZF ortamında kardinal sayılar için temsilciler oluşturmanın alternatif bir yolu olarak kullanılır. Örneğin, bir tanımlayabilir kart ( S ) ile aynı cardinality ile kümelerinin grubu olduğu S minimum değerde. Bu, ancak ve ancak S ve T aynı kardinaliteye sahipse card( S ) = card( T ) özelliğine sahiptir. (Set card( S ) genel olarak S ile aynı kardinaliteye sahip değildir , ancak tüm elemanları vardır.)

Ayrıca bakınız

Notlar

alıntılar

Dış bağlantılar